{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (1 pkt)\nW trójkącie równoramiennym ABC spełnione są warunki: AC\nBC\n,\n50\nCAB =\n°\n\nOdcinek BD jest dwusieczną kąta ABC, a odcinek BE jest wysokością opuszczoną\nz wierzchołka B na bok AC. Miara kąta EBD jest równa\nA. 10°\nB. 12,5°\nC. 13,5°\nD. 15°\n4 m\n1,30 m\nα\n?\n50°\nA\nD\nE\nC\nB\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"D","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n7. Planimetria. Zdający znajduje związki\nmiarowe w figurach płaskich (7.c).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{1}{2}\\]\n\n## Sposób 1 - Przekształcenie równania przez definicję tangensa\n\nWiemy, że \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\), więc przepiszemy równanie:\n\n\\[\\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = 2\\sin\\alpha\\]\n\nPonieważ \\(0^\\circ < \\alpha < 90^\\circ\\), mamy \\(\\sin\\alpha > 0\\) - **można podzielić obie strony przez \\(\\sin\\alpha\\)** (nie znikają nam rozwiązania):\n\n\\[\\frac{1}{\\cos\\alpha} = 2\\]\n\nStąd wprost:\n\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{1}{2}\\]\n\n**Sprawdzenie:** \\(\\cos 60° = \\frac{1}{2}\\) ✓, a \\(60° \\in (0°, 90°)\\) ✓\n\n## Sposób 2 - Użycie jedynki trygonometrycznej\n\nWychodzimy od \\(\\operatorname{tg}\\alpha = 2\\sin\\alpha\\) i korzystamy z \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\):\n\n\\[\\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = 2\\sin\\alpha\\]\n\nPrzenosimy wszystko na lewą stronę:\n\n\\[\\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} - 2\\sin\\alpha = 0\\]\n\n\\[\\sin\\alpha\\left(\\frac{1}{\\cos\\alpha} - 2\\right) = 0\\]\n\nMamy iloczyn równy zero, więc:\n- \\(\\sin\\alpha = 0\\) - niemożliwe, bo \\(\\alpha \\in (0°, 90°)\\), gdzie \\(\\sin\\alpha > 0\\)\n- \\(\\frac{1}{\\cos\\alpha} - 2 = 0\\), czyli \\(\\cos\\alpha = \\frac{1}{2}\\) ✓\n\nMożemy też zweryfikować wynik jedynką trygonometryczną:\n\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1 \\implies \\sin^2\\alpha = 1 - \\frac{1}{4} = \\frac{3}{4} \\implies \\sin\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\nSprawdzamy warunek z zadania:\n\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{\\frac{\\sqrt{3}}{2}}{\\frac{1}{2}} = \\sqrt{3}\\]\n\n\\[2\\sin\\alpha = 2 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\sqrt{3} \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)**:\n\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]\n\nUżyliśmy tego w obu sposobach do zamiany tangensa na iloraz sinusa i cosinusa - kluczowy krok upraszczający równanie.\n\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\nUżyliśmy w Sposobie 2 do weryfikacji wyniku.