{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (1 pkt)\nKula o promieniu 5 cm i stożek o promieniu podstawy 10 cm mają równe objętości.\nWysokość stożka jest równa\nA. 25\nπ cm\nB. 10 cm\nC. 10\nπ cm\nD. 5 cm","answer":"D","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n9. Stereometria. Zdający wyznacza związki\nmiarowe w bryłach obrotowych\nz zastosowaniem trygonometrii (9.b).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: D (x = 5)\n\n## Sposób 1 - Ustawienie w kolejności i warunek mediany\n\nZbiór danych ma **6 liczb**: \\(\\{2, 3, 5, x, 1, 9\\}\\).\n\nDla parzystej liczby elementów mediana to **średnia arytmetyczna 3. i 4. elementu** po uszeregowaniu rosnącym.\n\nWarunek: \\[\\text{mediana} = \\frac{a_3 + a_4}{2} = 4 \\implies a_3 + a_4 = 8\\]\n\nZnane liczby bez \\(x\\), uszeregowane: \\(1, 2, 3, 5, 9\\).\n\nSprawdzam, gdzie \"wskakuje\" \\(x\\):\n\n| Przedział dla \\(x\\) | Uszeregowanie | \\(a_3 + a_4\\) | Mediana |\n| \\(x \\leq 2\\) | \\(\\ldots, x, 1, 2, 3, 5, 9\\) → \\(1, x, 2, 3, 5, 9\\) lub \\(x, 1, 2, 3, 5, 9\\) | \\(2 + 3 = 5\\) | 2,5 ✗ |\n| \\(2 < x \\leq 3\\) | \\(1, 2, x, 3, 5, 9\\) | \\(x + 3 = 8 \\Rightarrow x = 5\\) - sprzeczność | - ✗ |\n| \\(3 < x < 5\\) | \\(1, 2, 3, x, 5, 9\\) | \\(3 + x = 8 \\Rightarrow x = 5\\) - sprzeczność | - ✗ |\n| \\(x = 5\\) | \\(1, 2, 3, 5, 5, 9\\) | \\(3 + 5 = 8\\) | **4 ✓** |\n| \\(x > 5\\) | \\(1, 2, 3, 5, x, 9\\) lub \\(\\ldots, 9, x\\) | \\(3 + 5 = 8\\) | **4 ✓** |\n\n**\\(x = 5\\) spełnia warunek** → odpowiedź **D**.\n\n## Sposób 2 - Sprawdzenie każdej odpowiedzi wprost\n\nUszeregowuję zbiór dla każdej opcji i liczę medianę:\n\n**A. \\(x = 2\\):** uszeregowanie: \\(1, 2, 2, 3, 5, 9\\)\n\\[\\text{mediana} = \\frac{2 + 3}{2} = 2{,}5 \\neq 4\\]\n\n**B. \\(x = 3\\):** uszeregowanie: \\(1, 2, 3, 3, 5, 9\\)\n\\[\\text{mediana} = \\frac{3 + 3}{2} = 3 \\neq 4\\]\n\n**C. \\(x = 4\\):** uszeregowanie: \\(1, 2, 3, 4, 5, 9\\)\n\\[\\text{mediana} = \\frac{3 + 4}{2} = 3{,}5 \\neq 4\\]\n\n**D. \\(x = 5\\):** uszeregowanie: \\(1, 2, 3, 5, 5, 9\\)\n\\[\\text{mediana} = \\frac{3 + 5}{2} = \\frac{8}{2} = 4 \\checkmark\\]\n\n**Tylko D daje medianę równą 4.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32):**\n> **Mediana** - środkowy wyraz (dla nieparzystej liczby danych) lub średnia dwóch środkowych wyrazów (dla parzystej liczby danych), po uszeregowaniu rosnącym.\n\nTutaj \\(n = 6\\) (parzyste), więc:\n\\[\\text{Me} = \\frac{a_3 + a_4}{2}\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A (\\(x=2\\)) | Uczeń nie uszeregował danych i liczył medianę \"na oko\" |\n| B (\\(x=3\\)) | Uczeń wziął środkowy wyraz z 6 elementów tak, jakby to była mediana dla nieparzystej liczby |\n| C (\\(x=4\\)) | Typowy błąd: uczeń myśli, że skoro mediana = 4, to \\(x\\) też musi być 4; po wstawieniu: \\(\\frac{3+4}{2} = 3{,}5 \\neq 4\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dla **parzystej** liczby danych mediana to **średnia** 3. i 4. elementu - nie sam środkowy element! Nie można po prostu \"popatrzeć na środek\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze najpierw **uszereguj** dane rosnąco - dopiero potem szukaj mediany. Wstawienie \\(x\\) zmienia pozycje pozostałych elementów!