{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (2 pkt)\nNa rysunku przedstawiono wykres funkcji f.\nFunkcja h określona jest dla\n3, 5\nx∈-\nwzorem ( )\n( )\nh x\nf x\nq\n, gdzie q jest pewną liczbą\nrzeczywistą. Wiemy, że jednym z miejsc zerowych funkcji h jest liczba\n0\n1\nx = -.\na) Wyznacz q.\nb) Podaj wszystkie pozostałe miejsca zerowe funkcji h.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n28.\n29.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\nx\ny\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n-1\n-2\n-3\n-4\n0\n-1\n-2\n1\n2\n3\n4\n5\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (0-2)\nNa rysunku przedstawiono wykres funkcji f.\nFunkcja h określona jest dla\n3, 5\nx∈-\nwzorem ( )\n( )\nh x\nf x\nq\n, gdzie q jest pewną liczbą\nrzeczywistą. Wiemy, że jednym z miejsc zerowych funkcji h jest liczba\n0\n1\nx = -.\na) Wyznacz q.\nb) Podaj wszystkie pozostałe miejsca zerowe funkcji h.\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n4. Funkcje. Zdający odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę\ni zbiór wartości, miejsca zerowe, maksymalne przedziały,\nw których funkcja rośnie, maleje, ma stały znak, szkicuje na\npodstawie wykresu funkcji\n( )\nx\nf\ny =\nwykresy funkcji\n(\n)\na\nx\nf\ny\n,\n( )\na\nx\nf\ny\n,\n( )\nx\nf\ny\n,\n(\n)\nx\nf\ny\n(4.b,d).\nRozwiązanie\na) Zauważamy, że wykres funkcji h otrzymamy z wykresu funkcji f przesuwając go o 3\njednostki w dół wzdłuż osi Oy. Wzór funkcji h ma zatem postać\n( )\n( )\n3\nh x\nf x\nStąd\n3\nq = -.\nb) Podajemy pozostałe miejsca zerowe funkcji h :\n1\nx = ,\n3\nx =\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n• poda\n3\nq = - i nie poda pozostałych miejsc zerowych funkcji h lub poda je błędnie\nx\ny\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n-1\n-2\n-3\n-4\n0\n-1\n-2\n1\n2\n3\n4\n5\nalbo\n• poda pozostałe miejsca zerowe funkcji h : 1, 3 oraz nie poda wartości q lub poda ją\nbłędnie, np.\n3\nq = .\nUwaga\nJeżeli zdający sporządzi poprawny wykres funkcji h oraz poda jedno z miejsc zerowych\n1\nx = lub\n3\nx =\n, to otrzymuje 1 punkt.\nZdający trzymuje 2 p.\ngdy poprawnie poda\n3\nq = - oraz zapisze pozostałe miejsca zerowe funkcji h : 1, 3.\nUwaga\nJeżeli zdający poda współrzędne punktu (\n)\n1,0 lub (\n)\n3,0 zamiast miejsc zerowych, to nie\nprzyznajemy punktu za miejsca zerowe.","solution":"## Poprawna odpowiedź: dowód poniżej\n\nTo zadanie otwarte - należy udowodnić równość \\(AD^2 + BD^2 = BC^2 + AC^2\\).\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie Talesa (kąt wpisany w półokrąg)\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** Skoro \\(AB\\) jest średnicą okręgu, to każdy kąt wpisany oparty na tej średnicy wynosi \\(90°\\) (twierdzenie Talesa).\n\n**Krok 1.** Punkt \\(D\\) leży na okręgu, a cięciwa \\(AB\\) jest średnicą.\n\\[\\angle ADB = 90°\\]\nZatem trójkąt \\(ADB\\) jest prostokątny z kątem prostym przy \\(D\\). Na mocy twierdzenia Pitagorasa:\n\\[\\boxed{AD^2 + BD^2 = AB^2}\\]\n\n**Krok 2.** Punkt \\(C\\) również leży na okręgu, a \\(AB\\) nadal jest średnicą.\n\\[\\angle ACB = 90°\\]\nZatem trójkąt \\(ACB\\) jest prostokątny z kątem prostym przy \\(C\\):\n\\[\\boxed{AC^2 + BC^2 = AB^2}\\]\n\n**Krok 3.** Obie lewe strony równają się \\(AB^2\\), więc:\n\\[AD^2 + BD^2 = AB^2 = AC^2 + BC^2\\]\n\n**Co należało udowodnić.** \\(\\blacksquare\\)\n\n## Sposób 2 - Układ współrzędnych\n\nUmieszczamy okrąg o promieniu \\(R\\) tak, by \\(A = (0, 0)\\) i \\(B = (2R, 0)\\), środek \\(O = (R, 0)\\).