{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (1 pkt)\nPunkt\n(\n)\n4, 4\nK = -\njest końcem odcinka KL, punkt L leży na osi Ox, a środek S tego odcinka\nleży na osi Oy. Wynika stąd, że\nA.\n(\n)\n2\n,0\nS\nB.\n(\n)\n0\n,2\nS\nC.\n(\n)\n0\n,4\nS\nD.\n(\n)\n4\n,0\nS\nb\nα\nβ\n6\n15\na\n4\n12\nα\nβ\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"A","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający wyznacza współrzędne środka\nodcinka (8.f).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\dfrac{10}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie wymiarów stożka z przekroju osiowego\n\n**Krok 1: Identyfikacja elementów stożka z przekroju.**\n\nPrzekrój osiowy stożka to trójkąt równoramienny, w którym:\n- **podstawa** trójkąta = **średnica** podstawy stożka\n- **ramiona** trójkąta = **tworzące** stożka (oznaczamy \\(l\\))\n\nMamy trójkąt o bokach \\(6, 10, 10\\), więc:\n\\[2r = 6 \\implies r = 3\\]\n\\[l = 10\\]\n\n**Krok 2: Obliczamy pole powierzchni bocznej stożka.**\n\n\\[P_b = \\pi r l = \\pi \\cdot 3 \\cdot 10 = 30\\pi\\]\n\n**Krok 3: Obliczamy pole podstawy stożka.**\n\n\\[P_p = \\pi r^2 = \\pi \\cdot 3^2 = 9\\pi\\]\n\n**Krok 4: Obliczamy stosunek.**\n\n\\[\\frac{P_b}{P_p} = \\frac{30\\pi}{9\\pi} = \\frac{30}{9} = \\boxed{\\frac{10}{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Ogólny wzór przez \\(r\\) i \\(l\\)\n\nStosunek pola bocznego do pola podstawy można wyrazić ogólnie:\n\n\\[\\frac{P_b}{P_p} = \\frac{\\pi r l}{\\pi r^2} = \\frac{l}{r}\\]\n\nTo bardzo prosty wzór - stosunek jest równy ilorazowi tworzącą przez promień podstawy. Wystarczy zatem odczytać \\(r\\) i \\(l\\) z treści:\n\n\\[r = \\frac{6}{2} = 3, \\quad l = 10\\]\n\n\\[\\frac{P_b}{P_p} = \\frac{l}{r} = \\frac{10}{3}\\]\n\n**Weryfikacja wysokości** (opcjonalnie, by upewnić się że trójkąt jest poprawny geometrycznie):\n\\[h = \\sqrt{l^2 - r^2} = \\sqrt{100 - 9} = \\sqrt{91} \\approx 9{,}54\\]\nWysokość jest dodatnia - trójkąt istnieje. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - wzory na stożek:\n\\[P_b = \\pi r l, \\qquad P_p = \\pi r^2, \\qquad V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\]\ngdzie \\(r\\) - promień podstawy, \\(l\\) - tworząca, \\(h\\) - wysokość.\n\nUżyliśmy \\(P_b\\) i \\(P_p\\) do obliczenia stosunku.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[h = \\sqrt{l^2 - r^2}\\]\nUżyte w Sposobie 2 do weryfikacji (tworząca, promień i wysokość tworzą trójkąt prostokątny).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekrój osiowy to **średnica**, nie promień! Podstawa trójkąta \\(= 2r\\), więc \\(r = 3\\), nie \\(r = 6\\). To najczęstszy błąd - prowadzi do wyniku \\(\\frac{10}{6} = \\frac{5}{3}\\) zamiast \\(\\frac{10}{3}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ramiona trójkąta przekroju = **tworzące** stożka \\(l\\), nie wysokość! Wysokość trzeba dopiero wyznaczyć z Pitagorasa (\\(h = \\sqrt{91}\\)), ale tu w ogóle jej nie potrzebujemy - stosunek \\(\\frac{P_b}{P_p} = \\frac{l}{r}\\) nie zależy od \\(h\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić pola **bocznego** \\(P_b = \\pi r l\\) z polem **całkowitym** \\(P_c = \\pi r(r + l)\\). Zadanie pyta o stosunek pola bocznego do pola podstawy, nie całkowitego do podstawy.\n\n**Odpowiedź: 24 krawędzie**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nGraniastosłup o podstawie ośmiokąta (graniastosłup ośmiokątny):\n\n- **Wierzchołki:** \\(2 \\times 8 = 16\\)\n- **Krawędzie:** \\(3 \\times 8 = 24\\) (8 krawędzi górnej podstawy + 8 dolnej + 8 krawędzi bocznych)\n- **Ściany:** \\(8 + 2 = 10\\) (8 ścian bocznych + 2 podstawy)\n\nGraniastosłup o podstawie ośmiokąta ma dokładnie **24 krawędzie**.\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Własności graniastosłupa - stereometria","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 20. (1 pkt)
Punkt
(
)
4, 4
K = -
jest końcem odcinka KL, punkt L leży na osi Ox, a środek S tego odcinka
leży na osi Oy. Wynika stąd, że
A.
(
)
2
,0
S
B.
(
)
0
,2
S
C.
(
)
0
,4
S
D.
(
)
4
,0
S
b
α
β
6
15
a
4
12
α
β

