{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (1 pkt)\nProste o równaniach:\n2\n2\n1\ny\nmx\nm\n- oraz\n2\n2\n4\n1\ny\nm x\nm\n+ są prostopadłe dla\nA.\n1\n2\nm = -\nB.\n1\n2\nm =\nC.\n1\nm =\nD.\n2\nm =","answer":"A","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający bada równoległość i prostopadłość\nprostych na podstawie ich równań\nkierunkowych (8.c).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(R = 2\\sqrt{6}\\)\n\n(Odpowiedź A = 6 jest błędna. Poprawna to \\(2\\sqrt{6}\\) - szczegóły poniżej.)\n\n## Sposób 1 - Wzór na promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym\n\n**Krok 1: Wyznaczamy długość boku trójkąta.**\n\nSkoro \\(ABC\\) jest trójkątem **równobocznym**, to każdy bok ma tę samą długość. Możemy wyznaczyć bok korzystając z odcinka \\(AB\\):\n\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \\sqrt{(4-(-2))^2 + (-1-5)^2}\\]\n\n\\[|AB| = \\sqrt{6^2 + (-6)^2} = \\sqrt{36 + 36} = \\sqrt{72} = 6\\sqrt{2}\\]\n\nZatem bok trójkąta równobocznego \\(a = 6\\sqrt{2}\\).\n\n**Krok 2: Stosujemy wzór na promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym.**\n\nZ karty wzorów (dział 10): dla trójkąta równobocznego o boku \\(a\\):\n\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}, \\quad R = \\frac{2h}{3}\\]\n\n\\[R = \\frac{2}{3} \\cdot \\frac{a\\sqrt{3}}{2} = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}\\]\n\n**Krok 3: Podstawiamy \\(a = 6\\sqrt{2}\\):**\n\n\\[R = \\frac{6\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{3}}{3} = \\frac{6\\sqrt{6}}{3} = 2\\sqrt{6}\\]\n\n**Wynik: \\(\\boxed{R = 2\\sqrt{6}}\\)**\n\n## Sposób 2 - Wzór ogólny \\(R = \\frac{abc}{4P}\\)\n\n**Obliczamy pole trójkąta równobocznego:**\n\n\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{(6\\sqrt{2})^2 \\cdot \\sqrt{3}}{4} = \\frac{72\\sqrt{3}}{4} = 18\\sqrt{3}\\]\n\n**Stosujemy ogólny wzór na circumradius:**\n\n\\[R = \\frac{a \\cdot b \\cdot c}{4P} = \\frac{a^3}{4P}\\]\n\n(bo trójkąt równoboczny: \\(a = b = c = 6\\sqrt{2}\\))\n\n\\[R = \\frac{(6\\sqrt{2})^3}{4 \\cdot 18\\sqrt{3}} = \\frac{216\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{2}}{72\\sqrt{3}} = \\frac{216 \\cdot 2}{72\\sqrt{3}} = \\frac{432}{72\\sqrt{3}} = \\frac{6}{\\sqrt{3}} = \\frac{6\\sqrt{3}}{3} = 2\\sqrt{3} \\cdot \\frac{\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}}\\]\n\nPoczekaj - policzmy dokładnie \\((6\\sqrt{2})^3\\):\n\\[(6\\sqrt{2})^3 = 6^3 \\cdot (\\sqrt{2})^3 = 216 \\cdot 2\\sqrt{2} = 432\\sqrt{2}\\]\n\n\\[R = \\frac{432\\sqrt{2}}{4 \\cdot 18\\sqrt{3}} = \\frac{432\\sqrt{2}}{72\\sqrt{3}} = 6 \\cdot \\frac{\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}} = \\frac{6\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}} = \\frac{6\\sqrt{6}}{3} = 2\\sqrt{6}\\]\n\nWynik zgodny - \\(R = 2\\sqrt{6} \\approx 4{,}90\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)** - długość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia boku trójkąta.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - trójkąt równoboczny o boku \\(a\\):\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}, \\quad R = \\frac{2h}{3} = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}\\]\nTo kluczowy wzór łączący promień okręgu opisanego z bokiem.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 17)** - ogólny wzór na circumradius:\n\\[R = \\frac{abc}{4P}\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 2 jako weryfikację.\n\n## Dlaczego odpowiedź A = 6 jest błędna?\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A = 6** | Uczeń oblicza \\(\\|AB\\| = 6\\sqrt{2}\\), ale potem stosuje błędny wzór \\(R = \\frac{a}{\\sqrt{2}} = \\frac{6\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}} = 6\\) - myli wzory trójkąta równobocznego z prostokątnym. Albo po prostu bierze samą składową \\(\\|\\Delta x\\| = 6\\) jako wynik końcowy. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dla trójkąta równobocznego \\(R = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}\\), NIE \\(R = \\frac{a}{2}\\) (to byłby promień okręgu wpisanego \\(r\\), i to też nie - \\(r = \\frac{a\\sqrt{3}}{6} = \\frac{h}{3}\\)). Łatwo pomylić \\(R\\) z \\(r\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{36 + 36} \\neq 36 + 36 = 72\\). Pierwiastek NIE rozdziela się na sumę: \\(\\sqrt{a+b} \\neq \\sqrt{a} + \\sqrt{b}\\). Poprawnie: \\(\\sqrt{72} = \\sqrt{36 \\cdot 2} = 6\\sqrt{2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \\(C\\) nie jest tu potrzebny do obliczenia \\(R\\)! Skoro trójkąt jest równoboczny, bok \\(a = |AB|\\) wyznacza wszystko. Nie musisz szukać współrzędnych \\(C\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nNierówność trójkąta - suma dwóch dowolnych boków musi być większa od trzeciego. Dla boków 7, 2 i \\(x\\):\n\n1. \\(7 + 2 > x \\Rightarrow x < 9\\)\n2. \\(7 + x > 2\\) - zawsze spełnione dla \\(x > 0\\)\n3. \\(2 + x > 7 \\Rightarrow x > 5\\)\n\nZatem \\(5 < x < 9\\), czyli \\(x \\in \\{6, 7, 8\\}\\) (bo \\(x\\) jest liczbą całkowitą).\n\nSpośród odpowiedzi: \\(x = 6\\) ✓\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Nierówność trójkąta\n\n**Dlaczego inne błędne:**\n- A. \\(12 > 9\\) - nie spełnia \\(x < 9\\)\n- B. \\(9\\) - nie spełnia \\(x < 9\\) (nierówność ostra)\n- D. \\(3\\) - nie spełnia \\(x > 5\\)","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 17. (1 pkt)
Proste o równaniach:
2
2
1
y
mx
m

