{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (2 pkt)\nRozwiąż nierówność\n2\n2\n4\n2\nx\nx\nx\n≥\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n26.\n27.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (0-2)\nRozwiąż nierówność\n2\n2\n4\n2\nx\nx\nx\n≥\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje równania\ni nierówności kwadratowe; zapisuje rozwiązanie w postaci\nsumy przedziałów (3.a).\nRozwiązanie\nRozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów - obliczenie pierwiastków\ntrójmianu kwadratowego, a następnie wybranie i zapisanie odpowiedniego zbioru rozwiązań.\nPierwszy etap może być realizowany na 2 sposoby:\nI sposób rozwiązania (realizacja pierwszego etapu)\nZapisujemy nierówność w postaci\n2\n2\n5\n2\n0\nx\nx\n≥\ni znajdujemy pierwiastki trójmianu\n2\n2\n5\n2\nx\nx\n• obliczamy wyróżnik tego trójmianu:\n25\n4 2 2\n9\nΔ =\n-⋅⋅\ni stąd\n1\n5 3\n1\n4\n2\nx\noraz\n2\n5 3\n4\n2\nx\nalbo\n• stosujemy wzory Viète’a:\n1\n2\n5\n2\nx\nx\noraz\n1\n2\n1\nx\nx\n⋅\n= , stąd\n1\n1\n2\nx =\noraz\n2\n2\nx =\nalbo\n• podajemy je bezpośrednio, np. zapisując pierwiastki trójmianu lub postać iloczynową\ntrójmianu, lub zaznaczając je na wykresie\n1\n1\n2\nx =\n,\n2\n2 =\nx\nlub (\n)[\n]\n2\n2\n1\nx\nx\nlub (\n)(\n)\n1\n2\n2\n2\nx\nx\nlub\n-1\n1\n2\n3\n4\n-1\n1\n2\n3\ny\n0\nx\n1\n2\nII sposób rozwiązania (realizacja pierwszego etapu)\nWyznaczamy postać kanoniczną trójmianu kwadratowego\n2\n2\n5\n2\nx\nx\ni zapisujemy\nnierówność w postaci, np.\n2\n5\n9\n2\n0\n4\n8\nx\n\n\n≥\n\n\n\n\n, a następnie\n• przekształcamy nierówność tak, aby jej lewa strona była zapisana w postaci\niloczynowej\n(\n)\n(\n)\n5\n3\n5\n3\n4\n4\n4\n4\n0\nx\nx\n\n\n\n⋅\n≥\n\n\n\n,\n(\n)(\n)\n1\n4\n2\n2\n0\nx\nx\n≥\n,\nalbo\n• przekształcamy nierówność do postaci równoważnej, korzystając z własności wartości\nbezwzględnej\n(\n)\n2\n5\n9\n4\n16\nx -\n≥\n,\n3\n5\n4\n4\nx -\n≥\nDrugi etap rozwiązania:\nPodajemy zbiór rozwiązań nierówności:\n)\n\n\n\n∞\n∪\n∞\n,2\n2\n1\n,\nlub\n)\n1\n,\n2,\n2\nx\n\n∈-∞\n∪\n+∞\n\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n• zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór\nrozwiązań nierówności, np.\no obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego\n1\n1\n2\nx =\n,\n2\n2\nx =\ni na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,\no zaznaczy\nna\nwykresie\nmiejsca\nzerowe\nfunkcji\n2\n( )\n2\n5\n2\nf x\nx\nx\ni na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,\no rozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np.\n(\n)(\n)\n1\n2\n2\n2\nx\nx\ni na tym poprzestanie lub błędnie rozwiąże nierówność,\no zapisze nierówność\n5\n3\n4\n4\nx -\n>\ni na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór\nrozwiązań nierówności,\nalbo\n• realizując pierwszy etap popełni błąd (ale otrzyma dwa różne pierwiastki)\ni konsekwentnie do tego rozwiąże nierówność, np.\no popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków\ntrójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże\nnierówność,\no błędnie zapisze równania wynikające ze wzorów Viète’a, np.:\n1\n2\n5\n2\nx\nx\ni konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność,\no błędnie zapisze nierówność, np.\n5\n1\n2\n2\nx +\n<\ni konsekwentnie do popełnionego\nbłędu rozwiąże nierówność.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\n• poda zbiór rozwiązań nierówności:\n)\n\n\n\n∞\n∪\n∞\n,2\n2\n1\n,\nlub\n)\n1\n,\n2,\n2\nx\n\n∈-∞\n∪\n+∞\n\nlub (\n1\n2\nx ≤\nlub\n2\nx ≥\n),\nalbo\n• sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności\nw postaci:\n1\n2\nx ≤\nlub\n2\nx ≥\n,\nalbo\n• poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów\nUwagi\n1.\nAkceptujemy zapisanie odpowiedzi w postaci:\n1\n2\nx ≤\ni\n2\nx ≥\n,\n1\n2\nx ≤\noraz\n2\nx ≥\n, itp.\n2. Jeżeli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu\n1\n1\n2\nx =\n,\n2\n2\nx =\ni zapisze, np.\n)\n1\n,\n2,\n2\n\n∞-\n∪\n+∞\n\n, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego\nz pierwiastków, to otrzymuje 2 punkty.\nx\n2\n1\n2","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = 2\\) lub \\(x = -3\\)\n\nRównanie ma dwa rozwiązania rzeczywiste: \\(x_1 = 2\\) i \\(x_2 = -3\\).\n\n## Sposób 1 - grupowanie wyrazów\n\nZauważamy, że wyrazy wielomianu można zgrupować tak, by wyłączyć wspólny czynnik.