{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (1 pkt)\nŚrednia arytmetyczna zestawu danych:\n2, 4, 7, 8, 9\njest taka sama jak średnia arytmetyczna zestawu danych:\n2, 4, 7, 8, 9, x.\nWynika stąd, że\nA.\n0\nx\nB.\n3\nx\nC.\n5\nx\nD.\n6\nx","answer":"D","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka.\nZdający oblicza średnią arytmetyczną, średnią\nważoną, medianę i odchylenie standardowe\nzestawu danych (10.a).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C (6)\n\n## Sposób 1 - Systematyczne wyliczenie rozkładów\n\n**Kluczowa obserwacja:** Iloczyn cyfr = 4, więc żadna cyfra nie może być równa \\(0\\) (bo wtedy iloczyn = 0). Wszystkie trzy cyfry należą do zbioru \\(\\{1, 2, 3, \\ldots, 9\\}\\).\n\n**Krok 1 - Jakie cyfry mogą wchodzić w grę?**\n\nIloczyn = \\(4 = 2^2\\). Jeśli jakakolwiek cyfra byłaby \\(3, 5, 6, 7, 8, 9\\) - iloczyn byłby podzielny przez liczbę pierwszą inną niż 2 lub zbyt dużą. Zatem wszystkie trzy cyfry muszą należeć do \\(\\{1, 2, 4\\}\\).\n\n**Krok 2 - Rozkłady liczby 4 na trzy czynniki z \\(\\{1, 2, 4\\}\\):**\n\n| Multiset cyfr | Sprawdzenie |\n| \\(\\{4, 1, 1\\}\\) | \\(4 \\cdot 1 \\cdot 1 = 4\\) ✓ |\n| \\(\\{2, 2, 1\\}\\) | \\(2 \\cdot 2 \\cdot 1 = 4\\) ✓ |\n\nCzy są inne? \\(\\{2, 2, 2\\}\\) daje \\(8 \\neq 4\\), \\(\\{4, 4, \\ldots\\}\\) daje \\(\\geq 16\\). **Tylko dwa multisets.**\n\n**Krok 3 - Liczba ustawień każdego multisetu:**\n\n- \\(\\{4, 1, 1\\}\\) - dwie cyfry się powtarzają: \\(\\frac{3!}{2!} = 3\\) ustawienia\n\\[411, \\quad 141, \\quad 114\\]\n- \\(\\{2, 2, 1\\}\\) - dwie cyfry się powtarzają: \\(\\frac{3!}{2!} = 3\\) ustawienia\n\\[221, \\quad 212, \\quad 122\\]\n\n**Krok 4 - Czy wszystkie są liczbami trzycyfrowymi?**\n\nTak - pierwsza cyfra jest \\(\\geq 1\\) we wszystkich przypadkach. Żadne \\(0\\) na początku.\n\n\\[\\textbf{Łącznie: } 3 + 3 = \\mathbf{6}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez listę\n\nBezpośrednio wypisujemy **wszystkie** trzycyfrowe liczby z iloczynem cyfr równym 4:\n\n\\[114, \\quad 141, \\quad 411, \\quad 122, \\quad 212, \\quad 221\\]\n\nSprawdzamy każdą:\n- \\(1 \\cdot 1 \\cdot 4 = 4\\) ✓\n- \\(1 \\cdot 4 \\cdot 1 = 4\\) ✓\n- \\(4 \\cdot 1 \\cdot 1 = 4\\) ✓\n- \\(1 \\cdot 2 \\cdot 2 = 4\\) ✓\n- \\(2 \\cdot 1 \\cdot 2 = 4\\) ✓\n- \\(2 \\cdot 2 \\cdot 1 = 4\\) ✓\n\nRazem **6 liczb** - żadnej więcej nie ma.