\n\n

2
2
4
1
y
m x
m

\n\n

A.
1
2
m = -
B.
1
2
m =
C.
1
m =
D.
2
m =

","answer_text_html":"

Zadanie 17. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.
\n

Zdający bada równoległość i prostopadłość
prostych na podstawie ich równań
kierunkowych (8.c).
Wersja
I
Wersja
II
A
B

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(R = 2\\sqrt{6}\\)

\n

(Odpowiedź A = 6 jest błędna. Poprawna to \\(2\\sqrt{6}\\) - szczegóły poniżej.)

\n

Sposób 1 - Wzór na promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym

\n

Krok 1: Wyznaczamy długość boku trójkąta.

\n

Skoro \\(ABC\\) jest trójkątem równobocznym, to każdy bok ma tę samą długość. Możemy wyznaczyć bok korzystając z odcinka \\(AB\\):

\n

\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \\sqrt{(4-(-2))^2 + (-1-5)^2}\\]

\n

\\[|AB| = \\sqrt{6^2 + (-6)^2} = \\sqrt{36 + 36} = \\sqrt{72} = 6\\sqrt{2}\\]

\n

Zatem bok trójkąta równobocznego \\(a = 6\\sqrt{2}\\).

\n

Krok 2: Stosujemy wzór na promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym.

\n

Z karty wzorów (dział 10): dla trójkąta równobocznego o boku \\(a\\):

\n

\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}, \\quad R = \\frac{2h}{3}\\]

\n

\\[R = \\frac{2}{3} \\cdot \\frac{a\\sqrt{3}}{2} = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}\\]

\n

Krok 3: Podstawiamy \\(a = 6\\sqrt{2}\\):

\n

\\[R = \\frac{6\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{3}}{3} = \\frac{6\\sqrt{6}}{3} = 2\\sqrt{6}\\]

\n

Wynik: \\(\\boxed{R = 2\\sqrt{6}}\\)

\n

Sposób 2 - Wzór ogólny \\(R = \\frac{abc}{4P}\\)

\n

Obliczamy pole trójkąta równobocznego:

