{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (1 pkt)\nDane są punkty:\n(\n)\n2,\n2\nP = -\n,\n(\n)\n3, 3\nQ =\n. Odległość punktu P od punktu Q jest równa\nA. 1\nB. 5\nC.\n2\n5\nD.\n5\n2","answer":"C","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający oblicza odległości punktów na\npłaszczyźnie kartezjańskiej (8.e).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C (\\(\\alpha = 50°\\))\n\n## Sposób 1 - kąt wpisany i kąt środkowy, trójkąt równoramienny\n\n**Od czego zaczynamy:** Kąt ABC jest kątem wpisanym w okrąg, który opiera się na cięciwie AC. Kąt środkowy ASC opiera się na tym samym łuku AC.\n\n**Krok 1 - wyznacz kąt środkowy ASC.**\n\nZ twierdzenia o kącie wpisanym i środkowym:\n\\[\\angle ASC = 2 \\cdot \\angle ABC = 2 \\cdot 40° = 80°\\]\n\n**Krok 2 - zbadaj trójkąt ASC.**\n\nOdcinki SA i SC są promieniami tego samego okręgu, więc:\n\\[SA = SC = r\\]\n\nTrójkąt ASC jest **równoramienny** z kątem przy wierzchołku \\(S\\) równym \\(80°\\).\n\n**Krok 3 - wyznacz kąty przy podstawie trójkąta ASC.**\n\nSuma kątów w trójkącie wynosi \\(180°\\), a kąty przy podstawie (przy \\(A\\) i przy \\(C\\)) są równe:\n\\[\\angle SAC = \\angle SCA = \\frac{180° - 80°}{2} = \\frac{100°}{2} = 50°\\]\n\n**Krok 4 - zidentyfikuj kąt \\(\\alpha\\).**\n\nKąt \\(\\alpha\\), jaki bok AC tworzy z promieniem CS, to właśnie kąt między odcinkiem CA a odcinkiem CS przy wierzchołku C, czyli:\n\\[\\alpha = \\angle SCA = \\mathbf{50°}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez łuk i kąt\n\n**Idee:** Sprawdzamy wynik inaczej - przez własność stycznej lub kąt między cięciwą a promieniem.\n\nKąt wpisany \\(\\angle ABC = 40°\\) oparty na łuku \\(\\overset{\\frown}{AC}\\) (nie zawierającym B).\n\nMiara łuku \\(\\overset{\\frown}{AC} = 2 \\cdot 40° = 80°\\) (łuk w stopniach = kąt środkowy).\n\nPromień CS jest osią symetrii trójkąta ASC (bo SA = SC). Przecina on podstawę AC w połowie i pod kątem prostym do AC **tylko gdyby** był prostopadły - ale nie musi być.\n\nW trójkącie równoramiennym ASC kąt między ramieniem SC a podstawą AC:\n\\[\\angle SCA = \\frac{180° - \\angle ASC}{2} = \\frac{180° - 80°}{2} = 50°\\]\n\nWynik zgodny: \\(\\alpha = 50°\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-19)** - twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym:\n> Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.\n\nUżyliśmy tego w Kroku 1: \\(\\angle ASC = 2 \\cdot \\angle ABC\\).\n\nSuma kątów w trójkącie: \\(\\alpha + \\beta + \\gamma = 180°\\) - Krok 3.\n\nTrójkąt równoramienny: kąty przy podstawie są równe - Krok 2 i 3.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (\\(40°\\)) | Uczeń myśli, że kąt \\(\\alpha\\) = kąt ABC, bo \"oba dotyczą punktu C lub boku AC\" - ignoruje, że kąt środkowy = 2 × kąt wpisany |\n| B (\\(45°\\)) | Błędne założenie, że trójkąt ASC jest prostokątny lub że kąt \\(\\alpha = \\frac{90°}{2}\\) |\n| D (\\(60°\\)) | Uczeń oblicza \\(\\angle ASC = 40°\\) (zamiast 80°) i liczy \\(\\frac{180°-40°}{2} = 70°\\), albo miesza i bierze \\(\\frac{120°}{2}\\) - błąd przy zastosowaniu twierdzenia o kącie wpisanym |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt środkowy = **2 razy** kąt wpisany, NIE odwrotnie. Łatwo pomylić kierunek: kąt ABC = 40° daje kąt ASC = 80°, a nie 20°.