{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (1 pkt)\nOkrąg przedstawiony na rysunku ma środek w punkcie\n(\n)\n3,1\nO =\ni przechodzi przez punkty\n(\n)\n0, 4\nS =\ni\n(\n)\n0,\n2\nT =\n. Okrąg ten jest opisany przez równanie","answer":"C","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający posługuje się równaniem okręgu\n(8.g).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: **\\(64\\sqrt{3}\\)**\n\nWszystkie krawędzie (zarówno podstawy, jak i boczne) mają długość \\(8\\), więc ostrosłup jest **czworościanem foremnym** - wszystkie 4 ściany to trójkąty równoboczne o boku \\(8\\).\n\n## Sposób 1 - wzór na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa\n\n**Obserwacja kluczowa:** \"Każda krawędź\" = boki podstawy = krawędzie boczne = \\(8\\). Podstawa to trójkąt równoboczny o boku \\(8\\), a każda ściana boczna to również trójkąt równoboczny o boku \\(8\\).\n\n**Krok 1 - pole jednego trójkąta równobocznego o boku \\(a = 8\\):**\n\n\\[P_\\triangle = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{8^2 \\cdot \\sqrt{3}}{4} = \\frac{64\\sqrt{3}}{4} = 16\\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 2 - ile ścian ma ostrosłup trójkątny?**\n\nOstrosłup prawidłowy trójkątny ma:\n- \\(1\\) ścianę podstawy (trójkąt równoboczny)\n- \\(3\\) ściany boczne (trójkąty równoramienne - ale tu równoboczne, bo krawędzie boczne = \\(8\\))\n\nŁącznie **4 ściany**, wszystkie identyczne.\n\n**Krok 3 - pole powierzchni całkowitej:**\n\n\\[P_c = 4 \\cdot P_\\triangle = 4 \\cdot 16\\sqrt{3} = \\boxed{64\\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - obliczenie przez pole podstawy i ścian bocznych osobno\n\n**Pole podstawy** (trójkąt równoboczny, bok \\(8\\)):\n\\[P_p = \\frac{8^2\\sqrt{3}}{4} = 16\\sqrt{3}\\]\n\n**Pole powierzchni bocznej** - każda z 3 ścian bocznych to trójkąt równoboczny o boku \\(8\\) (bo krawędź boczna = krawędź podstawy = \\(8\\)):\n\\[P_b = 3 \\cdot 16\\sqrt{3} = 48\\sqrt{3}\\]\n\n**Suma:**\n\\[P_c = P_p + P_b = 16\\sqrt{3} + 48\\sqrt{3} = 64\\sqrt{3}\\]\n\nWynik zgodny. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 17) - pole trójkąta równobocznego o boku \\(a\\):**\n\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\nUżyto do obliczenia pola każdej z 4 ścian (podstawy i 3 ścian bocznych).