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W tym zadaniu mediana = 4 **nie oznacza**, że \\(x = 4\\). To częsty i zgubny skrót myślowy - sprawdź odpowiedź C, by się przekonać.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nŚrednia pierwszego zestawu \\(\\{2, 4, 7, 8, x\\}\\):\n\\(n = \\frac{2 + 4 + 7 + 8 + x}{5} = \\frac{21 + x}{5}\\)\n\nŚrednia drugiego zestawu \\(\\{2, 4, 7, 8, x, 2x\\}\\):\n\\(2n = \\frac{2 + 4 + 7 + 8 + x + 2x}{6} = \\frac{21 + 3x}{6}\\)\n\nZ pierwszego równania: \\(5n = 21 + x\\), czyli \\(n = \\frac{21 + x}{5}\\)\n\nPodstawiamy do drugiego:\n\\(2 \\cdot \\frac{21 + x}{5} = \\frac{21 + 3x}{6}\\)\n\n\\(\\frac{2(21 + x)}{5} = \\frac{21 + 3x}{6}\\)\n\nMnożymy obie strony przez 30:\n\\(12(21 + x) = 5(21 + 3x)\\)\n\\(252 + 12x = 105 + 15x\\)\n\\(147 = 3x\\)\n\\(x = 49\\)\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Średnia arytmetyczna: \\(\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\)\n\n**Dlaczego inne błędne:**\n- B. \\(x = 21\\): \\(n = \\frac{42}{5} = 8{,}4\\), \\(2n = 16{,}8\\), średnia drugiego zestawu = \\(\\frac{84}{6} = 14 \\neq 16{,}8\\)\n- C. \\(x = 14\\): \\(n = 7\\), \\(2n = 14\\), średnia drugiego zestawu = \\(\\frac{63}{6} = 10{,}5 \\neq 14\\)\n- D. \\(x = 7\\): \\(n = \\frac{28}{5} = 5{,}6\\), \\(2n = 11{,}2\\), średnia drugiego zestawu = \\(\\frac{42}{6} = 7 \\neq 11{,}2\\)","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 23. (1 pkt)<br>Kula o promieniu 5 cm i stożek o promieniu podstawy 10 cm mają równe objętości.<br>Wysokość stożka jest równa<br>A. 25<br>π cm<br>B. 10 cm<br>C. 10<br>π cm<br>D. 5 cm</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 23. (0-1)<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stereometria. Zdający wyznacza związki</li></ol>\n<p>miarowe w bryłach obrotowych<br>z zastosowaniem trygonometrii (9.b).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>D<br>A</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D (x = 5)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Ustawienie w kolejności i warunek mediany</h4>\n<p>Zbiór danych ma <strong>6 liczb</strong>: \\(\\{2, 3, 5, x, 1, 9\\}\\).</p>\n<p>Dla parzystej liczby elementów mediana to <strong>średnia arytmetyczna 3. i 4. elementu</strong> po uszeregowaniu rosnącym.</p>\n<p>Warunek: \\[\\text{mediana} = \\frac{a_3 + a_4}{2} = 4 \\implies a_3 + a_4 = 8\\]</p>\n<p>Znane liczby bez \\(x\\), uszeregowane: \\(1, 2, 3, 5, 9\\).</p>\n<p>Sprawdzam, gdzie &quot;wskakuje&quot; \\(x\\):</p>\n<p>| Przedział dla \\(x\\) | Uszeregowanie | \\(a_3 + a_4\\) | Mediana |<br>| \\(x \\leq 2\\) | \\(\\ldots, x, 1, 2, 3, 5, 9\\) → \\(1, x, 2, 3, 5, 9\\) lub \\(x, 1, 2, 3, 5, 9\\) | \\(2 + 3 = 5\\) | 2,5 ✗ |<br>| \\(2 &lt; x \\leq 3\\) | \\(1, 2, x, 3, 5, 9\\) | \\(x + 3 = 8 \\Rightarrow x = 5\\) - sprzeczność | - ✗ |<br>| \\(3 &lt; x &lt; 5\\) | \\(1, 2, 3, x, 5, 9\\) | \\(3 + x = 8 \\Rightarrow x = 5\\) - sprzeczność | - ✗ |<br>| \\(x = 5\\) | \\(1, 2, 3, 5, 5, 9\\) | \\(3 + 5 = 8\\) | <strong>4 ✓</strong> |<br>| \\(x &gt; 5\\) | \\(1, 2, 3, 5, x, 9\\) lub \\(\\ldots, 9, x\\) | \\(3 + 5 = 8\\) | <strong>4 ✓</strong> |</p>\n<p><strong>\\(x = 5\\) spełnia warunek</strong> → odpowiedź <strong>D</strong>.