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 20. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.
\n

Zdający wyznacza współrzędne środka
odcinka (8.f).
Wersja
I
Wersja
II
A
D

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(\\dfrac{10}{3}\\)

\n

Sposób 1 - Wyznaczenie wymiarów stożka z przekroju osiowego

\n

Krok 1: Identyfikacja elementów stożka z przekroju.

\n

Przekrój osiowy stożka to trójkąt równoramienny, w którym:

\n\n

Mamy trójkąt o bokach \\(6, 10, 10\\), więc:
\\[2r = 6 \\implies r = 3\\]
\\[l = 10\\]

\n

Krok 2: Obliczamy pole powierzchni bocznej stożka.

\n

\\[P_b = \\pi r l = \\pi \\cdot 3 \\cdot 10 = 30\\pi\\]

\n

Krok 3: Obliczamy pole podstawy stożka.

\n

\\[P_p = \\pi r^2 = \\pi \\cdot 3^2 = 9\\pi\\]

\n

Krok 4: Obliczamy stosunek.

\n

\\[\\frac{P_b}{P_p} = \\frac{30\\pi}{9\\pi} = \\frac{30}{9} = \\boxed{\\frac{10}{3}}\\]

\n

Sposób 2 - Ogólny wzór przez \\(r\\) i \\(l\\)

\n

Stosunek pola bocznego do pola podstawy można wyrazić ogólnie:

\n

\\[\\frac{P_b}{P_p} = \\frac{\\pi r l}{\\pi r^2} = \\frac{l}{r}\\]

\n

To bardzo prosty wzór - stosunek jest równy ilorazowi tworzącą przez promień podstawy. Wystarczy zatem odczytać \\(r\\) i \\(l\\) z treści:

\n

\\[r = \\frac{6}{2} = 3, \\quad l = 10\\]

\n

\\[\\frac{P_b}{P_p} = \\frac{l}{r} = \\frac{10}{3}\\]

\n

Weryfikacja wysokości (opcjonalnie, by upewnić się że trójkąt jest poprawny geometrycznie):
\\[h = \\sqrt{l^2 - r^2} = \\sqrt{100 - 9} = \\sqrt{91} \\approx 9{,}54\\]
Wysokość jest dodatnia - trójkąt istnieje. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 12 (Stereometria, s. 26-28) - wzory na stożek:
\\[P_b = \\pi r l, \\qquad P_p = \\pi r^2, \\qquad V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\]
gdzie \\(r\\) - promień podstawy, \\(l\\) - tworząca, \\(h\\) - wysokość.

\n

Użyliśmy \\(P_b\\) i \\(P_p\\) do obliczenia stosunku.

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15) - twierdzenie Pitagorasa:
\\[h = \\sqrt{l^2 - r^2}\\]
Użyte w Sposobie 2 do weryfikacji (tworząca, promień i wysokość tworzą trójkąt prostokątny).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Przekrój osiowy to średnica, nie promień! Podstawa trójkąta \\(= 2r\\), więc \\(r = 3\\), nie \\(r = 6\\). To najczęstszy błąd - prowadzi do wyniku \\(\\frac{10}{6} = \\frac{5}{3}\\) zamiast \\(\\frac{10}{3}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Ramiona trójkąta przekroju = tworzące stożka \\(l\\), nie wysokość! Wysokość trzeba dopiero wyznaczyć z Pitagorasa (\\(h = \\sqrt{91}\\)), ale tu w ogóle jej nie potrzebujemy - stosunek \\(\\frac{P_b}{P_p} = \\frac{l}{r}\\) nie zależy od \\(h\\).
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić pola bocznego \\(P_b = \\pi r l\\) z polem całkowitym \\(P_c = \\pi r(r + l)\\). Zadanie pyta o stosunek pola bocznego do pola podstawy, nie całkowitego do podstawy.
\n

Odpowiedź: 24 krawędzie

\n

Rozwiązanie:

\n

Graniastosłup o podstawie ośmiokąta (graniastosłup ośmiokątny):

\n\n

Graniastosłup o podstawie ośmiokąta ma dokładnie 24 krawędzie.

\n

Użyte wzory z karty CKE: Własności graniastosłupa - stereometria

"}]}