\n\nKażdy punkt okręgu ma postać \\((R + R\\cos\\theta,\\ R\\sin\\theta)\\) dla pewnego kąta \\(\\theta\\).\n\nNiech \\(D = (R(1+\\cos\\alpha),\\ R\\sin\\alpha)\\) i \\(C = (R(1+\\cos\\beta),\\ R\\sin\\beta)\\).\n\n**Obliczamy dla punktu \\(D\\):**\n\n\\[AD^2 = R^2(1+\\cos\\alpha)^2 + R^2\\sin^2\\alpha = R^2(1 + 2\\cos\\alpha + \\cos^2\\alpha + \\sin^2\\alpha) = 2R^2(1+\\cos\\alpha)\\]\n\n\\[BD^2 = R^2(1+\\cos\\alpha - 2)^2 + R^2\\sin^2\\alpha = R^2(\\cos\\alpha - 1)^2 + R^2\\sin^2\\alpha = 2R^2(1-\\cos\\alpha)\\]\n\n\\[AD^2 + BD^2 = 2R^2(1+\\cos\\alpha) + 2R^2(1-\\cos\\alpha) = 4R^2 = AB^2\\]\n\n**Analogicznie dla punktu \\(C\\):** \\(AC^2 + BC^2 = 4R^2 = AB^2\\)\n\nZatem:\n\\[AD^2 + BD^2 = 4R^2 = AC^2 + BC^2 \\quad \\blacksquare\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - Twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2 \\quad \\text{(gdy kąt przy } C \\text{ wynosi } 90°)\\]\nUżyte dwukrotnie - dla trójkątów \\(ADB\\) i \\(ACB\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - Kąt wpisany = połowa kąta środkowego. Szczególny przypadek: kąt wpisany oparty na średnicy = \\(\\frac{180°}{2} = 90°\\).\nTo jest właśnie twierdzenie Talesa, które dało nam kąty proste przy \\(D\\) i \\(C\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Twierdzenie Talesa działa dla KAŻDEGO punktu na okręgu (poza \\(A\\) i \\(B\\)) - nie musisz sprawdzać, po której stronie średnicy leży \\(D\\) lub \\(C\\). Kąt zawsze wynosi \\(90°\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zakładaj z góry, że \\(C\\) i \\(D\\) leżą po różnych stronach \\(AB\\). Dowód działa tak samo niezależnie od położenia - bo do obu trójkątów stosujemy identyczny argument.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W rozwiązaniu wystarczy napisać: „\\(\\angle ADB = 90°\\) z tw. Talesa, bo \\(AB\\) jest średnicą, więc z tw. Pitagorasa \\(AD^2 + BD^2 = AB^2\\)\". Egzaminatorzy oczekują powołania na konkretne twierdzenie - nie pisz „bo tak wychodzi z rysunku\".\n\n**Dowód:**\n\nCzworokąt \\(ABCD\\) wpisany w okrąg, \\(AB\\) jest średnicą.\n\n**Do udowodnienia:** \\(AD^2 + BD^2 = BC^2 + AC^2\\)\n\nPonieważ \\(AB\\) jest średnicą okręgu, kąt wpisany oparty na średnicy jest kątem prostym (twierdzenie Talesa). Zatem:\n- \\(\\angle ADB = 90°\\) (kąt wpisany oparty na \\(AB\\) z punktu \\(D\\))\n- \\(\\angle ACB = 90°\\) (kąt wpisany oparty na \\(AB\\) z punktu \\(C\\))\n\nZ twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \\(ADB\\) (kąt prosty przy \\(D\\)):\n\\(AD^2 + BD^2 = AB^2\\)\n\nZ twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \\(ACB\\) (kąt prosty przy \\(C\\)):\n\\(AC^2 + BC^2 = AB^2\\)\n\nPorównując obie równości:\n\\(AD^2 + BD^2 = AB^2 = AC^2 + BC^2\\)\n\nCo kończy dowód. ∎\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Twierdzenie Pitagorasa: \\(a^2 + b^2 = c^2\\); kąt wpisany oparty na średnicy = \\(90°\\)","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 29. (2 pkt)
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f.
Funkcja h określona jest dla
3, 5
x∈-
wzorem ( )
( )
h x
f x
q
, gdzie q jest pewną liczbą
rzeczywistą. Wiemy, że jednym z miejsc zerowych funkcji h jest liczba
0
1
x = -.
a) Wyznacz q.
b) Podaj wszystkie pozostałe miejsca zerowe funkcji h.
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
28.
29.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt
x
y
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
-4
0
-1
-2
1
2
3
4
5

