{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (1 pkt)\nDane są punkty\n(\n)\n3,\n5\nM =\noraz\n(\n)\n1, 7\nN = -\n. Prosta przechodząca przez te punkty ma\nrównanie\nA.\n3\n4\ny\nx\nB.\n3\n4\ny\nx\nC.\n1\n4\n3\ny\nx\nD.\n3\n4\ny\nx","answer":"A","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający podaje równanie prostej, mając dane\ndwa jej punkty (8.b).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A (10)\n\n## Sposób 1 - Odległość punktu od prostej równoległej do osi\n\nMamy punkt \\(A = (-2, 4)\\) i dwie proste: \\(x = 3\\) (pionowa) oraz \\(y = -1\\) (pozioma).\n\n**Odległość od prostej \\(x = 3\\):**\n\nProsta \\(x = 3\\) jest pionowa - każdy punkt na niej ma pierwszą współrzędną równą \\(3\\). Odległość punktu \\((-2, 4)\\) od tej prostej to po prostu różnica współrzędnych \\(x\\):\n\n\\[d_1 = |(-2) - 3| = |-5| = 5\\]\n\n**Odległość od prostej \\(y = -1\\):**\n\nProsta \\(y = -1\\) jest pozioma - każdy punkt na niej ma drugą współrzędną równą \\(-1\\). Odległość punktu \\((-2, 4)\\) od tej prostej to różnica współrzędnych \\(y\\):\n\n\\[d_2 = |4 - (-1)| = |5| = 5\\]\n\n**Suma odległości:**\n\n\\[d_1 + d_2 = 5 + 5 = \\mathbf{10}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzór ogólny na odległość punktu od prostej\n\nZamiast korzystać z geometrycznej intuicji, użyjmy formalnego wzoru na odległość punktu \\(P(x_0, y_0)\\) od prostej \\(Ax + By + C = 0\\).\n\n**Prosta \\(x = 3\\)**, czyli \\(1 \\cdot x + 0 \\cdot y - 3 = 0\\) → \\(A=1, B=0, C=-3\\):\n\n\\[d_1 = \\frac{|1 \\cdot (-2) + 0 \\cdot 4 + (-3)|}{\\sqrt{1^2 + 0^2}} = \\frac{|-2 - 3|}{1} = \\frac{5}{1} = 5\\]\n\n**Prosta \\(y = -1\\)**, czyli \\(0 \\cdot x + 1 \\cdot y + 1 = 0\\) → \\(A=0, B=1, C=1\\):\n\n\\[d_2 = \\frac{|0 \\cdot (-2) + 1 \\cdot 4 + 1|}{\\sqrt{0^2 + 1^2}} = \\frac{|4 + 1|}{1} = \\frac{5}{1} = 5\\]\n\n\\[d_1 + d_2 = 5 + 5 = \\mathbf{10}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik - to dobrze.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - odległość punktu \\(P(x_0, y_0)\\) od prostej \\(Ax + By + C = 0\\):\n\n\\[d = \\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2 + B^2}}\\]\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 do wyznaczenia obu odległości. W Sposobie 1 jest to uproszczenie tego wzoru dla prostych osiowych (\\(B=0\\) lub \\(A=0\\)), gdzie mianownik wynosi 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B (9) | Pomylenie znaku przy obliczaniu \\(d_2\\): \\|4 - 1\\| = 3 zamiast \\|4 - (-1)\\| = 5; wtedy \\(5 + 3 + 1 = \\) lub po prostu \\(5 + 4 = 9\\) przez pominięcie modułu |\n| C (8) | Policzenie odległości bez wartości bezwzględnej: \\((-2) - 3 = -5\\), ale wzięcie \\(5\\); dla \\(y\\): \\(4 - (-1)\\) potraktowane jako \\(4 - 1 = 3\\); wtedy \\(5 + 3 = 8\\) |\n| D (7) | Obliczenie \\(d_1 = \\|{-2} - 3\\| = 5\\), ale \\(d_2 = \\|4\\| = 4\\) (zignorowanie \\(y = -1\\)); wtedy \\(5 + 4 - 2 = 7\\) lub \\(3 + 4 = 7\\) przez różne pomyłki ze znakiem |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prosta \\(y = -1\\) - nie pomyl! Odległość od punktu \\((x_0, 4)\\) do prostej \\(y = -1\\) to \\(|4 - (-1)| = 5\\), a **nie** \\(|4 - 1| = 3\\). Minus przy \\(-1\\) często ginie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odległość musi być nieujemna - zawsze stosuj wartość bezwzględną. Nie ma znaczenia, po której stronie prostej leży punkt.