\n\n**Krok 1: Grupujemy pary wyrazów**\n\n\\[x^4 - 2x^3 + 27x - 54\\]\n\nGrupujemy pierwsze dwa i ostatnie dwa wyrazy:\n\n\\[(x^4 - 2x^3) + (27x - 54)\\]\n\n**Krok 2: Wyłączamy wspólne czynniki z każdej grupy**\n\n\\[x^3(x - 2) + 27(x - 2)\\]\n\nWidzimy, że \\((x - 2)\\) jest czynnikiem wspólnym!\n\n**Krok 3: Wyłączamy \\((x-2)\\)**\n\n\\[(x - 2)(x^3 + 27)\\]\n\n**Krok 4: Rozkładamy \\(x^3 + 27\\) - suma sześcianów**\n\nKorzystamy ze wzoru \\(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\\) z \\(a = x\\), \\(b = 3\\):\n\n\\[x^3 + 27 = x^3 + 3^3 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9)\\]\n\n**Krok 5: Pełny rozkład**\n\n\\[(x-2)(x+3)(x^2 - 3x + 9) = 0\\]\n\n**Krok 6: Rozwiązujemy każdy czynnik**\n\n- \\(x - 2 = 0 \\Rightarrow x = 2\\)\n- \\(x + 3 = 0 \\Rightarrow x = -3\\)\n- \\(x^2 - 3x + 9 = 0\\): obliczamy wyróżnik:\n\n\\[\\Delta = (-3)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 9 = 9 - 36 = -27 < 0\\]\n\nBrak rozwiązań rzeczywistych z tego czynnika.\n\n**Odpowiedź: \\(x = 2\\) lub \\(x = -3\\)**\n\n## Sposób 2 - metoda pierwiastka wymiernego + schemat Hornera\n\nGdy nie widać od razu grupowania, szukamy pierwiastka wymiernego.\n\n**Krok 1: Szukamy kandydatów na pierwiastki wymierne**\n\nMożliwe pierwiastki wymierne to dzielniki wyrazu wolnego (\\(54\\)):\n\\[\\pm 1, \\pm 2, \\pm 3, \\pm 6, \\pm 9, \\pm 18, \\pm 27, \\pm 54\\]\n\n**Krok 2: Próbujemy \\(x = 2\\)**\n\n\\[2^4 - 2 \\cdot 2^3 + 27 \\cdot 2 - 54 = 16 - 16 + 54 - 54 = 0 \\checkmark\\]\n\n**Krok 3: Dzielenie przez \\((x-2)\\) - schemat Hornera**\n\nWspółczynniki wielomianu: \\(1, -2, 0, 27, -54\\)\n\n| | \\(1\\) | \\(-2\\) | \\(0\\) | \\(27\\) | \\(-54\\) |\n| \\(\\cdot 2\\) | | \\(2\\) | \\(0\\) | \\(0\\) | \\(54\\) |\n| | \\(1\\) | \\(0\\) | \\(0\\) | \\(27\\) | \\(0\\) |\n\nIloraz: \\(x^3 + 0x^2 + 0x + 27 = x^3 + 27\\)\n\nZatem:\n\\[x^4 - 2x^3 + 27x - 54 = (x-2)(x^3 + 27)\\]\n\n**Krok 4: Próbujemy \\(x = -3\\) dla \\(x^3 + 27\\)**\n\n\\[(-3)^3 + 27 = -27 + 27 = 0 \\checkmark\\]\n\nDzielimy \\(x^3 + 27\\) przez \\((x + 3)\\):\n\n| | \\(1\\) | \\(0\\) | \\(0\\) | \\(27\\) |\n| \\(\\cdot(-3)\\) | | \\(-3\\) | \\(9\\) | \\(-27\\) |\n| | \\(1\\) | \\(-3\\) | \\(9\\) | \\(0\\) |\n\nIloraz: \\(x^2 - 3x + 9\\), wyróżnik \\(\\Delta = 9 - 36 = -27 < 0\\) - brak dalszych pierwiastków rzeczywistych.\n\n**Wynik:**\n\\[(x-2)(x+3)(x^2-3x+9) = 0 \\implies \\boxed{x = 2 \\text{ lub } x = -3}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - suma sześcianów:\n\\[a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\\]\nUżyliśmy tego do rozkładu \\(x^3 + 27 = (x+3)(x^2 - 3x + 9)\\).\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)** - wyróżnik trójmianu:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyliśmy do sprawdzenia, że \\(x^2 - 3x + 9 = 0\\) nie ma rozwiązań rzeczywistych (bo \\(\\Delta < 0\\)).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy grupowaniu \\(x^3(x-2) + 27(x-2)\\) łatwo zapomnieć sprawdzić, czy \\(27x - 54 = 27(x-2)\\) (a nie np. \\(27(x+2)\\)). Zawsze rozwiń nawiasy i zweryfikuj!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Suma sześcianów \\(a^3 + b^3\\) to **nie** to samo co \\((a+b)^3\\). Tu \\(x^3 + 27 = (x+3)(x^2 - 3x + 9)\\), a nie \\((x+3)^3\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trójmian \\(x^2 - 3x + 9\\) ma \\(\\Delta < 0\\), więc **nie ma pierwiastków rzeczywistych** - nie można go \"jakoś rozwiązać\". Równanie stopnia 4 ma tutaj tylko dwa rozwiązania rzeczywiste.\n\n**Odpowiedź: \\(x = 2\\) lub \\(x = -3\\)**\n\n**Rozwiązanie:**\n\n\\(x^4 - 2x^3 + 27x - 54 = 0\\)\n\nGrupujemy wyrazy:\n\\(x^3(x - 2) + 27(x - 2) = 0\\)\n\nWyciągamy wspólny czynnik:\n\\((x - 2)(x^3 + 27) = 0\\)\n\nStosujemy wzór na sumę sześcianów \\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\\):\n\\((x - 2)(x + 3)(x^2 - 3x + 9) = 0\\)\n\nRozwiązania:\n1. \\(x - 2 = 0 \\Rightarrow x = 2\\)\n2. \\(x + 3 = 0 \\Rightarrow x = -3\\)\n3. \\(x^2 - 3x + 9 = 0\\): \\(\\Delta = 9 - 36 = -27 < 0\\) - brak rozwiązań rzeczywistych\n\n**Odpowiedź:** \\(x = 2\\) lub \\(x = -3\\)\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Wzory skróconego mnożenia: \\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\\); wyróżnik \\(\\Delta = b^2 - 4ac\\)","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 27. (2 pkt)
Rozwiąż nierówność
2
2
4
2
x
x
x
≥
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
26.
27.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 27. (0-2)
Rozwiąż nierówność
2
2
4
2
x
x
x
≥
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje równania
\n

