{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (2 pkt)\nWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest\nnierówność\n2\n2\n4\n8\n5\n0\nx\nxy\ny\n≥\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nRozwiąż nierówność\n)\n2\n)(\n3\n(\n4\n2\n2\n>\nx\nx\nx\nx\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\n2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający posługuje się wzorami\nskróconego mnożenia (2.a).\nI sposób rozwiązania\nNierówność\n2\n2\n4\n8\n5\n0\nx\nxy\ny\n≥\nprzekształcamy w sposób równoważny\n2\n2\n2\n4\n8\n4\n0\ny\nx\nxy\ny\n≥\n,\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n0\ny\nx\ny\n≥\nTa nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y, gdyż kwadrat każdej\nliczby jest nieujemny i suma kwadratów liczb nieujemnych również jest nieujemna.\nTo kończy dowód.\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze nierówność w postaci równoważnej\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n0\ny\nx\ny\n≥\ni na tym poprzestanie lub\ndalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełny dowód.\nII sposób rozwiązania\nNierówność\n2\n2\n4\n8\n5\n0\nx\nxy\ny\n≥\nmożemy potraktować jak nierówność kwadratową\nz niewiadomą x lub - analogicznie - z niewiadomą y. Wyróżnik trójmianu stojącego po lewej\nstronie nierówności jest równy\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n8\n4 4\n5\n16\n0\ny\ny\ny\nΔ = -\n-⋅⋅\n≤\nStąd i z faktu, że współczynnik przy\n2x trójmianu\n2\n2\n( )\n4\n8\n5\nf x\nx\nxy\ny\njest dodatni\nwynika, że trójmian ten przyjmuje tylko wartości nieujemne. To kończy dowód.\nSchemat oceniania II sposobu\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy wyznaczy wyróżnik trójmianu\n2\n2\n( )\n4\n8\n5\nf x\nx\nxy\ny\n:\n2\n16y\nΔ = -\ni na tym poprzestanie\nlub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy wyznaczy wyróżnik trójmianu\n2\n2\n( )\n4\n8\n5\nf x\nx\nxy\ny\n, zapisze, że jest on niedodatni\ni wyciągnie wniosek, że trójmian przyjmuje tylko wartości nieujemne.\nIII sposób rozwiązania\nDla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność\n2\n2\n2\nx\ny\nxy\n≥\n. Stąd\nwynika, że prawdziwa jest nierówność\n2\n2\n4\n4\n8\nx\ny\nxy\n≥\n, czyli\n2\n2\n4\n8\n4\n0\nx\nxy\ny\n≥\nZatem, dla dowolnych liczb x, y mamy\n2\n2\n2\n2\n4\n8\n5\n4\n8\n4\n0\nx\nxy\ny\nx\nxy\ny\n≥\n≥\nTo kończy dowód.\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwe są nierówności\n2\n2\n2\n2\n4\n8\n5\n4\n8\n4\nx\nxy\ny\nx\nxy\ny\n≥\noraz\n2\n2\n4\n4\n8\nx\ny\nxy\n≥\n(lub\n2\n2\n2\nx\ny\nxy\n≥\n).\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełny dowód.\nIV sposób rozwiązania\nGdy co najmniej jedna z liczb x, y jest równa 0, to nierówność\n2\n2\n4\n8\n5\n0\nx\nxy\ny\n≥\njest\nprawdziwa, gdyż suma trzech liczb, z których co najmniej dwie są równe 0, a trzecia nieujemna,\njest nieujemna.\nGdy liczby x, y są przeciwnych znaków, to\n0\nxy <\n, więc\n8\n0\nxy\n>\n. Zatem nierówność\n2\n2\n4\n8\n5\n0\nx\nxy\ny\n≥\njest prawdziwa, gdyż lewa jej strona jest sumą trzech liczb dodatnich.\nPozostaje wykazać prawdziwość nierówności w przypadku, gdy liczby x, y są tego samego\nznaku.\nZauważmy najpierw, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność\n(\n)\n2\n2\n5\n0\nx\ny\n≥\n, czyli\n2\n2\n4\n4 5\n5\n0\nx\nxy\ny\n≥\nWykażemy teraz prawdziwość nierówności\n2\n2\n2\n2\n4\n8\n5\n4\n4 5\n5\nx\nxy\ny\nx\nxy\ny\n≥\n,\nrównoważnie\n8\n4 5\nxy\nxy\n≥-\n,\n5\n2\nxy\nxy\n≤\nSkoro x i y są tego samego znaku, to\n0\nxy >\n, więc dzieląc obie strony nierówności przez xy,\notrzymujemy nierówność równoważną\n5\n1\n2\n≤\n, co jest prawdą. To kończy dowód.\nSchemat oceniania IV sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy wykaże prawdziwość nierówności w przypadku, gdy co najmniej jedna z liczb x, y jest\nrówna 0 oraz w przypadku, gdy liczby x, y są przeciwnych znaków, a w przypadku,\ngdy x, y są tego samego znaku zauważy, że prawdziwa jest nierówność (\n)\n2\n2\n5\n0\nx\ny\n≥\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełny dowód.