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | \\(\\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\) odpowiada \\(\\alpha = 45°\\) - uczeń wstawia i nie sprawdza, czy równanie zachodzi: \\(\\operatorname{tg}45° = 1\\), ale \\(2\\sin 45° = \\sqrt{2} \\neq 1\\) |\n| C | \\(\\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) odpowiada \\(\\alpha = 30°\\): \\(\\operatorname{tg}30° = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\), ale \\(2\\sin 30° = 1 \\neq \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\) - nie spełnia równania |\n| D | \\(\\cos\\alpha = 1\\) oznaczałoby \\(\\alpha = 0°\\), co jest wykluczone przez warunek \\(\\alpha > 0°\\); poza tym \\(\\operatorname{tg}0°\\) i \\(\\sin 0°\\) są oba równe zero - równanie jest trywialnie spełnione, ale \\(\\alpha\\) nie należy do podanego przedziału |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dzielenie przez \\(\\sin\\alpha\\) jest tu bezpieczne, bo wiemy, że \\(\\sin\\alpha \\neq 0\\) (kąt jest ostry). Gdybyśmy nie mieli podanego przedziału, musielibyśmy rozważyć przypadek \\(\\sin\\alpha = 0\\) osobno!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \\(\\cos\\alpha = \\frac{1}{2}\\) (odpowiedź A) z \\(\\sin\\alpha = \\frac{1}{2}\\) - to dwa różne kąty: \\(60°\\) vs \\(30°\\). Sprawdź zawsze, która funkcja była szukana.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź D (\\(\\cos\\alpha = 1\\)) wygląda atrakcyjnie, bo \\(\\frac{1}{\\cos\\alpha} = 2\\) można błędnie przepisać jako \\(\\cos\\alpha = 2\\) (pomylenie odwrotności) - zawsze wykonaj dzielenie poprawnie!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Przekształcenie \\(\\tan\\) przez \\(\\sin/\\cos\\)\n\\[\\tan\\alpha = \\tfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}.\\]\nZ warunku:\n\\[\\tfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = 2\\sin\\alpha.\\]\nPonieważ \\(0^\\circ < \\alpha < 90^\\circ\\), mamy \\(\\sin\\alpha \\ne 0\\). Dzielimy obie strony przez \\(\\sin\\alpha\\):\n\\[\\tfrac{1}{\\cos\\alpha} = 2 \\Rightarrow \\cos\\alpha = \\tfrac{1}{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - Rozpoznanie kąta\n\\(\\cos\\alpha = \\tfrac{1}{2}\\) odpowiada \\(\\alpha = 60^\\circ\\). Sprawdzenie:\n- \\(\\tan 60^\\circ = \\sqrt{3}\\)\n- \\(2\\sin 60^\\circ = 2\\cdot\\tfrac{\\sqrt{3}}{2} = \\sqrt{3}\\) ✓\n\nRównanie spełnione.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(\\cos\\alpha = \\tfrac{\\sqrt{2}}{2}\\)** (\\(\\alpha = 45^\\circ\\)): \\(\\tan 45^\\circ = 1\\), \\(2\\sin 45^\\circ = \\sqrt{2} \\ne 1\\).\n- **C. \\(\\cos\\alpha = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\)** (\\(\\alpha = 30^\\circ\\)): \\(\\tan 30^\\circ = \\tfrac{\\sqrt{3}}{3}\\), \\(2\\sin 30^\\circ = 1 \\ne \\tfrac{\\sqrt{3}}{3}\\).\n- **D. \\(\\cos\\alpha = 1\\)** (\\(\\alpha = 0^\\circ\\)): wykluczone założeniem \\(0^\\circ < \\alpha\\).\n\n**Trik:** w równaniach trygonometrycznych zawsze sprawdź, czy nie można skrócić tej samej funkcji po obu stronach.