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** SA i SC to promienie - trójkąt ASC jest równoramienny! Nie zakładaj, że jest prostokątny ani równoboczny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Szukany kąt \\(\\alpha\\) to kąt przy wierzchołku **C** w trójkącie ASC, a nie kąt przy A. Oba są równe 50° (bo trójkąt równoramienny), ale upewnij się, że czytasz z rysunku właściwy kąt.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nStożek o promieniu podstawy \\(r\\) i tworzącej \\(l\\). W przekroju osiowym stożka powstaje trójkąt równoramienny. Kąt rozwarcia to kąt przy wierzchołku tego trójkąta.\n\nZ trójkąta prostokątnego (wysokość, promień, tworząca):\n\\(\\sin\\left(\\frac{\\alpha}{2}\\right) = \\frac{r}{l}\\)\n\nDla konfiguracji, w której \\(\\frac{r}{l} = \\frac{1}{2}\\) (np. \\(r = 6\\), \\(l = 12\\) lub \\(r = 3\\), \\(l = 6\\)):\n\\(\\sin\\left(\\frac{\\alpha}{2}\\right) = \\frac{1}{2}\\)\n\\(\\frac{\\alpha}{2} = 30°\\)\n\\(\\alpha = 60°\\)\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Definicja sinusa w trójkącie prostokątnym: \\(\\sin\\alpha = \\frac{a}{c}\\); stożek - geometria przestrzenna\n\n**Dlaczego inne błędne:**\n- A. \\(30°\\) - to połowa kąta rozwarcia, nie cały\n- B. \\(45°\\) - wymagałoby \\(\\sin 22{,}5° = r/l\\)\n- D. \\(90°\\) - wymagałoby \\(\\sin 45° = \\frac{\\sqrt{2}}{2} = r/l\\)","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 19. (1 pkt)<br>Dane są punkty:<br>(<br>)<br>2,<br>2<br>P = -<br>,<br>(<br>)<br>3, 3<br>Q =<br>. Odległość punktu P od punktu Q jest równa<br>A. 1<br>B. 5<br>C.<br>2<br>5<br>D.<br>5<br>2</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 19. (0-1)<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.</li></ol>\n<p>Zdający oblicza odległości punktów na<br>płaszczyźnie kartezjańskiej (8.e).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>C<br>B</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C (\\(\\alpha = 50°\\))</h4>\n<h4>Sposób 1 - kąt wpisany i kąt środkowy, trójkąt równoramienny</h4>\n<p><strong>Od czego zaczynamy:</strong> Kąt ABC jest kątem wpisanym w okrąg, który opiera się na cięciwie AC. Kąt środkowy ASC opiera się na tym samym łuku AC.</p>\n<p><strong>Krok 1 - wyznacz kąt środkowy ASC.</strong></p>\n<p>Z twierdzenia o kącie wpisanym i środkowym:<br>\\[\\angle ASC = 2 \\cdot \\angle ABC = 2 \\cdot 40° = 80°\\]</p>\n<p><strong>Krok 2 - zbadaj trójkąt ASC.</strong></p>\n<p>Odcinki SA i SC są promieniami tego samego okręgu, więc:<br>\\[SA = SC = r\\]</p>\n<p>Trójkąt ASC jest <strong>równoramienny</strong> z kątem przy wierzchołku \\(S\\) równym \\(80°\\).</p>\n<p><strong>Krok 3 - wyznacz kąty przy podstawie trójkąta ASC.</strong></p>\n<p>Suma kątów w trójkącie wynosi \\(180°\\), a kąty przy podstawie (przy \\(A\\) i przy \\(C\\)) są równe:<br>\\[\\angle SAC = \\angle SCA = \\frac{180° - 80°}{2} = \\frac{100°}{2} = 50°\\]</p>\n<p><strong>Krok 4 - zidentyfikuj kąt \\(\\alpha\\).</strong></p>\n<p>Kąt \\(\\alpha\\), jaki bok AC tworzy z promieniem CS, to właśnie kąt między odcinkiem CA a odcinkiem CS przy wierzchołku C, czyli:<br>\\[\\alpha = \\angle SCA = \\mathbf{50°}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - weryfikacja przez łuk i kąt</h4>\n<p><strong>Idee:</strong> Sprawdzamy wynik inaczej - przez własność stycznej lub kąt między cięciwą a promieniem.