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu **nie używamy wzorów z karty CKE** - wystarczy kombinatoryka i rozumowanie przez wyliczenie przypadków. Pomocniczo stosujemy wzór na permutacje z powtórzeniami \\(\\frac{n!}{k!}\\) (dział 13, s. 28):\n\n\\[\\frac{3!}{2!} = 3\\]\n\n> Użyliśmy go do policzenia ustawień cyfr w zbiorach \\(\\{4,1,1\\}\\) i \\(\\{2,2,1\\}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (3) | Zliczono tylko jeden multiset, np. tylko \\(\\{4,1,1\\}\\), zapominając o \\(\\{2,2,1\\}\\) |\n| B (4) | Błąd w liczeniu ustawień - np. policzono 1 ustawienie dla multisetu z powtórzeniami zamiast 3 |\n| D (8) | Uwzględniono błędnie przypadek \\(\\{2,2,2\\}\\) (iloczyn = 8!) lub policzono ustawienia bez uwzględnienia powtórzeń (\\(3! = 6\\) zamiast \\(3!/2! = 3\\)) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie pomyl iloczynu cyfr z samą liczbą! Szukamy liczb, gdzie **cyfry pomnożone przez siebie** dają 4, nie liczb czterocyfrowych.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy cyfry się powtarzają (np. \\(1, 1, 4\\)), liczba ustawień to \\(\\frac{3!}{2!} = 3\\), a **nie** \\(3! = 6\\) - dzielenie przez silnię powtórzeń jest kluczowe!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo przeoczyć multiset \\(\\{2, 2, 1\\}\\), skupiając się tylko na liczbie z cyfrą 4. Zawsze szukaj **wszystkich** rozkładów iloczynu.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nLiczby dwucyfrowe podzielne przez 6: od 12 do 96.\nWielokrotności 6 dwucyfrowe: \\(12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96\\) - jest ich **15**.\n\nLiczby dwucyfrowe podzielne przez 6 i przez 9, czyli podzielne przez \\(\\text{NWW}(6, 9) = 18\\):\n\\(18, 36, 54, 72, 90\\) - jest ich **5**.\n\nLiczby podzielne przez 6 i niepodzielne przez 9:\n\\(15 - 5 = 10\\)\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Kombinatoryka - zliczanie elementów zbioru\n\n**Dlaczego inne błędne:**\n- A. 6 - za mało, pominięto kilka liczb\n- C. 12 - odjęto za mało wielokrotności 18\n- D. 15 - to wszystkie dwucyfrowe wielokrotności 6 (bez wykluczenia podzielnych przez 9)","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 24. (1 pkt)
Średnia arytmetyczna zestawu danych:
2, 4, 7, 8, 9
jest taka sama jak średnia arytmetyczna zestawu danych:
2, 4, 7, 8, 9, x.
Wynika stąd, że
A.
0
x
B.
3
x
C.
5
x
D.
6
x