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Geometria i trójkąt prostokątny\n1. **Zacznij od trójkąta prostokątnego:** Mamy trójkąt prostokątny, w którym kąt ostry wynosi α. W tym trójkącie \\(tg\\alpha = \\frac{d}{b}\\), gdzie *d* to przeciwprostokątna, a *b* to przyprostokątna.\n2. **Znamy \\(tg\\alpha = 2\\):** Zatem \\( \\frac{d}{b} = 2 \\), co oznacza, że \\(d = 2b\\).\n3. **Znamy \\(sin\\alpha\\):** Wiemy, że \\(sin\\alpha = \\frac{d}{c}\\), gdzie *c* to przeciwprostokątna. Ponieważ \\(d = 2b\\), to \\(sin\\alpha = \\frac{2b}{c}\\).\n4. **Zastosuj wzór Pitagorasa:** W trójkącie prostokątnym mamy \\(a^2 + b^2 = c^2\\), gdzie *a* i *b* to przyprostokątne, a *c* to przeciwprostokątna.\n5. **Podstaw \\(d = 2b\\):** Zatem \\(a^2 + b^2 = (2b)^2 = 4b^2\\), co daje \\(a^2 = 3b^2\\), a więc \\(a = \\sqrt{3}b\\).\n6. **Oblicz \\(cos\\alpha\\):** Ponieważ \\(tg\\alpha = 2\\), to \\(cos\\alpha = \\frac{1}{tg\\alpha} = \\frac{1}{2}\\).\n\n📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras, strona 15\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na \\(sin\\alpha\\) i \\(tg\\alpha\\)\n1. **Znamy \\(tg\\alpha = 2\\):** Zatem \\(sin\\alpha = \\frac{tg\\alpha}{cos\\alpha} = \\frac{2}{cos\\alpha}\\).\n2. **Znamy wzór trygonometryczny:** \\(sin^2\\alpha + cos^2\\alpha = 1\\).\n3. **Podstawiamy:** (\\(\\frac{2}{cos\\alpha}\\))^2 + cos^2\\alpha = 1\\)\n4. **Rozwiązujemy równanie:** \\(\\frac{4}{cos^2\\alpha} + cos^2\\alpha = 1\\)\n5. **Oznaczmy \\(x = cos\\alpha\\):** \\(\\frac{4}{x^2} + x^2 = 1\\)\n6. **Przekształcamy:** \\(4 + x^4 = x^2\\) => \\(x^4 - x^2 + 4 = 0\\)\n7. **Rozwiązujemy równanie kwadratowe:** Możemy to przekształcić do równania kwadratowego względem \\(x^2\\): \\(x^2 = \\frac{1 \\pm \\sqrt{1 - 16}}{2}\\) które nie ma rozwiązań rzeczywistych. Zatem musimy zastosować inny sposób.\n8. **Zwróćmy uwagę na wzór:** \\(sin\\alpha = \\frac{2}{cos\\alpha}\\) i \\(tg\\alpha = 2\\). Zatem \\(sin\\alpha = \\frac{2}{cos\\alpha}\\) i \\(cos\\alpha = \\frac{1}{2}\\). Wtedy \\(sin\\alpha = \\frac{2}{\\frac{1}{2}} = 4\\), co jest sprzeczne z \\(sin^2\\alpha + cos^2\\alpha = 1\\). Musimy wrócić do pierwszego sposobu.\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **B. \\(cos\\alpha = -\\frac{1}{2}\\):** To jest błędne, ponieważ \\(tg\\alpha = 2\\) i \\(sin\\alpha\\) musi być dodatnie, co implikuje, że \\(cos\\alpha\\) musi być dodatnie.\n* **C. \\(cos\\alpha = \\frac{1}{2}\\):** To jest poprawne, ale trzeba wykonać wszystkie kroki, aby to udowodnić.\n* **D. \\(cos\\alpha = 1\\):** To jest błędne, ponieważ \\(tg\\alpha = 2\\), a \\(tg\\alpha\\) nie może być równa 1, ponieważ \\(sin\\alpha\\) musi być niezerowe. Ponadto, \\(cos\\alpha\\) musi być niezerowe.","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 15. (1 pkt)
W trójkącie równoramiennym ABC spełnione są warunki: AC
BC
,
50
CAB =
°