\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26) - pole powierzchni ostrosłupa:**\n\\[P_c = P_b + P_p\\]\nWzór ogólny na pole całkowite - tutaj \\(P_b = 3 \\cdot 16\\sqrt{3}\\), \\(P_p = 16\\sqrt{3}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\nPonieważ odpowiedzi są na obrazkach, podaję typowe błędne wyniki i skąd pochodzą:\n\n| Błędny wynik | Skąd pochodzi błąd |\n| \\(48\\sqrt{3}\\) | Policzono tylko 3 ściany boczne, zapomniano o podstawie |\n| \\(96\\sqrt{3}\\) | Użyto błędnego wzoru \\(P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\) z \\(a = 16\\) (podwojono bok) |\n| \\(16\\sqrt{3}\\) | Policzono pole tylko jednej ściany |\n| \\(192\\) | Użyto pola kwadratu \\(8 \\times 8 = 64\\) dla każdej ściany, bez \\(\\sqrt{3}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Ostrosłup prawidłowy trójkątny\" ma **4 ściany** (1 podstawa + 3 boczne) - nie 3! Łatwo zapomnieć o podstawie i policzyć tylko \\(3 \\cdot 16\\sqrt{3} = 48\\sqrt{3}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy wszystkie krawędzie są równe, wszystkie ściany (łącznie z podstawą) są trójkątami **równobocznymi** - to ułatwia obliczenia, bo jeden wzór wystarczy dla wszystkich ścian.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na pole trójkąta równobocznego to \\(\\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\), **nie** \\(\\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\) (to jest wzór na **wysokość**). Pomylenie tych dwóch wzorów to jeden z najczęstszych błędów!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nOstrosłup czworokątny foremny, w którym wszystkie krawędzie mają długość \\(a\\). Podstawa to kwadrat o boku \\(a\\).\n\nPrzekątna podstawy: \\(d = a\\sqrt{2}\\)\nPołowa przekątnej (odległość od środka do wierzchołka): \\(\\frac{a\\sqrt{2}}{2}\\)\n\nWysokość ostrosłupa z twierdzenia Pitagorasa:\n\\(h^2 + \\left(\\frac{a\\sqrt{2}}{2}\\right)^2 = a^2\\)\n\\(h^2 = a^2 - \\frac{a^2}{2} = \\frac{a^2}{2}\\)\n\\(h = \\frac{a}{\\sqrt{2}}\\)\n\nKąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy:\n\\(\\tan\\theta = \\frac{h}{\\frac{a\\sqrt{2}}{2}} = \\frac{\\frac{a}{\\sqrt{2}}}{\\frac{a\\sqrt{2}}{2}} = \\frac{a}{\\sqrt{2}} \\cdot \\frac{2}{a\\sqrt{2}} = \\frac{2}{2} = 1\\)\n\n\\(\\theta = 45°\\)\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Twierdzenie Pitagorasa; definicja tangensa; ostrosłup - stereometria\n\n**Dlaczego inne błędne:**\n- A. \\(30°\\) - \\(\\tan 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{3} \\neq 1\\)\n- C. \\(60°\\) - \\(\\tan 60° = \\sqrt{3} \\neq 1\\)\n- D. \\(75°\\) - \\(\\tan 75° \\approx 3{,}73 \\neq 1\\)","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 21. (1 pkt)
Okrąg przedstawiony na rysunku ma środek w punkcie
(
)
3,1
O =
i przechodzi przez punkty
(
)
0, 4
S =
i
(
)
0,
2
T =
. Okrąg ten jest opisany przez równanie

