Zadanie 25. (1 pkt)
W pewnej klasie stosunek liczby dziewcząt do liczby chłopców jest równy 4:5. Losujemy
jedną osobę z tej klasy. Prawdopodobieństwo tego, że będzie to dziewczyna, jest równe
A.
4
5
B.
4
9
C. 1
4
D. 1
9
A. (
)
(
)
2
2
3
1
18
x
y
B. (
)
(
)
2
2
3
1
18
x
y
C. (
)
(
)
2
2
3
1
18
x
y
D. (
)
(
)
2
2
3
1
18
x
y
x
y
1
2
3
4
5 6
-2
6
0
-1
1
2
3
4
5
7 8
O
S
T
Poziom podstawowy
MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)
Poziom podstawowy
MMA_1P
Zadanie 25. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.
prawdopodobieństwa i kombinatoryka.
Zdający wykorzystuje własności
prawdopodobieństwa i stosuje twierdzenia
znane jako klasyczna definicja
prawdopodobieństwa do obliczania
prawdopodobieństw zdarzeń (10.d).
Wersja
I
Wersja
II
B
D
Przestrzeń zdarzeń elementarnych:
\nRzucamy dwa razy kostką sześcienną. Każdy rzut daje wynik ze zbioru \\(\\{1, 2, 3, 4, 5, 6\\}\\). Wyniki obu rzutów są niezależne, więc:
\\[|\\Omega| = 6 \\cdot 6 = 36\\]
Szukamy par \\((a, b)\\) takich, że \\(a \\cdot b = 4\\):
\nSystematycznie sprawdzamy, jakie liczby z \\(\\{1, 2, 3, 4, 5, 6\\}\\) dają iloczyn 4:
\n| Pierwsza kostka \\(a\\) | Druga kostka \\(b\\) | Iloczyn \\(a \\cdot b\\) |
| 1 | 4 | 4 ✓ |
| 2 | 2 | 4 ✓ |
| 4 | 1 | 4 ✓ |
Liczba \\(b = 4/a\\) musi być liczbą naturalną z przedziału \\(\\langle 1, 6 \\rangle\\). Sprawdzamy:
\nLiczba zdarzeń sprzyjających: \\(|A| = 3\\)
\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{3}{36} = \\boxed{\\frac{1}{12}}\\]
\nLiczba 4 ma rozkład na czynniki (z uwzględnieniem kolejności i ograniczenia do \\(\\langle 1, 6 \\rangle\\)):
\n\\[4 = 1 \\cdot 4 = 2 \\cdot 2 = 4 \\cdot 1\\]
\nKolejność ma znaczenie (para \\((1,4)\\) to inny wynik niż \\((4,1)\\)), więc liczymy pary uporządkowane.
\nDzielniki liczby 4 to: \\(1, 2, 4\\). Sprawdzamy pary:
\nŁącznie: \\(2 + 1 = 3\\) pary sprzyjające.
\n\\[P(A) = \\frac{3}{36} = \\frac{1}{12}\\]
\nDział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30) - prawdopodobieństwo klasyczne:
\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]
gdzie \\(|A|\\) = liczba zdarzeń sprzyjających, \\(|\\Omega|\\) = liczba wszystkich równie możliwych zdarzeń elementarnych.
Użyliśmy tego wzoru bezpośrednio: \\(|A| = 3\\), \\(|\\Omega| = 36\\).
\nTo zadanie typowo pojawia się jako wielokrotny wybór z pułapkami:
\n| Błędny wynik | Skąd pochodzi |
| \\(\\frac{2}{36} = \\frac{1}{18}\\) | Policzono tylko pary \\((1,4)\\) i \\((2,2)\\), zapominając o \\((4,1)\\) - błąd: nieuwzględnienie kolejności |
| \\(\\frac{4}{36} = \\frac{1}{9}\\) | Pomyłkowo doliczono \\((2,2)\\) podwójnie albo dodano nieistniejącą parę |
| \\(\\frac{1}{6}\\) | Mylenie z prawdopodobieństwem wyrzucenia konkretnej liczby na jednej kostce |
⚠️ Uwaga: Para \\((1, 4)\\) i para \\((4, 1)\\) to dwa różne zdarzenia - w pierwszym przypadku jedynka wypadła na pierwszym rzucie, w drugim na drugim. Nie wolno ich liczyć jako jedno!\n
⚠️ Uwaga: Nie sprawdzaj tylko oczywistych par - zawsze sprawdzaj wszystkie dzielniki szukanej liczby mieszczące się w przedziale \\(\\langle 1, 6 \\rangle\\). Łatwo pominąć \\((2, 2)\\) gdy szukasz par "różnych" wyników.\n
⚠️ Uwaga: Mianownik zawsze wynosi \\(36 = 6^2\\), nie \\(12\\) ani \\(21\\). To liczba wszystkich par (z powtórzeniami i z uwzględnieniem kolejności).\n
Odpowiedź: 25 losów
\nRozwiązanie:
\nPoczątkowa szansa na wygraną: \\(\\frac{4}{100} = \\frac{1}{25}\\)
\nPo wylosowaniu \\(k\\) losów (w tym dokładnie 1 wygrywający) pozostaje:
\nSzansa ma być taka sama jak na początku:
\\(\\frac{3}{100 - k} = \\frac{1}{25}\\)
\\(100 - k = 75\\)
\\(k = 25\\)
Sprawdzenie: Po wylosowaniu 25 losów zostaje 75 losów, w tym 3 wygrywające: \\(\\frac{3}{75} = \\frac{1}{25}\\) ✓
\nUżyte wzory z karty CKE: Prawdopodobieństwo klasyczne: \\(P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\)
"}]}