i nierówności kwadratowe; zapisuje rozwiązanie w postaci
sumy przedziałów (3.a).
Rozwiązanie
Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów - obliczenie pierwiastków
trójmianu kwadratowego, a następnie wybranie i zapisanie odpowiedniego zbioru rozwiązań.
Pierwszy etap może być realizowany na 2 sposoby:
I sposób rozwiązania (realizacja pierwszego etapu)
Zapisujemy nierówność w postaci
2
2
5
2
0
x
x
≥
i znajdujemy pierwiastki trójmianu
2
2
5
2
x
x
• obliczamy wyróżnik tego trójmianu:
25
4 2 2
9
Δ =
-⋅⋅
i stąd
1
5 3
1
4
2
x
oraz
2
5 3
4
2
x
albo
• stosujemy wzory Viète’a:
1
2
5
2
x
x
oraz
1
2
1
x
x
⋅
= , stąd
1
1
2
x =
oraz
2
2
x =
albo
• podajemy je bezpośrednio, np. zapisując pierwiastki trójmianu lub postać iloczynową
trójmianu, lub zaznaczając je na wykresie
1
1
2
x =
,
2
2 =
x
lub (
)[
]
2
2
1
x
x
lub (
)(
)
1
2
2
2
x
x
lub
-1
1
2
3
4
-1
1
2
3
y
0
x
1
2
II sposób rozwiązania (realizacja pierwszego etapu)
Wyznaczamy postać kanoniczną trójmianu kwadratowego
2
2
5
2
x
x
i zapisujemy
nierówność w postaci, np.
2
5
9
2
0
4
8
x