","answer_text_html":"

Zadanie 24. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Elementy statystyki opisowej. Teoria
\n

prawdopodobieństwa i kombinatoryka.
Zdający oblicza średnią arytmetyczną, średnią
ważoną, medianę i odchylenie standardowe
zestawu danych (10.a).
Wersja
I
Wersja
II
D
B

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C (6)

\n

Sposób 1 - Systematyczne wyliczenie rozkładów

\n

Kluczowa obserwacja: Iloczyn cyfr = 4, więc żadna cyfra nie może być równa \\(0\\) (bo wtedy iloczyn = 0). Wszystkie trzy cyfry należą do zbioru \\(\\{1, 2, 3, \\ldots, 9\\}\\).

\n

Krok 1 - Jakie cyfry mogą wchodzić w grę?

\n

Iloczyn = \\(4 = 2^2\\). Jeśli jakakolwiek cyfra byłaby \\(3, 5, 6, 7, 8, 9\\) - iloczyn byłby podzielny przez liczbę pierwszą inną niż 2 lub zbyt dużą. Zatem wszystkie trzy cyfry muszą należeć do \\(\\{1, 2, 4\\}\\).

\n

Krok 2 - Rozkłady liczby 4 na trzy czynniki z \\(\\{1, 2, 4\\}\\):

\n

| Multiset cyfr | Sprawdzenie |
| \\(\\{4, 1, 1\\}\\) | \\(4 \\cdot 1 \\cdot 1 = 4\\) ✓ |
| \\(\\{2, 2, 1\\}\\) | \\(2 \\cdot 2 \\cdot 1 = 4\\) ✓ |

\n

Czy są inne? \\(\\{2, 2, 2\\}\\) daje \\(8 \\neq 4\\), \\(\\{4, 4, \\ldots\\}\\) daje \\(\\geq 16\\). Tylko dwa multisets.

\n

Krok 3 - Liczba ustawień każdego multisetu:

\n\n

\\[411, \\quad 141, \\quad 114\\]

\n\n

\\[221, \\quad 212, \\quad 122\\]

\n

Krok 4 - Czy wszystkie są liczbami trzycyfrowymi?

\n

Tak - pierwsza cyfra jest \\(\\geq 1\\) we wszystkich przypadkach. Żadne \\(0\\) na początku.

\n

\\[\\textbf{Łącznie: } 3 + 3 = \\mathbf{6}\\]

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez listę

\n

Bezpośrednio wypisujemy wszystkie trzycyfrowe liczby z iloczynem cyfr równym 4:

\n

\\[114, \\quad 141, \\quad 411, \\quad 122, \\quad 212, \\quad 221\\]

\n

Sprawdzamy każdą:

\n\n

Razem 6 liczb - żadnej więcej nie ma.

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy wzorów z karty CKE - wystarczy kombinatoryka i rozumowanie przez wyliczenie przypadków. Pomocniczo stosujemy wzór na permutacje z powtórzeniami \\(\\frac{n!}{k!}\\) (dział 13, s. 28):

\n

\\[\\frac{3!}{2!} = 3\\]

\n
Użyliśmy go do policzenia ustawień cyfr w zbiorach \\(\\{4,1,1\\}\\) i \\(\\{2,2,1\\}\\).
\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A (3) | Zliczono tylko jeden multiset, np. tylko \\(\\{4,1,1\\}\\), zapominając o \\(\\{2,2,1\\}\\) |
| B (4) | Błąd w liczeniu ustawień - np. policzono 1 ustawienie dla multisetu z powtórzeniami zamiast 3 |
| D (8) | Uwzględniono błędnie przypadek \\(\\{2,2,2\\}\\) (iloczyn = 8!) lub policzono ustawienia bez uwzględnienia powtórzeń (\\(3! = 6\\) zamiast \\(3!/2! = 3\\)) |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Nie pomyl iloczynu cyfr z samą liczbą! Szukamy liczb, gdzie cyfry pomnożone przez siebie dają 4, nie liczb czterocyfrowych.
\n
⚠️ Uwaga: Gdy cyfry się powtarzają (np. \\(1, 1, 4\\)), liczba ustawień to \\(\\frac{3!}{2!} = 3\\), a nie \\(3! = 6\\) - dzielenie przez silnię powtórzeń jest kluczowe!
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo przeoczyć multiset \\(\\{2, 2, 1\\}\\), skupiając się tylko na liczbie z cyfrą 4. Zawsze szukaj wszystkich rozkładów iloczynu.
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n

Rozwiązanie:

\n

Liczby dwucyfrowe podzielne przez 6: od 12 do 96.
Wielokrotności 6 dwucyfrowe: \\(12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96\\) - jest ich 15.

\n

Liczby dwucyfrowe podzielne przez 6 i przez 9, czyli podzielne przez \\(\\text{NWW}(6, 9) = 18\\):
\\(18, 36, 54, 72, 90\\) - jest ich 5.

\n

Liczby podzielne przez 6 i niepodzielne przez 9:
\\(15 - 5 = 10\\)

\n

Użyte wzory z karty CKE: Kombinatoryka - zliczanie elementów zbioru

\n

Dlaczego inne błędne:

\n"}]}