\n

\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{(6\\sqrt{2})^2 \\cdot \\sqrt{3}}{4} = \\frac{72\\sqrt{3}}{4} = 18\\sqrt{3}\\]

\n

Stosujemy ogólny wzór na circumradius:

\n

\\[R = \\frac{a \\cdot b \\cdot c}{4P} = \\frac{a^3}{4P}\\]

\n

(bo trójkąt równoboczny: \\(a = b = c = 6\\sqrt{2}\\))

\n

\\[R = \\frac{(6\\sqrt{2})^3}{4 \\cdot 18\\sqrt{3}} = \\frac{216\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{2}}{72\\sqrt{3}} = \\frac{216 \\cdot 2}{72\\sqrt{3}} = \\frac{432}{72\\sqrt{3}} = \\frac{6}{\\sqrt{3}} = \\frac{6\\sqrt{3}}{3} = 2\\sqrt{3} \\cdot \\frac{\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}}\\]

\n

Poczekaj - policzmy dokładnie \\((6\\sqrt{2})^3\\):
\\[(6\\sqrt{2})^3 = 6^3 \\cdot (\\sqrt{2})^3 = 216 \\cdot 2\\sqrt{2} = 432\\sqrt{2}\\]

\n

\\[R = \\frac{432\\sqrt{2}}{4 \\cdot 18\\sqrt{3}} = \\frac{432\\sqrt{2}}{72\\sqrt{3}} = 6 \\cdot \\frac{\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}} = \\frac{6\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}} = \\frac{6\\sqrt{6}}{3} = 2\\sqrt{6}\\]

\n

Wynik zgodny - \\(R = 2\\sqrt{6} \\approx 4{,}90\\). ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22) - długość odcinka:
\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]
Użyliśmy do wyznaczenia boku trójkąta.

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15-21) - trójkąt równoboczny o boku \\(a\\):
\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}, \\quad R = \\frac{2h}{3} = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}\\]
To kluczowy wzór łączący promień okręgu opisanego z bokiem.

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 17) - ogólny wzór na circumradius:
\\[R = \\frac{abc}{4P}\\]
Użyliśmy go w Sposobie 2 jako weryfikację.

\n

Dlaczego odpowiedź A = 6 jest błędna?

\n

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A = 6 | Uczeń oblicza \\(\\|AB\\| = 6\\sqrt{2}\\), ale potem stosuje błędny wzór \\(R = \\frac{a}{\\sqrt{2}} = \\frac{6\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}} = 6\\) - myli wzory trójkąta równobocznego z prostokątnym. Albo po prostu bierze samą składową \\(\\|\\Delta x\\| = 6\\) jako wynik końcowy. |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Dla trójkąta równobocznego \\(R = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}\\), NIE \\(R = \\frac{a}{2}\\) (to byłby promień okręgu wpisanego \\(r\\), i to też nie - \\(r = \\frac{a\\sqrt{3}}{6} = \\frac{h}{3}\\)). Łatwo pomylić \\(R\\) z \\(r\\)!
\n
⚠️ Uwaga: \\(\\sqrt{36 + 36} \\neq 36 + 36 = 72\\). Pierwiastek NIE rozdziela się na sumę: \\(\\sqrt{a+b} \\neq \\sqrt{a} + \\sqrt{b}\\). Poprawnie: \\(\\sqrt{72} = \\sqrt{36 \\cdot 2} = 6\\sqrt{2}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Punkt \\(C\\) nie jest tu potrzebny do obliczenia \\(R\\)! Skoro trójkąt jest równoboczny, bok \\(a = |AB|\\) wyznacza wszystko. Nie musisz szukać współrzędnych \\(C\\).
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n

Rozwiązanie:

\n

Nierówność trójkąta - suma dwóch dowolnych boków musi być większa od trzeciego. Dla boków 7, 2 i \\(x\\):

\n
  1. \\(7 + 2 > x \\Rightarrow x < 9\\)
  2. \\(7 + x > 2\\) - zawsze spełnione dla \\(x > 0\\)
  3. \\(2 + x > 7 \\Rightarrow x > 5\\)
\n

Zatem \\(5 < x < 9\\), czyli \\(x \\in \\{6, 7, 8\\}\\) (bo \\(x\\) jest liczbą całkowitą).

\n

Spośród odpowiedzi: \\(x = 6\\) ✓

\n

Użyte wzory z karty CKE: Nierówność trójkąta

\n

Dlaczego inne błędne:

\n"}]}