Odcinek BD jest dwusieczną kąta ABC, a odcinek BE jest wysokością opuszczoną
z wierzchołka B na bok AC. Miara kąta EBD jest równa
A. 10°
B. 12,5°
C. 13,5°
D. 15°
4 m
1,30 m
α
?
50°
A
D
E
C
B

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 15. (0-1)
IV. Użycie i tworzenie
strategii.

\n
  1. Planimetria. Zdający znajduje związki
\n

miarowe w figurach płaskich (7.c).
Wersja
I
Wersja
II
D
A

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A

\n

\\[\\cos\\alpha = \\frac{1}{2}\\]

\n

Sposób 1 - Przekształcenie równania przez definicję tangensa

\n

Wiemy, że \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\), więc przepiszemy równanie:

\n

\\[\\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = 2\\sin\\alpha\\]

\n

Ponieważ \\(0^\\circ < \\alpha < 90^\\circ\\), mamy \\(\\sin\\alpha > 0\\) - można podzielić obie strony przez \\(\\sin\\alpha\\) (nie znikają nam rozwiązania):

\n

\\[\\frac{1}{\\cos\\alpha} = 2\\]

\n

Stąd wprost:

\n

\\[\\cos\\alpha = \\frac{1}{2}\\]

\n

Sprawdzenie: \\(\\cos 60° = \\frac{1}{2}\\) ✓, a \\(60° \\in (0°, 90°)\\) ✓

\n

Sposób 2 - Użycie jedynki trygonometrycznej

\n

Wychodzimy od \\(\\operatorname{tg}\\alpha = 2\\sin\\alpha\\) i korzystamy z \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\):

\n

\\[\\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = 2\\sin\\alpha\\]

\n

Przenosimy wszystko na lewą stronę:

\n

\\[\\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} - 2\\sin\\alpha = 0\\]

\n

\\[\\sin\\alpha\\left(\\frac{1}{\\cos\\alpha} - 2\\right) = 0\\]

\n

Mamy iloczyn równy zero, więc:

\n\n

Możemy też zweryfikować wynik jedynką trygonometryczną:

\n

\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1 \\implies \\sin^2\\alpha = 1 - \\frac{1}{4} = \\frac{3}{4} \\implies \\sin\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]

\n

Sprawdzamy warunek z zadania:

\n

\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{\\frac{\\sqrt{3}}{2}}{\\frac{1}{2}} = \\sqrt{3}\\]

\n

\\[2\\sin\\alpha = 2 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\sqrt{3} \\checkmark\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14):

\n

\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]

\n

Użyliśmy tego w obu sposobach do zamiany tangensa na iloraz sinusa i cosinusa - kluczowy krok upraszczający równanie.

\n

\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]

\n

Użyliśmy w Sposobie 2 do weryfikacji wyniku.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| B | \\(\\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\) odpowiada \\(\\alpha = 45°\\) - uczeń wstawia i nie sprawdza, czy równanie zachodzi: \\(\\operatorname{tg}45° = 1\\), ale \\(2\\sin 45° = \\sqrt{2} \\neq 1\\) |
| C | \\(\\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) odpowiada \\(\\alpha = 30°\\): \\(\\operatorname{tg}30° = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\), ale \\(2\\sin 30° = 1 \\neq \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\) - nie spełnia równania |
| D | \\(\\cos\\alpha = 1\\) oznaczałoby \\(\\alpha = 0°\\), co jest wykluczone przez warunek \\(\\alpha > 0°\\); poza tym \\(\\operatorname{tg}0°\\) i \\(\\sin 0°\\) są oba równe zero - równanie jest trywialnie spełnione, ale \\(\\alpha\\) nie należy do podanego przedziału |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Dzielenie przez \\(\\sin\\alpha\\) jest tu bezpieczne, bo wiemy, że \\(\\sin\\alpha \\neq 0\\) (kąt jest ostry). Gdybyśmy nie mieli podanego przedziału, musielibyśmy rozważyć przypadek \\(\\sin\\alpha = 0\\) osobno!
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić \\(\\cos\\alpha = \\frac{1}{2}\\) (odpowiedź A) z \\(\\sin\\alpha = \\frac{1}{2}\\) - to dwa różne kąty: \\(60°\\) vs \\(30°\\). Sprawdź zawsze, która funkcja była szukana.
\n
⚠️ Uwaga: Odpowiedź D (\\(\\cos\\alpha = 1\\)) wygląda atrakcyjnie, bo \\(\\frac{1}{\\cos\\alpha} = 2\\) można błędnie przepisać jako \\(\\cos\\alpha = 2\\) (pomylenie odwrotności) - zawsze wykonaj dzielenie poprawnie!
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Przekształcenie \\(\\tan\\) przez \\(\\sin/\\cos\\)
\n

\\[\\tan\\alpha = \\tfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}.\\]
Z warunku:
\\[\\tfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = 2\\sin\\alpha.\\]
Ponieważ \\(0^\\circ < \\alpha < 90^\\circ\\), mamy \\(\\sin\\alpha \\ne 0\\). Dzielimy obie strony przez \\(\\sin\\alpha\\):
\\[\\tfrac{1}{\\cos\\alpha} = 2 \\Rightarrow \\cos\\alpha = \\tfrac{1}{2}.\\]

\n
Sposób 2 - Rozpoznanie kąta
\n

\\(\\cos\\alpha = \\tfrac{1}{2}\\) odpowiada \\(\\alpha = 60^\\circ\\). Sprawdzenie:

\n\n

Równanie spełnione.

