{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (2 pkt)\nRozwiąż równanie\n3\n2\n4\n4\n1\n0\nx\nx\nx\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (0-2)\nRozwiąż równanie\n3\n2\n4\n4\n1\n0\nx\nx\nx\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje równania\nwielomianowe metodą rozkładu na czynniki (3.d).\nRozwiązanie (I sposób) „grupowanie wyrazów”\nZapisujemy lewą stronę równania w postaci iloczynowej stosując metodę grupowania\nwyrazów\n(\n) (\n)\n2\n2\n4\n1\n4\n1\n0\nx\nx\nx\nlub\n(\n) (\n)\n2\n4\n1\n1\n0\nx\nx\nx\nStąd (\n)(\n)\n2\n1\n4\n1\n0\nx\nx\n, czyli (\n)(\n)(\n)\n1\n2\n1\n2\n1\n0\nx\nx\nx\nZatem\n1\nx = - lub\n1\n2\nx = -\nlub\n1\n2\nx =\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze lewą stronę równania w postaci iloczynu,\n(\n)(\n)\n2\n1\n4\n1\n0\nx\nx\nlub (\n)(\n)(\n)\n1\n2\n1\n2\n1\n0\nx\nx\nx\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania:\n1\nx = - lub\n1\n2\nx = -\nlub\n1\n2\nx =\nRozwiązanie (II sposób) „metoda dzielenia”\nStwierdzamy, że liczba\n1\n- jest pierwiastkiem wielomianu\n3\n2\n4\n4\n1\nx\nx\nx\n-. Dzielimy\nwielomian przez dwumian\n1\nx+ . Otrzymujemy iloraz\n2\n4\n1\nx -. Zapisujemy równanie\nw postaci (\n)(\n)\n2\n1\n4\n1\n0\nx\nx\n. Stąd (\n)(\n)(\n)\n1\n2\n1\n2\n1\n0\nx\nx\nx\n, czyli\n1\nx = - lub\n1\n2\nx = -\nlub\n1\n2\nx =\nalbo\nstwierdzamy, że liczba\n1\n2\njest pierwiastkiem wielomianu\n3\n2\n4\n4\n1\nx\nx\nx\n-. Dzielimy\nwielomian przez dwumian\n1\n2\nx +\n. Otrzymujemy iloraz\n2\n4\n2\n2\nx\nx\n. Zapisujemy równanie\nw postaci\n(\n)\n2\n1\n4\n2\n2\n0\n2\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\nStąd\n(\n)\n1\n1\n4\n1\n0\n2\n2\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n, czyli\n1\n2\nx = -\nlub\n1\n2\nx =\nlub\n1\nx = -,\nalbo\nstwierdzamy, że liczba 1\n2 jest pierwiastkiem wielomianu\n3\n2\n4\n4\n1\nx\nx\nx\n-. Dzielimy\nwielomian przez dwumian\n1\n2\nx -\n. Otrzymujemy iloraz\n2\n4\n6\n2\nx\nx\n. Zapisujemy równanie\nw postaci\n(\n)\n2\n1\n4\n6\n2\n0\n2\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\nStąd\n(\n)\n1\n1\n4\n1\n0\n2\n2\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n, czyli\n1\n2\nx =\nlub\n1\nx = - lub\n1\n2\nx = -\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\n• podzieli wielomian\n3\n2\n4\n4\n1\nx\nx\nx\n- przez dwumian\n1\nx+ , otrzyma iloraz\n2\n4\n1\nx - i na\ntym poprzestanie lub dalej popełni błędy\nalbo\n• podzieli wielomian\n3\n2\n4\n4\n1\nx\nx\nx\n- przez dwumian\n1\n2\nx +\n, otrzyma iloraz\n2\n4\n2\n2\nx\nx\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy\nalbo\n• podzieli wielomian\n3\n2\n4\n4\n1\nx\nx\nx\n- przez dwumian\n1\n2\nx -\n, otrzyma iloraz\n2\n4\n6\n2\nx\nx\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania:\n1\nx = - lub\n1\n2\nx = -\nlub\n1\n2\nx =\nUwaga\nJeżeli w trakcie doprowadzania lewej strony równania do postaci iloczynu zdający popełni\nwięcej niż jedną usterkę, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n\\[f(x) = -\\frac{1}{4}(x+3)^2 + 4\\]\n\nco po rozwinięciu daje:\n\n\\[f(x) = -\\frac{1}{4}x^2 - \\frac{3}{2}x + \\frac{7}{4}\\]\n\n## Sposób 1 - postać kanoniczna (wierzchołek znany)\n\n**Z treści zadania od razu odczytujemy wierzchołek paraboli.**\n\nFunkcja ma wartość największą (maksimum), więc parabola jest skierowana ramionami **w dół** - oznacza to \\(a < 0\\).