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dla prostych pionowych (\\(x = k\\)) liczy się tylko różnica współrzędnych \\(x\\) - współrzędna \\(y\\) punktu jest tu zupełnie nieistotna i nie wpływa na odległość.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nBoki: \\(a = 20\\), \\(b = 12\\), kąt między nimi \\(\\gamma = 120°\\).\n\nPole trójkąta:\n\\(P = \\frac{1}{2}ab\\sin\\gamma = \\frac{1}{2} \\cdot 20 \\cdot 12 \\cdot \\sin 120°\\)\n\n\\(\\sin 120° = \\sin(180° - 60°) = \\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\)\n\n\\(P = \\frac{1}{2} \\cdot 20 \\cdot 12 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\frac{240\\sqrt{3}}{4} = 60\\sqrt{3}\\)\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Pole trójkąta \\(P = \\frac{1}{2}ab\\sin\\gamma\\); wzory redukcyjne \\(\\sin(180° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\)\n\n**Dlaczego inne błędne:**\n- B. \\(120 = \\frac{1}{2} \\cdot 20 \\cdot 12\\) - pominięto \\(\\sin 120°\\)\n- C. \\(60\\sqrt{2}\\) - użyto złej wartości sinusa\n- D. \\(120\\sqrt{3}\\) - brak dzielenia przez 2","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 18. (1 pkt)<br>Dane są punkty<br>(<br>)<br>3,<br>5<br>M =<br>oraz<br>(<br>)<br>1, 7<br>N = -<br>. Prosta przechodząca przez te punkty ma<br>równanie<br>A.<br>3<br>4<br>y<br>x<br>B.<br>3<br>4<br>y<br>x<br>C.<br>1<br>4<br>3<br>y<br>x<br>D.<br>3<br>4<br>y<br>x</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 18. (0-1)<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.</li></ol>\n<p>Zdający podaje równanie prostej, mając dane<br>dwa jej punkty (8.b).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>A<br>C</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A (10)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Odległość punktu od prostej równoległej do osi</h4>\n<p>Mamy punkt \\(A = (-2, 4)\\) i dwie proste: \\(x = 3\\) (pionowa) oraz \\(y = -1\\) (pozioma).</p>\n<p><strong>Odległość od prostej \\(x = 3\\):</strong></p>\n<p>Prosta \\(x = 3\\) jest pionowa - każdy punkt na niej ma pierwszą współrzędną równą \\(3\\). Odległość punktu \\((-2, 4)\\) od tej prostej to po prostu różnica współrzędnych \\(x\\):</p>\n<p>\\[d_1 = |(-2) - 3| = |-5| = 5\\]</p>\n<p><strong>Odległość od prostej \\(y = -1\\):</strong></p>\n<p>Prosta \\(y = -1\\) jest pozioma - każdy punkt na niej ma drugą współrzędną równą \\(-1\\). Odległość punktu \\((-2, 4)\\) od tej prostej to różnica współrzędnych \\(y\\):</p>\n<p>\\[d_2 = |4 - (-1)| = |5| = 5\\]</p>\n<p><strong>Suma odległości:</strong></p>\n<p>\\[d_1 + d_2 = 5 + 5 = \\mathbf{10}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Wzór ogólny na odległość punktu od prostej</h4>\n<p>Zamiast korzystać z geometrycznej intuicji, użyjmy formalnego wzoru na odległość punktu \\(P(x_0, y_0)\\) od prostej \\(Ax + By + C = 0\\).