≥




, a następnie
• przekształcamy nierówność tak, aby jej lewa strona była zapisana w postaci
iloczynowej
(
)
(
)
5
3
5
3
4
4
4
4
0
x
x



⋅
≥



,
(
)(
)
1
4
2
2
0
x
x
≥
,
albo
• przekształcamy nierówność do postaci równoważnej, korzystając z własności wartości
bezwzględnej
(
)
2
5
9
4
16
x -
≥
,
3
5
4
4
x -
≥
Drugi etap rozwiązania:
Podajemy zbiór rozwiązań nierówności:
)



∞
∪
∞
,2
2
1
,
lub
)
1
,
2,
2
x

∈-∞
∪
+∞

Schemat oceniania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:
• zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór
rozwiązań nierówności, np.
o obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego
1
1
2
x =
,
2
2
x =
i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,
o zaznaczy
na
wykresie
miejsca
zerowe
funkcji
2
( )
2
5
2
f x
x
x
i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,
o rozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np.
(
)(
)
1
2
2
2
x
x
i na tym poprzestanie lub błędnie rozwiąże nierówność,
o zapisze nierówność
5
3
4
4
x -

\n
\n

i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór
rozwiązań nierówności,
albo
• realizując pierwszy etap popełni błąd (ale otrzyma dwa różne pierwiastki)
i konsekwentnie do tego rozwiąże nierówność, np.
o popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków
trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże
nierówność,
o błędnie zapisze równania wynikające ze wzorów Viète’a, np.:
1
2
5
2
x
x
i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność,
o błędnie zapisze nierówność, np.
5
1
2
2
x +
<
i konsekwentnie do popełnionego
błędu rozwiąże nierówność.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy:
• poda zbiór rozwiązań nierówności:
)



