{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (1 pkt)\nNajmniejszą liczbą całkowitą dodatnią spełniającą nierówność\n4,5\n6\nx +\n≥\njest\nA.\n1\nx\nB.\n2\nx\nC.\n3\nx =\nD.\n6\nx","answer":"B","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający wykorzystuje\npojęcie wartości bezwzględnej i jej\ninterpretację geometryczną, zaznacza na osi\nliczbowej zbiory opisane za pomocą równań\ni nierówności typu:\nb\na\nx\n,\nb\na\nx\n>\n,\nb\na\nx\n<\n(1.f).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - 36 600 zł\n\n## Sposób 1 - Wzór na cenę netto z ceny brutto\n\n**Zacznijmy od definicji:**\nCena brutto to cena netto powiększona o podatek VAT:\n\n\\[\\text{cena brutto} = \\text{cena netto} \\cdot \\left(1 + \\frac{\\text{VAT\\%}}{100}\\right)\\]\n\nPrzy stawce 23%:\n\n\\[\\text{cena brutto} = \\text{cena netto} \\cdot 1{,}23\\]\n\n**Mamy cenę brutto, szukamy ceny netto** - dzielimy obie strony przez \\(1{,}23\\):\n\n\\[\\text{cena netto} = \\frac{\\text{cena brutto}}{1{,}23} = \\frac{45\\,018}{1{,}23}\\]\n\nObliczamy:\n\n\\[\\frac{45\\,018}{1{,}23} = \\frac{4\\,501\\,800}{123}\\]\n\n\\[123 \\times 36\\,000 = 4\\,428\\,000\\]\n\\[4\\,501\\,800 - 4\\,428\\,000 = 73\\,800\\]\n\\[123 \\times 600 = 73\\,800\\]\n\n\\[\\frac{4\\,501\\,800}{123} = 36\\,600\\]\n\n**Cena netto samochodu wynosi 36 600 zł.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja (sprawdzenie przez mnożenie)\n\nJeśli cena netto to \\(36\\,600\\) zł, to podatek VAT wynosi:\n\n\\[36\\,600 \\cdot 0{,}23 = 8\\,418 \\text{ zł}\\]\n\nCena brutto powinna wynosić:\n\n\\[36\\,600 + 8\\,418 = 45\\,018 \\text{ zł}\\]\n\nTo dokładnie tyle, ile podano w zadaniu. **Wynik jest poprawny.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji VAT i podstawowe działania arytmetyczne (dzielenie).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| C - 44 995 zł | Odjęto samą liczbę 23 od ceny brutto: \\(45\\,018 - 23 = 44\\,995\\). Zupełne nieporozumienie - podatek to procent, nie stała kwota. |\n| A (obraz) | Prawdopodobnie obliczono \\(45\\,018 \\times (1 - 0{,}23) = 45\\,018 \\times 0{,}77 \\approx 34\\,664\\) - błąd polegający na odejmowaniu 23% od ceny **brutto** zamiast od netto. |\n| D (obraz) | Prawdopodobnie \\(45\\,018 \\times 1{,}23 \\approx 55\\,372\\) - pomylono kierunek: pomnożono cenę brutto przez \\(1{,}23\\) zamiast podzielić. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to odejmowanie 23% od ceny **brutto**: \\(45\\,018 \\times 0{,}23 = 10\\,354\\), a potem \\(45\\,018 - 10\\,354 = 34\\,664\\). To błąd! Cena brutto to już cena netto **powiększona** o VAT, więc \\(23\\%\\) brutto \\(\\neq 23\\%\\) netto.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zapamiętaj schemat: \\(\\text{brutto} = \\text{netto} \\times 1{,}23\\), więc \\(\\text{netto} = \\frac{\\text{brutto}}{1{,}23}\\). **Zawsze dzielimy przez \\(1{,}23\\)**, nie mnożymy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prosta sprawdzalność - cena netto **musi być mniejsza** od ceny brutto. Jeśli wyszło więcej niż 45 018 zł, na pewno jest błąd.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nObliczamy pierwiastek piątego stopnia:\n\\(\\sqrt[5]{-32} = -2\\), bo \\((-2)^5 = -32\\)\n\nDzielimy przez 4:\n\\(\\frac{-2}{4} = -\\frac{1}{2}\\)\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Definicja pierwiastka: \\(\\sqrt[n]{a}\\) stopnia \\(n\\) z \\(a\\) to \\(b\\) takie, że \\(b^n = a\\)\n\n**Dlaczego inne błędne:**\n- B. \\(\\frac{1}{2}\\) - brak znaku minus; \\(\\sqrt[5]{-32}\\) jest ujemne\n- C. \\(1\\) - błędne obliczenia\n- D. \\(-1\\) - \\(-1 = \\frac{-4}{4}\\), a nie \\(\\frac{-2}{4}\\)","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 2. (1 pkt)
Najmniejszą liczbą całkowitą dodatnią spełniającą nierówność
4,5
6
x +
≥
jest
A.
1
x
B.
2
x
C.
3
x =
D.
6
x