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 29. (0-2)
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f.
Funkcja h określona jest dla
3, 5
x∈-
wzorem ( )
( )
h x
f x
q
, gdzie q jest pewną liczbą
rzeczywistą. Wiemy, że jednym z miejsc zerowych funkcji h jest liczba
0
1
x = -.
a) Wyznacz q.
b) Podaj wszystkie pozostałe miejsca zerowe funkcji h.
I. Wykorzystanie
i tworzenie informacji.

\n
  1. Funkcje. Zdający odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę
\n

i zbiór wartości, miejsca zerowe, maksymalne przedziały,
w których funkcja rośnie, maleje, ma stały znak, szkicuje na
podstawie wykresu funkcji
( )
x
f
y =
wykresy funkcji
(
)
a
x
f
y
,
( )
a
x
f
y
,
( )
x
f
y
,
(
)
x
f
y
(4.b,d).
Rozwiązanie
a) Zauważamy, że wykres funkcji h otrzymamy z wykresu funkcji f przesuwając go o 3
jednostki w dół wzdłuż osi Oy. Wzór funkcji h ma zatem postać
( )
( )
3
h x
f x
Stąd
3
q = -.
b) Podajemy pozostałe miejsca zerowe funkcji h :
1
x = ,
3
x =
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:
• poda
3
q = - i nie poda pozostałych miejsc zerowych funkcji h lub poda je błędnie
x
y
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
-4
0
-1
-2
1
2
3
4
5
albo
• poda pozostałe miejsca zerowe funkcji h : 1, 3 oraz nie poda wartości q lub poda ją
błędnie, np.
3
q = .
Uwaga
Jeżeli zdający sporządzi poprawny wykres funkcji h oraz poda jedno z miejsc zerowych
1
x = lub
3
x =
, to otrzymuje 1 punkt.
Zdający trzymuje 2 p.
gdy poprawnie poda
3
q = - oraz zapisze pozostałe miejsca zerowe funkcji h : 1, 3.
Uwaga
Jeżeli zdający poda współrzędne punktu (
)
1,0 lub (
)
3,0 zamiast miejsc zerowych, to nie
przyznajemy punktu za miejsca zerowe.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: dowód poniżej

\n

To zadanie otwarte - należy udowodnić równość \\(AD^2 + BD^2 = BC^2 + AC^2\\).

\n

Sposób 1 - Twierdzenie Talesa (kąt wpisany w półokrąg)

\n

Kluczowe spostrzeżenie: Skoro \\(AB\\) jest średnicą okręgu, to każdy kąt wpisany oparty na tej średnicy wynosi \\(90°\\) (twierdzenie Talesa).