∞
∪
∞
,2
2
1
,
lub
)
1
,
2,
2
x

∈-∞
∪
+∞

lub (
1
2
x ≤
lub
2
x ≥
),
albo
• sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań
nierówności
w postaci:
1
2
x ≤
lub
2
x ≥
,
albo
• poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi
końcami przedziałów
Uwagi
1.
Akceptujemy zapisanie odpowiedzi w postaci:
1
2
x ≤
i
2
x ≥
,
1
2
x ≤
oraz
2
x ≥
, itp.

\n
  1. Jeżeli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu
\n

1
1
2
x =
,
2
2
x =
i zapisze, np.
)
1
,
2,
2

∞-
∪
+∞

, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego
z pierwiastków, to otrzymuje 2 punkty.
x
2
1
2

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x = 2\\) lub \\(x = -3\\)

\n

Równanie ma dwa rozwiązania rzeczywiste: \\(x_1 = 2\\) i \\(x_2 = -3\\).

\n

Sposób 1 - grupowanie wyrazów

\n

Zauważamy, że wyrazy wielomianu można zgrupować tak, by wyłączyć wspólny czynnik.

\n

Krok 1: Grupujemy pary wyrazów

\n

\\[x^4 - 2x^3 + 27x - 54\\]

\n

Grupujemy pierwsze dwa i ostatnie dwa wyrazy:

\n

\\[(x^4 - 2x^3) + (27x - 54)\\]

\n

Krok 2: Wyłączamy wspólne czynniki z każdej grupy

\n

\\[x^3(x - 2) + 27(x - 2)\\]

\n

Widzimy, że \\((x - 2)\\) jest czynnikiem wspólnym!

\n

Krok 3: Wyłączamy \\((x-2)\\)

\n

\\[(x - 2)(x^3 + 27)\\]

\n

Krok 4: Rozkładamy \\(x^3 + 27\\) - suma sześcianów

\n

Korzystamy ze wzoru \\(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\\) z \\(a = x\\), \\(b = 3\\):

\n

\\[x^3 + 27 = x^3 + 3^3 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9)\\]

\n

Krok 5: Pełny rozkład

\n

\\[(x-2)(x+3)(x^2 - 3x + 9) = 0\\]

\n

Krok 6: Rozwiązujemy każdy czynnik

\n\n

\\[\\Delta = (-3)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 9 = 9 - 36 = -27 < 0\\]

\n

Brak rozwiązań rzeczywistych z tego czynnika.

\n

Odpowiedź: \\(x = 2\\) lub \\(x = -3\\)

\n

Sposób 2 - metoda pierwiastka wymiernego + schemat Hornera

\n

Gdy nie widać od razu grupowania, szukamy pierwiastka wymiernego.

\n

Krok 1: Szukamy kandydatów na pierwiastki wymierne

\n

Możliwe pierwiastki wymierne to dzielniki wyrazu wolnego (\\(54\\)):
\\[\\pm 1, \\pm 2, \\pm 3, \\pm 6, \\pm 9, \\pm 18, \\pm 27, \\pm 54\\]

\n

Krok 2: Próbujemy \\(x = 2\\)

\n

\\[2^4 - 2 \\cdot 2^3 + 27 \\cdot 2 - 54 = 16 - 16 + 54 - 54 = 0 \\checkmark\\]

\n

Krok 3: Dzielenie przez \\((x-2)\\) - schemat Hornera

\n

Współczynniki wielomianu: \\(1, -2, 0, 27, -54\\)