</p>\n<h4>Sposób 2 - Sprawdzenie każdej odpowiedzi wprost</h4>\n<p>Uszeregowuję zbiór dla każdej opcji i liczę medianę:</p>\n<p><strong>A. \\(x = 2\\):</strong> uszeregowanie: \\(1, 2, 2, 3, 5, 9\\)<br>\\[\\text{mediana} = \\frac{2 + 3}{2} = 2{,}5 \\neq 4\\]</p>\n<p><strong>B. \\(x = 3\\):</strong> uszeregowanie: \\(1, 2, 3, 3, 5, 9\\)<br>\\[\\text{mediana} = \\frac{3 + 3}{2} = 3 \\neq 4\\]</p>\n<p><strong>C. \\(x = 4\\):</strong> uszeregowanie: \\(1, 2, 3, 4, 5, 9\\)<br>\\[\\text{mediana} = \\frac{3 + 4}{2} = 3{,}5 \\neq 4\\]</p>\n<p><strong>D. \\(x = 5\\):</strong> uszeregowanie: \\(1, 2, 3, 5, 5, 9\\)<br>\\[\\text{mediana} = \\frac{3 + 5}{2} = \\frac{8}{2} = 4 \\checkmark\\]</p>\n<p><strong>Tylko D daje medianę równą 4.</strong></p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32):</strong></p>\n<blockquote><strong>Mediana</strong> - środkowy wyraz (dla nieparzystej liczby danych) lub średnia dwóch środkowych wyrazów (dla parzystej liczby danych), po uszeregowaniu rosnącym.</blockquote>\n<p>Tutaj \\(n = 6\\) (parzyste), więc:<br>\\[\\text{Me} = \\frac{a_3 + a_4}{2}\\]</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| A (\\(x=2\\)) | Uczeń nie uszeregował danych i liczył medianę &quot;na oko&quot; |<br>| B (\\(x=3\\)) | Uczeń wziął środkowy wyraz z 6 elementów tak, jakby to była mediana dla nieparzystej liczby |<br>| C (\\(x=4\\)) | Typowy błąd: uczeń myśli, że skoro mediana = 4, to \\(x\\) też musi być 4; po wstawieniu: \\(\\frac{3+4}{2} = 3{,}5 \\neq 4\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Dla <strong>parzystej</strong> liczby danych mediana to <strong>średnia</strong> 3. i 4. elementu - nie sam środkowy element! Nie można po prostu &quot;popatrzeć na środek&quot;.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zawsze najpierw <strong>uszereguj</strong> dane rosnąco - dopiero potem szukaj mediany. Wstawienie \\(x\\) zmienia pozycje pozostałych elementów!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W tym zadaniu mediana = 4 <strong>nie oznacza</strong>, że \\(x = 4\\). To częsty i zgubny skrót myślowy - sprawdź odpowiedź C, by się przekonać.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<p><strong>Rozwiązanie:</strong></p>\n<p>Średnia pierwszego zestawu \\(\\{2, 4, 7, 8, x\\}\\):<br>\\(n = \\frac{2 + 4 + 7 + 8 + x}{5} = \\frac{21 + x}{5}\\)</p>\n<p>Średnia drugiego zestawu \\(\\{2, 4, 7, 8, x, 2x\\}\\):<br>\\(2n = \\frac{2 + 4 + 7 + 8 + x + 2x}{6} = \\frac{21 + 3x}{6}\\)</p>\n<p>Z pierwszego równania: \\(5n = 21 + x\\), czyli \\(n = \\frac{21 + x}{5}\\)</p>\n<p>Podstawiamy do drugiego:<br>\\(2 \\cdot \\frac{21 + x}{5} = \\frac{21 + 3x}{6}\\)</p>\n<p>\\(\\frac{2(21 + x)}{5} = \\frac{21 + 3x}{6}\\)</p>\n<p>Mnożymy obie strony przez 30:<br>\\(12(21 + x) = 5(21 + 3x)\\)<br>\\(252 + 12x = 105 + 15x\\)<br>\\(147 = 3x\\)<br>\\(x = 49\\)</p>\n<p><strong>Użyte wzory z karty CKE:</strong> Średnia arytmetyczna: \\(\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\)</p>\n<p><strong>Dlaczego inne błędne:</strong></p>\n<ul><li>B. \\(x = 21\\): \\(n = \\frac{42}{5} = 8{,}4\\), \\(2n = 16{,}8\\), średnia drugiego zestawu = \\(\\frac{84}{6} = 14 \\neq 16{,}8\\)</li><li>C. \\(x = 14\\): \\(n = 7\\), \\(2n = 14\\), średnia drugiego zestawu = \\(\\frac{63}{6} = 10{,}5 \\neq 14\\)</li><li>D. \\(x = 7\\): \\(n = \\frac{28}{5} = 5{,}6\\), \\(2n = 11{,}2\\), średnia drugiego zestawu = \\(\\frac{42}{6} = 7 \\neq 11{,}2\\)</li></ul>"}]}