\n\nMaksimum równe \\(4\\) jest osiągane dla \\(x = -3\\), więc:\n\\[\\text{wierzchołek } W = (-3, 4)\\]\n\nPostać kanoniczna funkcji kwadratowej z wierzchołkiem \\((p, q)\\):\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]\n\nWstawiamy \\(p = -3\\), \\(q = 4\\):\n\\[f(x) = a(x + 3)^2 + 4\\]\n\n**Wyznaczamy \\(a\\)** - korzystamy z warunku, że do wykresu należy \\(A = (-1, 3)\\), czyli \\(f(-1) = 3\\):\n\\[3 = a(-1 + 3)^2 + 4\\]\n\\[3 = a \\cdot 4 + 4\\]\n\\[3 - 4 = 4a\\]\n\\[-1 = 4a\\]\n\\[\\boxed{a = -\\frac{1}{4}}\\]\n\n**Wzór funkcji (postać kanoniczna):**\n\\[f(x) = -\\frac{1}{4}(x+3)^2 + 4\\]\n\n**Sprawdzenie:** \\(f(-3) = -\\frac{1}{4} \\cdot 0 + 4 = 4\\) ✓ i \\(f(-1) = -\\frac{1}{4} \\cdot 4 + 4 = -1 + 4 = 3\\) ✓\n\nRozwijamy do postaci ogólnej:\n\\[f(x) = -\\frac{1}{4}(x^2 + 6x + 9) + 4 = -\\frac{1}{4}x^2 - \\frac{3}{2}x - \\frac{9}{4} + \\frac{16}{4}\\]\n\\[\\boxed{f(x) = -\\frac{1}{4}x^2 - \\frac{3}{2}x + \\frac{7}{4}}\\]\n\n## Sposób 2 - postać ogólna z układem równań\n\nZakładamy postać ogólną:\n\\[f(x) = ax^2 + bx + c, \\quad a \\neq 0\\]\n\n**Warunek 1:** Maksimum w \\(x = -3\\), więc wierzchołek ma współrzędną \\(x\\):\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -3 \\implies b = 6a\\]\n\n**Warunek 2:** Wartość maksymalna \\(f(-3) = 4\\):\n\\[9a - 3b + c = 4\\]\n\nWstawiamy \\(b = 6a\\):\n\\[9a - 18a + c = 4 \\implies -9a + c = 4 \\quad \\text{(I)}\\]\n\n**Warunek 3:** Punkt \\(A = (-1, 3)\\) należy do wykresu, więc \\(f(-1) = 3\\):\n\\[a - b + c = 3\\]\n\nWstawiamy \\(b = 6a\\):\n\\[a - 6a + c = 3 \\implies -5a + c = 3 \\quad \\text{(II)}\\]\n\n**Rozwiązujemy układ (I) - (II):**\n\\[-9a + c - (-5a + c) = 4 - 3\\]\n\\[-4a = 1 \\implies a = -\\frac{1}{4}\\]\n\nZ równania (II): \\(c = 3 + 5 \\cdot \\left(-\\frac{1}{4}\\right) = 3 - \\frac{5}{4} = \\frac{7}{4}\\)\n\nOraz: \\(b = 6 \\cdot \\left(-\\frac{1}{4}\\right) = -\\frac{3}{2}\\)\n\n**Wynik:**\n\\[\\boxed{f(x) = -\\frac{1}{4}x^2 - \\frac{3}{2}x + \\frac{7}{4}}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna i wierzchołek:\n\\[f(x) = a(x-p)^2 + q, \\quad p = -\\frac{b}{2a}, \\quad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\nWierzchołek paraboli \\(W = (p, q)\\) - to punkt, w którym funkcja osiąga wartość największą (gdy \\(a < 0\\)) lub najmniejszą (gdy \\(a > 0\\)).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Wartość największa\" = **maksimum** = parabola otwarta w dół (\\(a < 0\\)). Jeśli napiszesz \\(a > 0\\), parabolą będzie skierowana w górę i żadne maksimum globalne nie istnieje - to sprzeczność z treścią!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wierzchołek to \\((-3, 4)\\), a **nie** \\((3, 4)\\) ani \\((-3, -4)\\). Uważaj na znaki przy przepisywaniu z postaci \\(a(x+3)^2 + 4\\) - tu \\(p = -3\\), bo \\(x - (-3) = x + 3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po wyznaczeniu \\(a\\) **zawsze sprawdź** oba warunki: wartość w wierzchołku i przynależność punktu \\(A\\). Jeden błąd arytmetyczny na etapie obliczania \\(a\\) popsuwa cały wynik.\n\n**Odpowiedź: \\(f(x) = -\\frac{1}{4}(x + 3)^2 + 4\\)**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nFunkcja kwadratowa \\(f\\) przyjmuje wartość największą (maksimum) dla \\(x = -3\\) równą 4.\n\nPostać kanoniczna: \\(f(x) = a(x - p)^2 + q\\), gdzie \\(p = -3\\), \\(q = 4\\), \\(a < 0\\) (ramiona w dół, bo jest maksimum).\n\n\\(f(x) = a(x + 3)^2 + 4\\)\n\nPunkt \\(A = (-1, 3)\\) należy do wykresu:\n\\(3 = a(-1 + 3)^2 + 4\\)\n\\(3 = 4a + 4\\)\n\\(4a = -1\\)\n\\(a = -\\frac{1}{4}\\)\n\n**Wzór funkcji:** \\(f(x) = -\\frac{1}{4}(x + 3)^2 + 4\\)\n\n**Sprawdzenie:** \\(f(-1) = -\\frac{1}{4} \\cdot 4 + 4 = -1 + 4 = 3\\) ✓\n\\(f(-3) = -\\frac{1}{4} \\cdot 0 + 4 = 4\\) ✓\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Postać kanoniczna funkcji kwadratowej: \\(f(x) = a(x - p)^2 + q\\), wierzchołek \\(W = (p, q)\\)","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 28. (2 pkt)
Rozwiąż równanie
3
2
4
4
1
0
x
x
x
Odpowiedź:

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 28. (0-2)
Rozwiąż równanie
3
2
4
4
1
0
x
x
x
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje równania
\n

wielomianowe metodą rozkładu na czynniki (3.d).
Rozwiązanie (I sposób) „grupowanie wyrazów”
Zapisujemy lewą stronę równania w postaci iloczynowej stosując metodę grupowania
wyrazów
(
) (
)
2
2
4
1
4
1
0
x
x
x
lub
(
) (
)
2
4
1
1
0
x
x
x
Stąd (
)(
)
2
1
4
1
0
x
x
, czyli (
)(
)(
)
1
2
1
2
1
0
x
x
x
Zatem
1
x = - lub
1
2
x = -
lub
1
2
x =
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy zapisze lewą stronę równania w postaci iloczynu,
(
)(
)
2
1
4
1
0
x
x
lub (
)(
)(
)
1
2
1
2
1
0
x
x
x
i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania:
1
x = - lub
1
2
x = -
lub
1
2
x =
Rozwiązanie (II sposób) „metoda dzielenia”
Stwierdzamy, że liczba
1

\n\n

3
2
4
4
1
x
x
x
-. Dzielimy
wielomian przez dwumian
1
x+ . Otrzymujemy iloraz
2
4
1
x -. Zapisujemy równanie
w postaci (
)(
)
2
1
4
1
0
x
x
. Stąd (
)(
)(
)
1
2
1
2
1
0
x
x
x
, czyli
1
x = - lub
1
2
x = -
lub
1
2
x =
albo
stwierdzamy, że liczba
1
2
jest pierwiastkiem wielomianu
3
2
4
4
1
x
x
x
-. Dzielimy
wielomian przez dwumian
1
2
x +
. Otrzymujemy iloraz
2
4
2
2
x
x
. Zapisujemy równanie
w postaci
(
)
2
1
4
2
2
0
2
x
x
x