\nUwaga\nGdy zdający sprawdza jedynie prawdziwość nierówności dla konkretnych liczb x i y, to\notrzymuje 0 punktów.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\langle -2, 2 \\rangle\\)\n\n## Sposób 1 - wyłączenie przed nawias i pierwiastki\n\n**Upraszczamy nierówność** - dzielimy obie strony przez \\(7 > 0\\) (kierunek nierówności się nie zmienia):\n\\[7x^2 - 28 \\leq 0 \\quad \\Longrightarrow \\quad x^2 - 4 \\leq 0\\]\n\n**Rozkładamy lewą stronę** na czynniki (różnica kwadratów):\n\\[x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\\]\n\nNierówność przyjmuje postać:\n\\[(x-2)(x+2) \\leq 0\\]\n\nIloczyn dwóch czynników jest **nieujemny** wtedy, gdy oba mają przeciwne znaki (lub jeden jest zerem). Wyznaczamy miejsca zerowe:\n\\[x - 2 = 0 \\Rightarrow x = 2, \\qquad x + 2 = 0 \\Rightarrow x = -2\\]\n\nSzkic znaku iloczynu:\n\n| Przedział | \\(x+2\\) | \\(x-2\\) | iloczyn |\n| \\(x < -2\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |\n| \\(-2 \\leq x \\leq 2\\) | \\(+\\) lub \\(0\\) | \\(-\\) lub \\(0\\) | \\(\\leq 0\\) ✓ |\n| \\(x > 2\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |\n\nIloczyn \\(\\leq 0\\) dla \\(x \\in \\langle -2, 2 \\rangle\\).\n\n**Odpowiedź:** \\[\\boxed{x \\in \\langle -2, 2 \\rangle}\\]\n\n## Sposób 2 - interpretacja geometryczna (parabola)\n\nRozważamy funkcję \\(f(x) = 7x^2 - 28\\).\n\nJest to parabola otwarta ku górze (\\(a = 7 > 0\\)), więc jest **poniżej osi \\(x\\)** (wartości ujemne lub zero) dokładnie **między swoimi miejscami zerowymi**.\n\nWyznaczamy miejsca zerowe:\n\\[7x^2 - 28 = 0\\]\n\\[7x^2 = 28\\]\n\\[x^2 = 4\\]\n\\[x = \\pm 2\\]\n\nPonieważ parabola jest skierowana ku górze, zachodzi \\(f(x) \\leq 0\\) **między** pierwiastkami - włącznie z końcami (znak \\(\\leq\\)):\n\n\\[x \\in \\langle -2, 2 \\rangle\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - miejsca zerowe:\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]\nTutaj \\(a = 7, b = 0, c = -28\\), więc \\(\\Delta = 0 + 4 \\cdot 7 \\cdot 28 = 784\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 28\\):\n\\[x_{1,2} = \\frac{0 \\pm 28}{14} = \\pm 2\\]\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**:\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1: \\(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\\).\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy dzieleniu przez \\(7\\) nic się nie zmienia - ale gdyby współczynnik był **ujemny** (np. \\(-7x^2 + 28 \\leq 0\\)), dzielenie przez liczbę ujemną **odwraca znak nierówności**!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Końce przedziału \\(x = -2\\) i \\(x = 2\\) **należą** do rozwiązania, bo nierówność jest niestrykta (\\(\\leq\\), nie \\(<\\)). Należy więc użyć nawiasów kwadratowych \\(\\langle -2, 2 \\rangle\\), nie okrągłych.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Częsty błąd - pisanie odpowiedzi jako \\(x \\in (-\\infty, -2\\rangle \\cup \\langle 2, +\\infty)\\), co byłoby rozwiązaniem nierówności **odwrotnej** \\(7x^2 - 28 \\geq 0\\). Pamiętaj: parabola skierowana ku górze przyjmuje wartości \\(\\leq 0\\) **między** pierwiastkami, a \\(\\geq 0\\) **na zewnątrz**.\n\n**Odpowiedź: \\(x \\in [-2, 2]\\)**\n\n**Rozwiązanie:**\n\n\\(7x^2 - 28 \\leq 0\\)\n\n\\(7(x^2 - 4) \\leq 0\\)\n\n\\(x^2 - 4 \\leq 0\\)\n\n\\(x^2 \\leq 4\\)\n\n\\(|x| \\leq 2\\)\n\n\\(-2 \\leq x \\leq 2\\)\n\n**Odpowiedź:** \\(x \\in \\langle -2, 2 \\rangle\\)\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Nierówność z wartością bezwzględną: \\(|x - a| \\leq r \\iff a - r \\leq x \\leq a + r\\); wzory skróconego mnożenia \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\)","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 26. (2 pkt)
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest
nierówność
2
2
4
8
5
0
x
xy
y
≥

