{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (1 pkt)\nPrzedstawione na rysunku trójkąty są podobne.\nWówczas\nA.\n13\na =\n,\n17\nb =\nB.\n10\na =\n,\n18\nb =\nC.\n9\na =\n,\n19\nb =\nD.\n11\na =\n,\n13\nb =","answer":"B","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n7. Planimetria. Zdający wykorzystuje\nwłasności figur podobnych w zadaniach (7.b).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: 30°\n\n## Sposób 1 - wzór na pole rombu przez kąt\n\n**Oznaczenia:**\n\nNiech bok kwadratu \\(= a\\). Wtedy:\n- przekątna kwadratu \\(= a\\sqrt{2}\\)\n- bok rombu \\(= a\\sqrt{2}\\) (bo bok rombu = przekątna kwadratu)\n\n**Pole kwadratu:**\n\\[P_k = a^2\\]\n\n**Pole rombu** (ze wzoru dla równoległoboku: pole = iloczyn boków i sinus kąta między nimi):\n\\[P_r = s^2 \\sin\\alpha = (a\\sqrt{2})^2 \\cdot \\sin\\alpha = 2a^2 \\sin\\alpha\\]\n\n**Warunek:** pole rombu = pole kwadratu:\n\\[2a^2 \\sin\\alpha = a^2\\]\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{1}{2}\\]\n\\[\\alpha = 30°\\]\n\n**Kąt ostry rombu wynosi \\(30°\\).**\n\n## Sposób 2 - przez wysokość rombu\n\nZamiast korzystać od razu ze wzoru z sinusem, wyraźmy tę samą zależność przez **wysokość rombu**.\n\nWysokość rombu \\(h\\) liczymy z definicji pola (pole = podstawa × wysokość):\n\\[h = \\frac{P_r}{s} = \\frac{a^2}{a\\sqrt{2}} = \\frac{a}{\\sqrt{2}} = \\frac{a\\sqrt{2}}{2}\\]\n\nZ geometrii: wysokość rombu wyraża się przez bok i kąt ostry:\n\\[h = s \\cdot \\sin\\alpha = a\\sqrt{2} \\cdot \\sin\\alpha\\]\n\nPrzyrównujemy:\n\\[a\\sqrt{2} \\cdot \\sin\\alpha = \\frac{a\\sqrt{2}}{2}\\]\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{1}{2}\\]\n\\[\\alpha = 30°\\]\n\nTen sam wynik - **kąt ostry rombu wynosi \\(30°\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)** - pole równoległoboku (w tym rombu):\n\\[P = a \\cdot b \\cdot \\sin\\alpha\\]\nDla rombu \\(a = b = s\\), więc \\(P = s^2 \\sin\\alpha\\). Użyte w Sposobie 1 i 2 jako podstawa równania.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - wartości funkcji trygonometrycznych:\n\n| \\(\\alpha\\) | \\(30°\\) | \\(45°\\) | \\(60°\\) |\n| \\(\\sin\\alpha\\) | \\(\\frac{1}{2}\\) | \\(\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\) | \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) |\n\nOdczytanie \\(\\sin\\alpha = \\frac{1}{2} \\Rightarrow \\alpha = 30°\\) - wprost z tablicy.\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - przekątna kwadratu:\n\\[d = a\\sqrt{2}\\]\n(wynika z twierdzenia Pitagorasa: \\(d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\\), więc \\(d = a\\sqrt{2}\\)).\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najpopularniejszy błąd to przyjęcie, że kąt ostry rombu wynosi \\(45°\\) - bo przekątna kwadratu jest pod kątem \\(45°\\). To zupełnie inna rzecz! Kąt \\(45°\\) to kąt przekątnej ze stroną kwadratu, a nie kąt rombu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić wzory - pole rombu to \\(s^2\\sin\\alpha\\), a nie \\(s^2\\cos\\alpha\\). Kosinus pojawia się przy obliczaniu przekątnych, nie pola.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy \\(\\sin\\alpha = \\frac{1}{2}\\) pamiętaj, że kąt ostry to zawsze \\(30°\\), nie \\(150°\\) (które też spełnia równanie, ale daje kąt rozwarty, a my szukamy kąta ostrego rombu).\n\n**Odpowiedź: \\(53°\\)**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nDane: Trójkąt \\(ABC\\) równoramienny z \\(|AC| = |BC|\\), punkt \\(D\\) na \\(AB\\) taki, że \\(|BD| = |CD|\\), \\(\\angle ACD = 21°\\).\n\nOznaczmy \\(\\angle A = \\angle B = \\alpha\\) (kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego).\n\nW trójkącie \\(BCD\\): \\(|BD| = |CD|\\), więc trójkąt \\(BCD\\) jest równoramienny. Kąty naprzeciw równych boków są równe:\n\\(\\angle BCD = \\angle DBC = \\alpha\\)\n\nW trójkącie \\(ABC\\):\n\\(\\angle ACB = \\angle ACD + \\angle BCD = 21° + \\alpha\\)\n\nSuma kątów trójkąta \\(ABC\\):\n\\(\\alpha + \\alpha + (21° + \\alpha) = 180°\\)\n\\(3\\alpha + 21° = 180°\\)\n\\(3\\alpha = 159°\\)\n\\(\\alpha = 53°\\)\n\nZatem \\(\\angle BCD = \\alpha = 53°\\).\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Suma kątów trójkąta = \\(180°\\); własności trójkąta równoramiennego","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 16. (1 pkt)
Przedstawione na rysunku trójkąty są podobne.
Wówczas
A.
13
a =
,
17
b =
B.
10
a =
,
18
b =
C.
9
a =
,
19
b =
D.
11
a =
,
13
b =