\n

| | \\(1\\) | \\(-2\\) | \\(0\\) | \\(27\\) | \\(-54\\) |
| \\(\\cdot 2\\) | | \\(2\\) | \\(0\\) | \\(0\\) | \\(54\\) |
| | \\(1\\) | \\(0\\) | \\(0\\) | \\(27\\) | \\(0\\) |

\n

Iloraz: \\(x^3 + 0x^2 + 0x + 27 = x^3 + 27\\)

\n

Zatem:
\\[x^4 - 2x^3 + 27x - 54 = (x-2)(x^3 + 27)\\]

\n

Krok 4: Próbujemy \\(x = -3\\) dla \\(x^3 + 27\\)

\n

\\[(-3)^3 + 27 = -27 + 27 = 0 \\checkmark\\]

\n

Dzielimy \\(x^3 + 27\\) przez \\((x + 3)\\):

\n

| | \\(1\\) | \\(0\\) | \\(0\\) | \\(27\\) |
| \\(\\cdot(-3)\\) | | \\(-3\\) | \\(9\\) | \\(-27\\) |
| | \\(1\\) | \\(-3\\) | \\(9\\) | \\(0\\) |

\n

Iloraz: \\(x^2 - 3x + 9\\), wyróżnik \\(\\Delta = 9 - 36 = -27 < 0\\) - brak dalszych pierwiastków rzeczywistych.

\n

Wynik:
\\[(x-2)(x+3)(x^2-3x+9) = 0 \\implies \\boxed{x = 2 \\text{ lub } x = -3}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7) - suma sześcianów:
\\[a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\\]
Użyliśmy tego do rozkładu \\(x^3 + 27 = (x+3)(x^2 - 3x + 9)\\).

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8) - wyróżnik trójmianu:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]
Użyliśmy do sprawdzenia, że \\(x^2 - 3x + 9 = 0\\) nie ma rozwiązań rzeczywistych (bo \\(\\Delta < 0\\)).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Przy grupowaniu \\(x^3(x-2) + 27(x-2)\\) łatwo zapomnieć sprawdzić, czy \\(27x - 54 = 27(x-2)\\) (a nie np. \\(27(x+2)\\)). Zawsze rozwiń nawiasy i zweryfikuj!
\n
⚠️ Uwaga: Suma sześcianów \\(a^3 + b^3\\) to nie to samo co \\((a+b)^3\\). Tu \\(x^3 + 27 = (x+3)(x^2 - 3x + 9)\\), a nie \\((x+3)^3\\)!
\n
⚠️ Uwaga: Trójmian \\(x^2 - 3x + 9\\) ma \\(\\Delta < 0\\), więc nie ma pierwiastków rzeczywistych - nie można go "jakoś rozwiązać". Równanie stopnia 4 ma tutaj tylko dwa rozwiązania rzeczywiste.
\n

Odpowiedź: \\(x = 2\\) lub \\(x = -3\\)

\n

Rozwiązanie:

\n

\\(x^4 - 2x^3 + 27x - 54 = 0\\)

\n

Grupujemy wyrazy:
\\(x^3(x - 2) + 27(x - 2) = 0\\)

\n

Wyciągamy wspólny czynnik:
\\((x - 2)(x^3 + 27) = 0\\)

\n

Stosujemy wzór na sumę sześcianów \\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\\):
\\((x - 2)(x + 3)(x^2 - 3x + 9) = 0\\)

\n

Rozwiązania:

\n
  1. \\(x - 2 = 0 \\Rightarrow x = 2\\)
  2. \\(x + 3 = 0 \\Rightarrow x = -3\\)
  3. \\(x^2 - 3x + 9 = 0\\): \\(\\Delta = 9 - 36 = -27 < 0\\) - brak rozwiązań rzeczywistych
\n

Odpowiedź: \\(x = 2\\) lub \\(x = -3\\)

\n

Użyte wzory z karty CKE: Wzory skróconego mnożenia: \\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\\); wyróżnik \\(\\Delta = b^2 - 4ac\\)

"}]}