Stąd
(
)
1
1
4
1
0
2
2
x
x
x









, czyli
1
2
x = -
lub
1
2
x =
lub
1
x = -,
albo
stwierdzamy, że liczba 1
2 jest pierwiastkiem wielomianu
3
2
4
4
1
x
x
x
-. Dzielimy
wielomian przez dwumian
1
2
x -
. Otrzymujemy iloraz
2
4
6
2
x
x
. Zapisujemy równanie
w postaci
(
)
2
1
4
6
2
0
2
x
x
x






Stąd
(
)
1
1
4
1
0
2
2
x
x
x









, czyli
1
2
x =
lub
1
x = - lub
1
2
x = -
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy
• podzieli wielomian
3
2
4
4
1
x
x
x

\n\n

1
x+ , otrzyma iloraz
2
4
1
x - i na
tym poprzestanie lub dalej popełni błędy
albo
• podzieli wielomian
3
2
4
4
1
x
x
x

\n\n

1
2
x +
, otrzyma iloraz
2
4
2
2
x
x
i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy
albo
• podzieli wielomian
3
2
4
4
1
x
x
x

\n\n

1
2
x -
, otrzyma iloraz
2
4
6
2
x
x
i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania:
1
x = - lub
1
2
x = -
lub
1
2
x =
Uwaga
Jeżeli w trakcie doprowadzania lewej strony równania do postaci iloczynu zdający popełni
więcej niż jedną usterkę, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

\\[f(x) = -\\frac{1}{4}(x+3)^2 + 4\\]

\n

co po rozwinięciu daje:

\n

\\[f(x) = -\\frac{1}{4}x^2 - \\frac{3}{2}x + \\frac{7}{4}\\]

\n

Sposób 1 - postać kanoniczna (wierzchołek znany)

\n

Z treści zadania od razu odczytujemy wierzchołek paraboli.

\n

Funkcja ma wartość największą (maksimum), więc parabola jest skierowana ramionami w dół - oznacza to \\(a < 0\\).

\n

Maksimum równe \\(4\\) jest osiągane dla \\(x = -3\\), więc:
\\[\\text{wierzchołek } W = (-3, 4)\\]

\n

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej z wierzchołkiem \\((p, q)\\):
\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]

\n

Wstawiamy \\(p = -3\\), \\(q = 4\\):
\\[f(x) = a(x + 3)^2 + 4\\]

\n

Wyznaczamy \\(a\\) - korzystamy z warunku, że do wykresu należy \\(A = (-1, 3)\\), czyli \\(f(-1) = 3\\):
\\[3 = a(-1 + 3)^2 + 4\\]
\\[3 = a \\cdot 4 + 4\\]
\\[3 - 4 = 4a\\]
\\[-1 = 4a\\]
\\[\\boxed{a = -\\frac{1}{4}}\\]

\n

Wzór funkcji (postać kanoniczna):
\\[f(x) = -\\frac{1}{4}(x+3)^2 + 4\\]

\n

Sprawdzenie: \\(f(-3) = -\\frac{1}{4} \\cdot 0 + 4 = 4\\) ✓ i \\(f(-1) = -\\frac{1}{4} \\cdot 4 + 4 = -1 + 4 = 3\\) ✓

\n

Rozwijamy do postaci ogólnej:
\\[f(x) = -\\frac{1}{4}(x^2 + 6x + 9) + 4 = -\\frac{1}{4}x^2 - \\frac{3}{2}x - \\frac{9}{4} + \\frac{16}{4}\\]
\\[\\boxed{f(x) = -\\frac{1}{4}x^2 - \\frac{3}{2}x + \\frac{7}{4}}\\]

\n

Sposób 2 - postać ogólna z układem równań

\n

Zakładamy postać ogólną:
\\[f(x) = ax^2 + bx + c, \\quad a \\neq 0\\]