","answer_text_html":"

Zadanie 16. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Planimetria. Zdający wykorzystuje
\n

własności figur podobnych w zadaniach (7.b).
Wersja
I
Wersja
II
B
D

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: 30°

\n

Sposób 1 - wzór na pole rombu przez kąt

\n

Oznaczenia:

\n

Niech bok kwadratu \\(= a\\). Wtedy:

\n\n

Pole kwadratu:
\\[P_k = a^2\\]

\n

Pole rombu (ze wzoru dla równoległoboku: pole = iloczyn boków i sinus kąta między nimi):
\\[P_r = s^2 \\sin\\alpha = (a\\sqrt{2})^2 \\cdot \\sin\\alpha = 2a^2 \\sin\\alpha\\]

\n

Warunek: pole rombu = pole kwadratu:
\\[2a^2 \\sin\\alpha = a^2\\]
\\[\\sin\\alpha = \\frac{1}{2}\\]
\\[\\alpha = 30°\\]

\n

Kąt ostry rombu wynosi \\(30°\\).

\n

Sposób 2 - przez wysokość rombu

\n

Zamiast korzystać od razu ze wzoru z sinusem, wyraźmy tę samą zależność przez wysokość rombu.

\n

Wysokość rombu \\(h\\) liczymy z definicji pola (pole = podstawa × wysokość):
\\[h = \\frac{P_r}{s} = \\frac{a^2}{a\\sqrt{2}} = \\frac{a}{\\sqrt{2}} = \\frac{a\\sqrt{2}}{2}\\]

\n

Z geometrii: wysokość rombu wyraża się przez bok i kąt ostry:
\\[h = s \\cdot \\sin\\alpha = a\\sqrt{2} \\cdot \\sin\\alpha\\]

\n

Przyrównujemy:
\\[a\\sqrt{2} \\cdot \\sin\\alpha = \\frac{a\\sqrt{2}}{2}\\]
\\[\\sin\\alpha = \\frac{1}{2}\\]
\\[\\alpha = 30°\\]

\n

Ten sam wynik - kąt ostry rombu wynosi \\(30°\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 20-21) - pole równoległoboku (w tym rombu):
\\[P = a \\cdot b \\cdot \\sin\\alpha\\]
Dla rombu \\(a = b = s\\), więc \\(P = s^2 \\sin\\alpha\\). Użyte w Sposobie 1 i 2 jako podstawa równania.

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12) - wartości funkcji trygonometrycznych:

\n

| \\(\\alpha\\) | \\(30°\\) | \\(45°\\) | \\(60°\\) |
| \\(\\sin\\alpha\\) | \\(\\frac{1}{2}\\) | \\(\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\) | \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) |

\n

Odczytanie \\(\\sin\\alpha = \\frac{1}{2} \\Rightarrow \\alpha = 30°\\) - wprost z tablicy.

\n

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5) - przekątna kwadratu:
\\[d = a\\sqrt{2}\\]
(wynika z twierdzenia Pitagorasa: \\(d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\\), więc \\(d = a\\sqrt{2}\\)).

\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: Najpopularniejszy błąd to przyjęcie, że kąt ostry rombu wynosi \\(45°\\) - bo przekątna kwadratu jest pod kątem \\(45°\\). To zupełnie inna rzecz! Kąt \\(45°\\) to kąt przekątnej ze stroną kwadratu, a nie kąt rombu.
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić wzory - pole rombu to \\(s^2\\sin\\alpha\\), a nie \\(s^2\\cos\\alpha\\). Kosinus pojawia się przy obliczaniu przekątnych, nie pola.
\n
⚠️ Uwaga: Przy \\(\\sin\\alpha = \\frac{1}{2}\\) pamiętaj, że kąt ostry to zawsze \\(30°\\), nie \\(150°\\) (które też spełnia równanie, ale daje kąt rozwarty, a my szukamy kąta ostrego rombu).
\n

Odpowiedź: \\(53°\\)

\n

Rozwiązanie:

\n

Dane: Trójkąt \\(ABC\\) równoramienny z \\(|AC| = |BC|\\), punkt \\(D\\) na \\(AB\\) taki, że \\(|BD| = |CD|\\), \\(\\angle ACD = 21°\\).

\n

Oznaczmy \\(\\angle A = \\angle B = \\alpha\\) (kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego).

\n

W trójkącie \\(BCD\\): \\(|BD| = |CD|\\), więc trójkąt \\(BCD\\) jest równoramienny. Kąty naprzeciw równych boków są równe:
\\(\\angle BCD = \\angle DBC = \\alpha\\)

\n

W trójkącie \\(ABC\\):
\\(\\angle ACB = \\angle ACD + \\angle BCD = 21° + \\alpha\\)

\n

Suma kątów trójkąta \\(ABC\\):
\\(\\alpha + \\alpha + (21° + \\alpha) = 180°\\)
\\(3\\alpha + 21° = 180°\\)
\\(3\\alpha = 159°\\)
\\(\\alpha = 53°\\)

\n

Zatem \\(\\angle BCD = \\alpha = 53°\\).

\n

Użyte wzory z karty CKE: Suma kątów trójkąta = \\(180°\\); własności trójkąta równoramiennego

"}]}