","answer_text_html":"

Zadanie 2. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Liczby rzeczywiste. Zdający wykorzystuje
\n

pojęcie wartości bezwzględnej i jej
interpretację geometryczną, zaznacza na osi
liczbowej zbiory opisane za pomocą równań
i nierówności typu:
b
a
x
,
b
a
x

\n
\n

,
b
a
x
<
(1.f).
Wersja
I
Wersja
II
B
A

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B - 36 600 zł

\n

Sposób 1 - Wzór na cenę netto z ceny brutto

\n

Zacznijmy od definicji:
Cena brutto to cena netto powiększona o podatek VAT:

\n

\\[\\text{cena brutto} = \\text{cena netto} \\cdot \\left(1 + \\frac{\\text{VAT\\%}}{100}\\right)\\]

\n

Przy stawce 23%:

\n

\\[\\text{cena brutto} = \\text{cena netto} \\cdot 1{,}23\\]

\n

Mamy cenę brutto, szukamy ceny netto - dzielimy obie strony przez \\(1{,}23\\):

\n

\\[\\text{cena netto} = \\frac{\\text{cena brutto}}{1{,}23} = \\frac{45\\,018}{1{,}23}\\]

\n

Obliczamy:

\n

\\[\\frac{45\\,018}{1{,}23} = \\frac{4\\,501\\,800}{123}\\]

\n

\\[123 \\times 36\\,000 = 4\\,428\\,000\\]
\\[4\\,501\\,800 - 4\\,428\\,000 = 73\\,800\\]
\\[123 \\times 600 = 73\\,800\\]

\n

\\[\\frac{4\\,501\\,800}{123} = 36\\,600\\]

\n

Cena netto samochodu wynosi 36 600 zł.

\n

Sposób 2 - Weryfikacja (sprawdzenie przez mnożenie)

\n

Jeśli cena netto to \\(36\\,600\\) zł, to podatek VAT wynosi:

\n

\\[36\\,600 \\cdot 0{,}23 = 8\\,418 \\text{ zł}\\]

\n

Cena brutto powinna wynosić:

\n

\\[36\\,600 + 8\\,418 = 45\\,018 \\text{ zł}\\]

\n

To dokładnie tyle, ile podano w zadaniu. Wynik jest poprawny.

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji VAT i podstawowe działania arytmetyczne (dzielenie).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| C - 44 995 zł | Odjęto samą liczbę 23 od ceny brutto: \\(45\\,018 - 23 = 44\\,995\\). Zupełne nieporozumienie - podatek to procent, nie stała kwota. |
| A (obraz) | Prawdopodobnie obliczono \\(45\\,018 \\times (1 - 0{,}23) = 45\\,018 \\times 0{,}77 \\approx 34\\,664\\) - błąd polegający na odejmowaniu 23% od ceny brutto zamiast od netto. |
| D (obraz) | Prawdopodobnie \\(45\\,018 \\times 1{,}23 \\approx 55\\,372\\) - pomylono kierunek: pomnożono cenę brutto przez \\(1{,}23\\) zamiast podzielić. |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to odejmowanie 23% od ceny brutto: \\(45\\,018 \\times 0{,}23 = 10\\,354\\), a potem \\(45\\,018 - 10\\,354 = 34\\,664\\). To błąd! Cena brutto to już cena netto powiększona o VAT, więc \\(23\\%\\) brutto \\(\\neq 23\\%\\) netto.
\n
⚠️ Uwaga: Zapamiętaj schemat: \\(\\text{brutto} = \\text{netto} \\times 1{,}23\\), więc \\(\\text{netto} = \\frac{\\text{brutto}}{1{,}23}\\). Zawsze dzielimy przez \\(1{,}23\\), nie mnożymy.
\n
⚠️ Uwaga: Prosta sprawdzalność - cena netto musi być mniejsza od ceny brutto. Jeśli wyszło więcej niż 45 018 zł, na pewno jest błąd.
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n

Rozwiązanie:

\n

Obliczamy pierwiastek piątego stopnia:
\\(\\sqrt[5]{-32} = -2\\), bo \\((-2)^5 = -32\\)

\n

Dzielimy przez 4:
\\(\\frac{-2}{4} = -\\frac{1}{2}\\)

\n

Użyte wzory z karty CKE: Definicja pierwiastka: \\(\\sqrt[n]{a}\\) stopnia \\(n\\) z \\(a\\) to \\(b\\) takie, że \\(b^n = a\\)

\n

Dlaczego inne błędne:

\n"}]}