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 26. (0-2)
Rozwiąż nierówność
)
2
)(
3
(
4
2
2

\n
\n

x
x
x
x
V. Rozumowanie
i argumentacja.

\n
  1. Wyrażenia algebraiczne. Zdający posługuje się wzorami
\n

skróconego mnożenia (2.a).
I sposób rozwiązania
Nierówność
2
2
4
8
5
0
x
xy
y
≥
przekształcamy w sposób równoważny
2
2
2
4
8
4
0
y
x
xy
y
≥
,
(
)
2
2
2
2
0
y
x
y
≥
Ta nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y, gdyż kwadrat każdej
liczby jest nieujemny i suma kwadratów liczb nieujemnych również jest nieujemna.
To kończy dowód.
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy zapisze nierówność w postaci równoważnej
(
)
2
2
2
2
0
y
x
y
≥
i na tym poprzestanie lub
dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy przeprowadzi pełny dowód.
II sposób rozwiązania
Nierówność
2
2
4
8
5
0
x
xy
y
≥
możemy potraktować jak nierówność kwadratową
z niewiadomą x lub - analogicznie - z niewiadomą y. Wyróżnik trójmianu stojącego po lewej
stronie nierówności jest równy
(
)
(
)
2
2
2
8
4 4
5
16
0
y
y
y
Δ = -
-⋅⋅
≤
Stąd i z faktu, że współczynnik przy
2x trójmianu
2
2
( )
4
8
5
f x
x
xy
y
jest dodatni
wynika, że trójmian ten przyjmuje tylko wartości nieujemne. To kończy dowód.
Schemat oceniania II sposobu
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy wyznaczy wyróżnik trójmianu
2
2
( )
4
8
5
f x
x
xy
y
:
2
16y
Δ = -
i na tym poprzestanie
lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy wyznaczy wyróżnik trójmianu
2
2
( )
4
8
5
f x
x
xy
y
, zapisze, że jest on niedodatni
i wyciągnie wniosek, że trójmian przyjmuje tylko wartości nieujemne.
III sposób rozwiązania
Dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność
2
2
2
x
y
xy
≥
. Stąd
wynika, że prawdziwa jest nierówność
2
2
4
4
8
x
y
xy
≥
, czyli
2
2
4
8
4
0
x
xy
y
≥
Zatem, dla dowolnych liczb x, y mamy
2
2
2
2
4
8
5
4
8
4
0
x
xy
y
x
xy
y
≥
≥
To kończy dowód.
Schemat oceniania III sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy zapisze, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwe są nierówności
2
2
2
2
4
8
5
4
8
4
x
xy
y
x
xy
y
≥
oraz
2
2
4
4
8
x
y
xy
≥
(lub
2
2
2
x
y
xy
≥
).
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy przeprowadzi pełny dowód.
IV sposób rozwiązania
Gdy co najmniej jedna z liczb x, y jest równa 0, to nierówność
2
2
4
8
5
0
x
xy
y
≥
jest
prawdziwa, gdyż suma trzech liczb, z których co najmniej dwie są równe 0, a trzecia nieujemna,
jest nieujemna.
Gdy liczby x, y są przeciwnych znaków, to
0
xy <
, więc
8
0
xy

\n
\n

. Zatem nierówność
2
2
4
8
5
0
x
xy
y
≥
jest prawdziwa, gdyż lewa jej strona jest sumą trzech liczb dodatnich.
Pozostaje wykazać prawdziwość nierówności w przypadku, gdy liczby x, y są tego samego
znaku.
Zauważmy najpierw, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność
(
)
2
2
5
0
x
y
≥
, czyli
2
2
4
4 5
5
0
x
xy
y
≥
Wykażemy teraz prawdziwość nierówności
2
2
2
2
4
8
5
4
4 5
5
x
xy
y
x
xy
y
≥
,
równoważnie
8
4 5
xy
xy
≥-
,
5
2
xy
xy
≤
Skoro x i y są tego samego znaku, to
0
xy >
, więc dzieląc obie strony nierówności przez xy,
otrzymujemy nierówność równoważną
5
1
2
≤
, co jest prawdą. To kończy dowód.
Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy wykaże prawdziwość nierówności w przypadku, gdy co najmniej jedna z liczb x, y jest
równa 0 oraz w przypadku, gdy liczby x, y są przeciwnych znaków, a w przypadku,
gdy x, y są tego samego znaku zauważy, że prawdziwa jest nierówność (
)
2
2
5
0
x
y
≥
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy przeprowadzi pełny dowód.
Uwaga
Gdy zdający sprawdza jedynie prawdziwość nierówności dla konkretnych liczb x i y, to
otrzymuje 0 punktów.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\langle -2, 2 \\rangle\\)