</p>\n<p><strong>Prosta \\(x = 3\\)</strong>, czyli \\(1 \\cdot x + 0 \\cdot y - 3 = 0\\) → \\(A=1, B=0, C=-3\\):</p>\n<p>\\[d_1 = \\frac{|1 \\cdot (-2) + 0 \\cdot 4 + (-3)|}{\\sqrt{1^2 + 0^2}} = \\frac{|-2 - 3|}{1} = \\frac{5}{1} = 5\\]</p>\n<p><strong>Prosta \\(y = -1\\)</strong>, czyli \\(0 \\cdot x + 1 \\cdot y + 1 = 0\\) → \\(A=0, B=1, C=1\\):</p>\n<p>\\[d_2 = \\frac{|0 \\cdot (-2) + 1 \\cdot 4 + 1|}{\\sqrt{0^2 + 1^2}} = \\frac{|4 + 1|}{1} = \\frac{5}{1} = 5\\]</p>\n<p>\\[d_1 + d_2 = 5 + 5 = \\mathbf{10}\\]</p>\n<p>Oba sposoby dają ten sam wynik - to dobrze.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong> - odległość punktu \\(P(x_0, y_0)\\) od prostej \\(Ax + By + C = 0\\):</p>\n<p>\\[d = \\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2 + B^2}}\\]</p>\n<p>Użyliśmy tego w Sposobie 2 do wyznaczenia obu odległości. W Sposobie 1 jest to uproszczenie tego wzoru dla prostych osiowych (\\(B=0\\) lub \\(A=0\\)), gdzie mianownik wynosi 1.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| B (9) | Pomylenie znaku przy obliczaniu \\(d_2\\): \\|4 - 1\\| = 3 zamiast \\|4 - (-1)\\| = 5; wtedy \\(5 + 3 + 1 = \\) lub po prostu \\(5 + 4 = 9\\) przez pominięcie modułu |<br>| C (8) | Policzenie odległości bez wartości bezwzględnej: \\((-2) - 3 = -5\\), ale wzięcie \\(5\\); dla \\(y\\): \\(4 - (-1)\\) potraktowane jako \\(4 - 1 = 3\\); wtedy \\(5 + 3 = 8\\) |<br>| D (7) | Obliczenie \\(d_1 = \\|{-2} - 3\\| = 5\\), ale \\(d_2 = \\|4\\| = 4\\) (zignorowanie \\(y = -1\\)); wtedy \\(5 + 4 - 2 = 7\\) lub \\(3 + 4 = 7\\) przez różne pomyłki ze znakiem |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Prosta \\(y = -1\\) - nie pomyl! Odległość od punktu \\((x_0, 4)\\) do prostej \\(y = -1\\) to \\(|4 - (-1)| = 5\\), a <strong>nie</strong> \\(|4 - 1| = 3\\). Minus przy \\(-1\\) często ginie.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Odległość musi być nieujemna - zawsze stosuj wartość bezwzględną. Nie ma znaczenia, po której stronie prostej leży punkt.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Dla prostych pionowych (\\(x = k\\)) liczy się tylko różnica współrzędnych \\(x\\) - współrzędna \\(y\\) punktu jest tu zupełnie nieistotna i nie wpływa na odległość.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<p><strong>Rozwiązanie:</strong></p>\n<p>Boki: \\(a = 20\\), \\(b = 12\\), kąt między nimi \\(\\gamma = 120°\\).</p>\n<p>Pole trójkąta:<br>\\(P = \\frac{1}{2}ab\\sin\\gamma = \\frac{1}{2} \\cdot 20 \\cdot 12 \\cdot \\sin 120°\\)</p>\n<p>\\(\\sin 120° = \\sin(180° - 60°) = \\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\)</p>\n<p>\\(P = \\frac{1}{2} \\cdot 20 \\cdot 12 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\frac{240\\sqrt{3}}{4} = 60\\sqrt{3}\\)</p>\n<p><strong>Użyte wzory z karty CKE:</strong> Pole trójkąta \\(P = \\frac{1}{2}ab\\sin\\gamma\\); wzory redukcyjne \\(\\sin(180° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\)</p>\n<p><strong>Dlaczego inne błędne:</strong></p>\n<ul><li>B. \\(120 = \\frac{1}{2} \\cdot 20 \\cdot 12\\) - pominięto \\(\\sin 120°\\)</li><li>C. \\(60\\sqrt{2}\\) - użyto złej wartości sinusa</li><li>D. \\(120\\sqrt{3}\\) - brak dzielenia przez 2</li></ul>"}]}