\n

Warunek 1: Maksimum w \\(x = -3\\), więc wierzchołek ma współrzędną \\(x\\):
\\[p = -\\frac{b}{2a} = -3 \\implies b = 6a\\]

\n

Warunek 2: Wartość maksymalna \\(f(-3) = 4\\):
\\[9a - 3b + c = 4\\]

\n

Wstawiamy \\(b = 6a\\):
\\[9a - 18a + c = 4 \\implies -9a + c = 4 \\quad \\text{(I)}\\]

\n

Warunek 3: Punkt \\(A = (-1, 3)\\) należy do wykresu, więc \\(f(-1) = 3\\):
\\[a - b + c = 3\\]

\n

Wstawiamy \\(b = 6a\\):
\\[a - 6a + c = 3 \\implies -5a + c = 3 \\quad \\text{(II)}\\]

\n

Rozwiązujemy układ (I) - (II):
\\[-9a + c - (-5a + c) = 4 - 3\\]
\\[-4a = 1 \\implies a = -\\frac{1}{4}\\]

\n

Z równania (II): \\(c = 3 + 5 \\cdot \\left(-\\frac{1}{4}\\right) = 3 - \\frac{5}{4} = \\frac{7}{4}\\)

\n

Oraz: \\(b = 6 \\cdot \\left(-\\frac{1}{4}\\right) = -\\frac{3}{2}\\)

\n

Wynik:
\\[\\boxed{f(x) = -\\frac{1}{4}x^2 - \\frac{3}{2}x + \\frac{7}{4}}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - postać kanoniczna i wierzchołek:
\\[f(x) = a(x-p)^2 + q, \\quad p = -\\frac{b}{2a}, \\quad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]
Wierzchołek paraboli \\(W = (p, q)\\) - to punkt, w którym funkcja osiąga wartość największą (gdy \\(a < 0\\)) lub najmniejszą (gdy \\(a > 0\\)).

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: "Wartość największa" = maksimum = parabola otwarta w dół (\\(a < 0\\)). Jeśli napiszesz \\(a > 0\\), parabolą będzie skierowana w górę i żadne maksimum globalne nie istnieje - to sprzeczność z treścią!
\n
⚠️ Uwaga: Wierzchołek to \\((-3, 4)\\), a nie \\((3, 4)\\) ani \\((-3, -4)\\). Uważaj na znaki przy przepisywaniu z postaci \\(a(x+3)^2 + 4\\) - tu \\(p = -3\\), bo \\(x - (-3) = x + 3\\).
\n
⚠️ Uwaga: Po wyznaczeniu \\(a\\) zawsze sprawdź oba warunki: wartość w wierzchołku i przynależność punktu \\(A\\). Jeden błąd arytmetyczny na etapie obliczania \\(a\\) popsuwa cały wynik.
\n

Odpowiedź: \\(f(x) = -\\frac{1}{4}(x + 3)^2 + 4\\)

\n

Rozwiązanie:

\n

Funkcja kwadratowa \\(f\\) przyjmuje wartość największą (maksimum) dla \\(x = -3\\) równą 4.

\n

Postać kanoniczna: \\(f(x) = a(x - p)^2 + q\\), gdzie \\(p = -3\\), \\(q = 4\\), \\(a < 0\\) (ramiona w dół, bo jest maksimum).

\n

\\(f(x) = a(x + 3)^2 + 4\\)

\n

Punkt \\(A = (-1, 3)\\) należy do wykresu:
\\(3 = a(-1 + 3)^2 + 4\\)
\\(3 = 4a + 4\\)
\\(4a = -1\\)
\\(a = -\\frac{1}{4}\\)

\n

Wzór funkcji: \\(f(x) = -\\frac{1}{4}(x + 3)^2 + 4\\)

\n

Sprawdzenie: \\(f(-1) = -\\frac{1}{4} \\cdot 4 + 4 = -1 + 4 = 3\\) ✓
\\(f(-3) = -\\frac{1}{4} \\cdot 0 + 4 = 4\\) ✓

\n

Użyte wzory z karty CKE: Postać kanoniczna funkcji kwadratowej: \\(f(x) = a(x - p)^2 + q\\), wierzchołek \\(W = (p, q)\\)

"}]}