","answer_text_html":"

Zadanie 21. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.
\n

Zdający posługuje się równaniem okręgu
(8.g).
Wersja
I
Wersja
II
C
D

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(64\\sqrt{3}\\)

\n

Wszystkie krawędzie (zarówno podstawy, jak i boczne) mają długość \\(8\\), więc ostrosłup jest czworościanem foremnym - wszystkie 4 ściany to trójkąty równoboczne o boku \\(8\\).

\n

Sposób 1 - wzór na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa

\n

Obserwacja kluczowa: "Każda krawędź" = boki podstawy = krawędzie boczne = \\(8\\). Podstawa to trójkąt równoboczny o boku \\(8\\), a każda ściana boczna to również trójkąt równoboczny o boku \\(8\\).

\n

Krok 1 - pole jednego trójkąta równobocznego o boku \\(a = 8\\):

\n

\\[P_\\triangle = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{8^2 \\cdot \\sqrt{3}}{4} = \\frac{64\\sqrt{3}}{4} = 16\\sqrt{3}\\]

\n

Krok 2 - ile ścian ma ostrosłup trójkątny?

\n

Ostrosłup prawidłowy trójkątny ma:

\n\n

Łącznie 4 ściany, wszystkie identyczne.

\n

Krok 3 - pole powierzchni całkowitej:

\n

\\[P_c = 4 \\cdot P_\\triangle = 4 \\cdot 16\\sqrt{3} = \\boxed{64\\sqrt{3}}\\]

\n

Sposób 2 - obliczenie przez pole podstawy i ścian bocznych osobno

\n

Pole podstawy (trójkąt równoboczny, bok \\(8\\)):
\\[P_p = \\frac{8^2\\sqrt{3}}{4} = 16\\sqrt{3}\\]

\n

Pole powierzchni bocznej - każda z 3 ścian bocznych to trójkąt równoboczny o boku \\(8\\) (bo krawędź boczna = krawędź podstawy = \\(8\\)):
\\[P_b = 3 \\cdot 16\\sqrt{3} = 48\\sqrt{3}\\]

\n

Suma:
\\[P_c = P_p + P_b = 16\\sqrt{3} + 48\\sqrt{3} = 64\\sqrt{3}\\]

\n

Wynik zgodny. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 17) - pole trójkąta równobocznego o boku \\(a\\):
\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]
Użyto do obliczenia pola każdej z 4 ścian (podstawy i 3 ścian bocznych).

\n

Dział 12 (Stereometria, s. 26) - pole powierzchni ostrosłupa:
\\[P_c = P_b + P_p\\]
Wzór ogólny na pole całkowite - tutaj \\(P_b = 3 \\cdot 16\\sqrt{3}\\), \\(P_p = 16\\sqrt{3}\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

Ponieważ odpowiedzi są na obrazkach, podaję typowe błędne wyniki i skąd pochodzą:

\n

| Błędny wynik | Skąd pochodzi błąd |
| \\(48\\sqrt{3}\\) | Policzono tylko 3 ściany boczne, zapomniano o podstawie |
| \\(96\\sqrt{3}\\) | Użyto błędnego wzoru \\(P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\) z \\(a = 16\\) (podwojono bok) |
| \\(16\\sqrt{3}\\) | Policzono pole tylko jednej ściany |
| \\(192\\) | Użyto pola kwadratu \\(8 \\times 8 = 64\\) dla każdej ściany, bez \\(\\sqrt{3}\\) |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: "Ostrosłup prawidłowy trójkątny" ma 4 ściany (1 podstawa + 3 boczne) - nie 3! Łatwo zapomnieć o podstawie i policzyć tylko \\(3 \\cdot 16\\sqrt{3} = 48\\sqrt{3}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Gdy wszystkie krawędzie są równe, wszystkie ściany (łącznie z podstawą) są trójkątami równobocznymi - to ułatwia obliczenia, bo jeden wzór wystarczy dla wszystkich ścian.
\n
⚠️ Uwaga: Wzór na pole trójkąta równobocznego to \\(\\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\), nie \\(\\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\) (to jest wzór na wysokość). Pomylenie tych dwóch wzorów to jeden z najczęstszych błędów!
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n

Rozwiązanie:

\n

Ostrosłup czworokątny foremny, w którym wszystkie krawędzie mają długość \\(a\\). Podstawa to kwadrat o boku \\(a\\).

\n

Przekątna podstawy: \\(d = a\\sqrt{2}\\)
Połowa przekątnej (odległość od środka do wierzchołka): \\(\\frac{a\\sqrt{2}}{2}\\)

\n

Wysokość ostrosłupa z twierdzenia Pitagorasa:
\\(h^2 + \\left(\\frac{a\\sqrt{2}}{2}\\right)^2 = a^2\\)
\\(h^2 = a^2 - \\frac{a^2}{2} = \\frac{a^2}{2}\\)
\\(h = \\frac{a}{\\sqrt{2}}\\)

\n

Kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy:
\\(\\tan\\theta = \\frac{h}{\\frac{a\\sqrt{2}}{2}} = \\frac{\\frac{a}{\\sqrt{2}}}{\\frac{a\\sqrt{2}}{2}} = \\frac{a}{\\sqrt{2}} \\cdot \\frac{2}{a\\sqrt{2}} = \\frac{2}{2} = 1\\)

\n

\\(\\theta = 45°\\)

\n

Użyte wzory z karty CKE: Twierdzenie Pitagorasa; definicja tangensa; ostrosłup - stereometria

\n

Dlaczego inne błędne:

\n"}]}