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: w równaniach trygonometrycznych zawsze sprawdź, czy nie można skrócić tej samej funkcji po obu stronach.

\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1: Geometria i trójkąt prostokątny
\n
  1. Zacznij od trójkąta prostokątnego: Mamy trójkąt prostokątny, w którym kąt ostry wynosi α. W tym trójkącie \\(tg\\alpha = \\frac{d}{b}\\), gdzie d to przeciwprostokątna, a b to przyprostokątna.
  2. Znamy \\(tg\\alpha = 2\\): Zatem \\( \\frac{d}{b} = 2 \\), co oznacza, że \\(d = 2b\\).
  3. Znamy \\(sin\\alpha\\): Wiemy, że \\(sin\\alpha = \\frac{d}{c}\\), gdzie c to przeciwprostokątna. Ponieważ \\(d = 2b\\), to \\(sin\\alpha = \\frac{2b}{c}\\).
  4. Zastosuj wzór Pitagorasa: W trójkącie prostokątnym mamy \\(a^2 + b^2 = c^2\\), gdzie a i b to przyprostokątne, a c to przeciwprostokątna.
  5. Podstaw \\(d = 2b\\): Zatem \\(a^2 + b^2 = (2b)^2 = 4b^2\\), co daje \\(a^2 = 3b^2\\), a więc \\(a = \\sqrt{3}b\\).
  6. Oblicz \\(cos\\alpha\\): Ponieważ \\(tg\\alpha = 2\\), to \\(cos\\alpha = \\frac{1}{tg\\alpha} = \\frac{1}{2}\\).
\n

📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras, strona 15

\n
Sposób 2: Użycie wzoru na \\(sin\\alpha\\) i \\(tg\\alpha\\)
\n
  1. Znamy \\(tg\\alpha = 2\\): Zatem \\(sin\\alpha = \\frac{tg\\alpha}{cos\\alpha} = \\frac{2}{cos\\alpha}\\).
  2. Znamy wzór trygonometryczny: \\(sin^2\\alpha + cos^2\\alpha = 1\\).
  3. Podstawiamy: (\\(\\frac{2}{cos\\alpha}\\))^2 + cos^2\\alpha = 1\\)
  4. Rozwiązujemy równanie: \\(\\frac{4}{cos^2\\alpha} + cos^2\\alpha = 1\\)
  5. Oznaczmy \\(x = cos\\alpha\\): \\(\\frac{4}{x^2} + x^2 = 1\\)
  6. Przekształcamy: \\(4 + x^4 = x^2\\) => \\(x^4 - x^2 + 4 = 0\\)
  7. Rozwiązujemy równanie kwadratowe: Możemy to przekształcić do równania kwadratowego względem \\(x^2\\): \\(x^2 = \\frac{1 \\pm \\sqrt{1 - 16}}{2}\\) które nie ma rozwiązań rzeczywistych. Zatem musimy zastosować inny sposób.
  8. Zwróćmy uwagę na wzór: \\(sin\\alpha = \\frac{2}{cos\\alpha}\\) i \\(tg\\alpha = 2\\). Zatem \\(sin\\alpha = \\frac{2}{cos\\alpha}\\) i \\(cos\\alpha = \\frac{1}{2}\\). Wtedy \\(sin\\alpha = \\frac{2}{\\frac{1}{2}} = 4\\), co jest sprzeczne z \\(sin^2\\alpha + cos^2\\alpha = 1\\). Musimy wrócić do pierwszego sposobu.
\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n"}]}