</p>\n<p>Kąt wpisany \\(\\angle ABC = 40°\\) oparty na łuku \\(\\overset{\\frown}{AC}\\) (nie zawierającym B).</p>\n<p>Miara łuku \\(\\overset{\\frown}{AC} = 2 \\cdot 40° = 80°\\) (łuk w stopniach = kąt środkowy).</p>\n<p>Promień CS jest osią symetrii trójkąta ASC (bo SA = SC). Przecina on podstawę AC w połowie i pod kątem prostym do AC <strong>tylko gdyby</strong> był prostopadły - ale nie musi być.</p>\n<p>W trójkącie równoramiennym ASC kąt między ramieniem SC a podstawą AC:<br>\\[\\angle SCA = \\frac{180° - \\angle ASC}{2} = \\frac{180° - 80°}{2} = 50°\\]</p>\n<p>Wynik zgodny: \\(\\alpha = 50°\\). ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15-19)</strong> - twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym:</p>\n<blockquote>Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.</blockquote>\n<p>Użyliśmy tego w Kroku 1: \\(\\angle ASC = 2 \\cdot \\angle ABC\\).</p>\n<p>Suma kątów w trójkącie: \\(\\alpha + \\beta + \\gamma = 180°\\) - Krok 3.</p>\n<p>Trójkąt równoramienny: kąty przy podstawie są równe - Krok 2 i 3.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A (\\(40°\\)) | Uczeń myśli, że kąt \\(\\alpha\\) = kąt ABC, bo &quot;oba dotyczą punktu C lub boku AC&quot; - ignoruje, że kąt środkowy = 2 × kąt wpisany |<br>| B (\\(45°\\)) | Błędne założenie, że trójkąt ASC jest prostokątny lub że kąt \\(\\alpha = \\frac{90°}{2}\\) |<br>| D (\\(60°\\)) | Uczeń oblicza \\(\\angle ASC = 40°\\) (zamiast 80°) i liczy \\(\\frac{180°-40°}{2} = 70°\\), albo miesza i bierze \\(\\frac{120°}{2}\\) - błąd przy zastosowaniu twierdzenia o kącie wpisanym |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kąt środkowy = <strong>2 razy</strong> kąt wpisany, NIE odwrotnie. Łatwo pomylić kierunek: kąt ABC = 40° daje kąt ASC = 80°, a nie 20°.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> SA i SC to promienie - trójkąt ASC jest równoramienny! Nie zakładaj, że jest prostokątny ani równoboczny.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Szukany kąt \\(\\alpha\\) to kąt przy wierzchołku <strong>C</strong> w trójkącie ASC, a nie kąt przy A. Oba są równe 50° (bo trójkąt równoramienny), ale upewnij się, że czytasz z rysunku właściwy kąt.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<p><strong>Rozwiązanie:</strong></p>\n<p>Stożek o promieniu podstawy \\(r\\) i tworzącej \\(l\\). W przekroju osiowym stożka powstaje trójkąt równoramienny. Kąt rozwarcia to kąt przy wierzchołku tego trójkąta.</p>\n<p>Z trójkąta prostokątnego (wysokość, promień, tworząca):<br>\\(\\sin\\left(\\frac{\\alpha}{2}\\right) = \\frac{r}{l}\\)</p>\n<p>Dla konfiguracji, w której \\(\\frac{r}{l} = \\frac{1}{2}\\) (np. \\(r = 6\\), \\(l = 12\\) lub \\(r = 3\\), \\(l = 6\\)):<br>\\(\\sin\\left(\\frac{\\alpha}{2}\\right) = \\frac{1}{2}\\)<br>\\(\\frac{\\alpha}{2} = 30°\\)<br>\\(\\alpha = 60°\\)</p>\n<p><strong>Użyte wzory z karty CKE:</strong> Definicja sinusa w trójkącie prostokątnym: \\(\\sin\\alpha = \\frac{a}{c}\\); stożek - geometria przestrzenna</p>\n<p><strong>Dlaczego inne błędne:</strong></p>\n<ul><li>A. \\(30°\\) - to połowa kąta rozwarcia, nie cały</li><li>B. \\(45°\\) - wymagałoby \\(\\sin 22{,}5° = r/l\\)</li><li>D. \\(90°\\) - wymagałoby \\(\\sin 45° = \\frac{\\sqrt{2}}{2} = r/l\\)</li></ul>"}]}