{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (1 pkt)\nPrzekątna ściany sześcianu ma długość 2. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest\nrówne\nA. 24\nB.\n2\n12\nC. 12\nD.\n2\n16","answer":"C","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n9. Stereometria. Zdający wyznacza związki\nmiarowe w wielościanach z zastosowaniem\ntrygonometrii (9.b).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: D (r = 6)\n\n## Sposób 1 - Ze wzoru na objętość kuli\n\nZe wzoru na objętość kuli wyznaczamy \\(r\\):\n\n\\[V = \\frac{4}{3}\\pi r^3\\]\n\nPodstawiamy \\(V = 288\\pi\\):\n\n\\[288\\pi = \\frac{4}{3}\\pi r^3\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\(\\pi\\):\n\n\\[288 = \\frac{4}{3} r^3\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(\\frac{3}{4}\\):\n\n\\[r^3 = 288 \\cdot \\frac{3}{4} = \\frac{864}{4} = 216\\]\n\nWyciągamy pierwiastek sześcienny:\n\n\\[r = \\sqrt[3]{216} = \\sqrt[3]{6^3} = \\mathbf{6}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja (podstawienie wyniku)\n\nSprawdzamy, czy \\(r = 6\\) daje \\(V = 288\\pi\\):\n\n\\[V = \\frac{4}{3}\\pi \\cdot 6^3 = \\frac{4}{3}\\pi \\cdot 216 = \\frac{4 \\cdot 216}{3}\\pi = \\frac{864}{3}\\pi = 288\\pi \\checkmark\\]\n\nWynik się zgadza - **\\(r = 6\\)** jest poprawny.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - wzór na objętość kuli:\n\\[V = \\frac{4}{3}\\pi r^3\\]\nUżyliśmy go bezpośrednio, przekształcając równanie do postaci \\(r^3 = \\ldots\\) i wyciągając pierwiastek sześcienny.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(r = 18\\) | Pominięcie pierwiastkowania - uczeń liczy \\(r = 216 / 12 = 18\\) lub stosuje błędne przekształcenia algebraiczne |\n| B - \\(r = 9\\) | Przyjęcie \\(r^3 = 729\\) (np. przez błędne wymnożenie: \\(288 \\cdot \\frac{4}{3} = 384\\) i pomylenie z 729), lub wzięcie \\(\\sqrt{81} = 9\\) zamiast \\(\\sqrt[3]{216}\\) |\n| C - \\(r = 8\\) | Poprawne obliczenie \\(r^3 = 216\\), ale błąd przy pierwiastkowaniu - uczeń myli \\(\\sqrt[3]{216} = 8\\) (bo \\(8^3 = 512 \\neq 216\\)) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pomylenie \\(\\sqrt[3]{216}\\) z \\(\\sqrt[3]{512} = 8\\). Zapamiętaj: \\(6^3 = 216\\), \\(7^3 = 343\\), \\(8^3 = 512\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, żeby przed wyciąganiem pierwiastka pomnożyć przez \\(\\frac{3}{4}\\) (odwrotność \\(\\frac{4}{3}\\)), a NIE podzielić przez \\(\\frac{4}{3}\\) - to jest ten sam krok, ale pomyłka znakiem daje zupełnie inny wynik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\pi\\) można od razu skrócić po obu stronach równania - nie musisz nigdy podstawiać \\(\\pi \\approx 3{,}14\\). Kula z \\(\\pi\\) w objętości prawie zawsze daje ładny wynik po skróceniu.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nWartość dokładna: \\(\\frac{5}{16} = 0{,}3125\\)\nPrzybliżenie: \\(0{,}3\\)\n\nBłąd bezwzględny:\n\\(|0{,}3 - 0{,}3125| = 0{,}0125\\)\n\nBłąd względny:\n\\(\\frac{0{,}0125}{0{,}3125} = 0{,}04 = 4\\%\\)\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Parametry danych statystycznych - błąd względny = \\(\\frac{|\\text{przybliżenie} - \\text{wartość dokładna}|}{\\text{wartość dokładna}} \\cdot 100\\%\\)\n\n**Dlaczego inne błędne:**\n- B. \\(0{,}04\\%\\) - pomylono \\(0{,}04\\) (ułamek) z \\(0{,}04\\%\\)\n- C. \\(2{,}5\\%\\) - błędne obliczenia\n- D. \\(0{,}025\\%\\) - błędne obliczenia","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 22. (1 pkt)<br>Przekątna ściany sześcianu ma długość 2. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest<br>równe<br>A. 24<br>B.