\n

Sposób 1 - wyłączenie przed nawias i pierwiastki

\n

Upraszczamy nierówność - dzielimy obie strony przez \\(7 > 0\\) (kierunek nierówności się nie zmienia):
\\[7x^2 - 28 \\leq 0 \\quad \\Longrightarrow \\quad x^2 - 4 \\leq 0\\]

\n

Rozkładamy lewą stronę na czynniki (różnica kwadratów):
\\[x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\\]

\n

Nierówność przyjmuje postać:
\\[(x-2)(x+2) \\leq 0\\]

\n

Iloczyn dwóch czynników jest nieujemny wtedy, gdy oba mają przeciwne znaki (lub jeden jest zerem). Wyznaczamy miejsca zerowe:
\\[x - 2 = 0 \\Rightarrow x = 2, \\qquad x + 2 = 0 \\Rightarrow x = -2\\]

\n

Szkic znaku iloczynu:

\n

| Przedział | \\(x+2\\) | \\(x-2\\) | iloczyn |
| \\(x < -2\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |
| \\(-2 \\leq x \\leq 2\\) | \\(+\\) lub \\(0\\) | \\(-\\) lub \\(0\\) | \\(\\leq 0\\) ✓ |
| \\(x > 2\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |

\n

Iloczyn \\(\\leq 0\\) dla \\(x \\in \\langle -2, 2 \\rangle\\).

\n

Odpowiedź: \\[\\boxed{x \\in \\langle -2, 2 \\rangle}\\]

\n

Sposób 2 - interpretacja geometryczna (parabola)

\n

Rozważamy funkcję \\(f(x) = 7x^2 - 28\\).

\n

Jest to parabola otwarta ku górze (\\(a = 7 > 0\\)), więc jest poniżej osi \\(x\\) (wartości ujemne lub zero) dokładnie między swoimi miejscami zerowymi.

\n

Wyznaczamy miejsca zerowe:
\\[7x^2 - 28 = 0\\]
\\[7x^2 = 28\\]
\\[x^2 = 4\\]
\\[x = \\pm 2\\]

\n

Ponieważ parabola jest skierowana ku górze, zachodzi \\(f(x) \\leq 0\\) między pierwiastkami - włącznie z końcami (znak \\(\\leq\\)):

\n

\\[x \\in \\langle -2, 2 \\rangle\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - miejsca zerowe:
\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]
Tutaj \\(a = 7, b = 0, c = -28\\), więc \\(\\Delta = 0 + 4 \\cdot 7 \\cdot 28 = 784\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 28\\):
\\[x_{1,2} = \\frac{0 \\pm 28}{14} = \\pm 2\\]

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):
\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1: \\(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\\).

\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: Przy dzieleniu przez \\(7\\) nic się nie zmienia - ale gdyby współczynnik był ujemny (np. \\(-7x^2 + 28 \\leq 0\\)), dzielenie przez liczbę ujemną odwraca znak nierówności!
\n
⚠️ Uwaga: Końce przedziału \\(x = -2\\) i \\(x = 2\\) należą do rozwiązania, bo nierówność jest niestrykta (\\(\\leq\\), nie \\(<\\)). Należy więc użyć nawiasów kwadratowych \\(\\langle -2, 2 \\rangle\\), nie okrągłych.
\n
⚠️ Uwaga: Częsty błąd - pisanie odpowiedzi jako \\(x \\in (-\\infty, -2\\rangle \\cup \\langle 2, +\\infty)\\), co byłoby rozwiązaniem nierówności odwrotnej \\(7x^2 - 28 \\geq 0\\). Pamiętaj: parabola skierowana ku górze przyjmuje wartości \\(\\leq 0\\) między pierwiastkami, a \\(\\geq 0\\) na zewnątrz.
\n

Odpowiedź: \\(x \\in [-2, 2]\\)

\n

Rozwiązanie:

\n

\\(7x^2 - 28 \\leq 0\\)

\n

\\(7(x^2 - 4) \\leq 0\\)

\n

\\(x^2 - 4 \\leq 0\\)

\n

\\(x^2 \\leq 4\\)

\n

\\(|x| \\leq 2\\)

\n

\\(-2 \\leq x \\leq 2\\)

\n

Odpowiedź: \\(x \\in \\langle -2, 2 \\rangle\\)

\n

Użyte wzory z karty CKE: Nierówność z wartością bezwzględną: \\(|x - a| \\leq r \\iff a - r \\leq x \\leq a + r\\); wzory skróconego mnożenia \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\)

"}]}