<br>2<br>12<br>C. 12<br>D.<br>2<br>16</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 22. (0-1)<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stereometria. Zdający wyznacza związki</li></ol>\n<p>miarowe w wielościanach z zastosowaniem<br>trygonometrii (9.b).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>C<br>A</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D (r = 6)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Ze wzoru na objętość kuli</h4>\n<p>Ze wzoru na objętość kuli wyznaczamy \\(r\\):</p>\n<p>\\[V = \\frac{4}{3}\\pi r^3\\]</p>\n<p>Podstawiamy \\(V = 288\\pi\\):</p>\n<p>\\[288\\pi = \\frac{4}{3}\\pi r^3\\]</p>\n<p>Dzielimy obie strony przez \\(\\pi\\):</p>\n<p>\\[288 = \\frac{4}{3} r^3\\]</p>\n<p>Mnożymy obie strony przez \\(\\frac{3}{4}\\):</p>\n<p>\\[r^3 = 288 \\cdot \\frac{3}{4} = \\frac{864}{4} = 216\\]</p>\n<p>Wyciągamy pierwiastek sześcienny:</p>\n<p>\\[r = \\sqrt[3]{216} = \\sqrt[3]{6^3} = \\mathbf{6}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja (podstawienie wyniku)</h4>\n<p>Sprawdzamy, czy \\(r = 6\\) daje \\(V = 288\\pi\\):</p>\n<p>\\[V = \\frac{4}{3}\\pi \\cdot 6^3 = \\frac{4}{3}\\pi \\cdot 216 = \\frac{4 \\cdot 216}{3}\\pi = \\frac{864}{3}\\pi = 288\\pi \\checkmark\\]</p>\n<p>Wynik się zgadza - <strong>\\(r = 6\\)</strong> jest poprawny.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)</strong> - wzór na objętość kuli:<br>\\[V = \\frac{4}{3}\\pi r^3\\]<br>Użyliśmy go bezpośrednio, przekształcając równanie do postaci \\(r^3 = \\ldots\\) i wyciągając pierwiastek sześcienny.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A - \\(r = 18\\) | Pominięcie pierwiastkowania - uczeń liczy \\(r = 216 / 12 = 18\\) lub stosuje błędne przekształcenia algebraiczne |<br>| B - \\(r = 9\\) | Przyjęcie \\(r^3 = 729\\) (np. przez błędne wymnożenie: \\(288 \\cdot \\frac{4}{3} = 384\\) i pomylenie z 729), lub wzięcie \\(\\sqrt{81} = 9\\) zamiast \\(\\sqrt[3]{216}\\) |<br>| C - \\(r = 8\\) | Poprawne obliczenie \\(r^3 = 216\\), ale błąd przy pierwiastkowaniu - uczeń myli \\(\\sqrt[3]{216} = 8\\) (bo \\(8^3 = 512 \\neq 216\\)) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd to pomylenie \\(\\sqrt[3]{216}\\) z \\(\\sqrt[3]{512} = 8\\). Zapamiętaj: \\(6^3 = 216\\), \\(7^3 = 343\\), \\(8^3 = 512\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pamiętaj, żeby przed wyciąganiem pierwiastka pomnożyć przez \\(\\frac{3}{4}\\) (odwrotność \\(\\frac{4}{3}\\)), a NIE podzielić przez \\(\\frac{4}{3}\\) - to jest ten sam krok, ale pomyłka znakiem daje zupełnie inny wynik.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(\\pi\\) można od razu skrócić po obu stronach równania - nie musisz nigdy podstawiać \\(\\pi \\approx 3{,}14\\). Kula z \\(\\pi\\) w objętości prawie zawsze daje ładny wynik po skróceniu.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<p><strong>Rozwiązanie:</strong></p>\n<p>Wartość dokładna: \\(\\frac{5}{16} = 0{,}3125\\)<br>Przybliżenie: \\(0{,}3\\)</p>\n<p>Błąd bezwzględny:<br>\\(|0{,}3 - 0{,}3125| = 0{,}0125\\)</p>\n<p>Błąd względny:<br>\\(\\frac{0{,}0125}{0{,}3125} = 0{,}04 = 4\\%\\)</p>\n<p><strong>Użyte wzory z karty CKE:</strong> Parametry danych statystycznych - błąd względny = \\(\\frac{|\\text{przybliżenie} - \\text{wartość dokładna}|}{\\text{wartość dokładna}} \\cdot 100\\%\\)</p>\n<p><strong>Dlaczego inne błędne:</strong></p>\n<ul><li>B. \\(0{,}04\\%\\) - pomylono \\(0{,}04\\) (ułamek) z \\(0{,}04\\%\\)</li><li>C. \\(2{,}5\\%\\) - błędne obliczenia</li><li>D. \\(0{,}025\\%\\) - błędne obliczenia</li></ul>"}]}