\n

Krok 1. Punkt \\(D\\) leży na okręgu, a cięciwa \\(AB\\) jest średnicą.
\\[\\angle ADB = 90°\\]
Zatem trójkąt \\(ADB\\) jest prostokątny z kątem prostym przy \\(D\\). Na mocy twierdzenia Pitagorasa:
\\[\\boxed{AD^2 + BD^2 = AB^2}\\]

\n

Krok 2. Punkt \\(C\\) również leży na okręgu, a \\(AB\\) nadal jest średnicą.
\\[\\angle ACB = 90°\\]
Zatem trójkąt \\(ACB\\) jest prostokątny z kątem prostym przy \\(C\\):
\\[\\boxed{AC^2 + BC^2 = AB^2}\\]

\n

Krok 3. Obie lewe strony równają się \\(AB^2\\), więc:
\\[AD^2 + BD^2 = AB^2 = AC^2 + BC^2\\]

\n

Co należało udowodnić. \\(\\blacksquare\\)

\n

Sposób 2 - Układ współrzędnych

\n

Umieszczamy okrąg o promieniu \\(R\\) tak, by \\(A = (0, 0)\\) i \\(B = (2R, 0)\\), środek \\(O = (R, 0)\\).

\n

Każdy punkt okręgu ma postać \\((R + R\\cos\\theta,\\ R\\sin\\theta)\\) dla pewnego kąta \\(\\theta\\).

\n

Niech \\(D = (R(1+\\cos\\alpha),\\ R\\sin\\alpha)\\) i \\(C = (R(1+\\cos\\beta),\\ R\\sin\\beta)\\).

\n

Obliczamy dla punktu \\(D\\):

\n

\\[AD^2 = R^2(1+\\cos\\alpha)^2 + R^2\\sin^2\\alpha = R^2(1 + 2\\cos\\alpha + \\cos^2\\alpha + \\sin^2\\alpha) = 2R^2(1+\\cos\\alpha)\\]

\n

\\[BD^2 = R^2(1+\\cos\\alpha - 2)^2 + R^2\\sin^2\\alpha = R^2(\\cos\\alpha - 1)^2 + R^2\\sin^2\\alpha = 2R^2(1-\\cos\\alpha)\\]

\n

\\[AD^2 + BD^2 = 2R^2(1+\\cos\\alpha) + 2R^2(1-\\cos\\alpha) = 4R^2 = AB^2\\]

\n

Analogicznie dla punktu \\(C\\): \\(AC^2 + BC^2 = 4R^2 = AB^2\\)

\n

Zatem:
\\[AD^2 + BD^2 = 4R^2 = AC^2 + BC^2 \\quad \\blacksquare\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15) - Twierdzenie Pitagorasa:
\\[a^2 + b^2 = c^2 \\quad \\text{(gdy kąt przy } C \\text{ wynosi } 90°)\\]
Użyte dwukrotnie - dla trójkątów \\(ADB\\) i \\(ACB\\).

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 19) - Kąt wpisany = połowa kąta środkowego. Szczególny przypadek: kąt wpisany oparty na średnicy = \\(\\frac{180°}{2} = 90°\\).
To jest właśnie twierdzenie Talesa, które dało nam kąty proste przy \\(D\\) i \\(C\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Twierdzenie Talesa działa dla KAŻDEGO punktu na okręgu (poza \\(A\\) i \\(B\\)) - nie musisz sprawdzać, po której stronie średnicy leży \\(D\\) lub \\(C\\). Kąt zawsze wynosi \\(90°\\).
\n
⚠️ Uwaga: Nie zakładaj z góry, że \\(C\\) i \\(D\\) leżą po różnych stronach \\(AB\\). Dowód działa tak samo niezależnie od położenia - bo do obu trójkątów stosujemy identyczny argument.
\n
⚠️ Uwaga: W rozwiązaniu wystarczy napisać: „\\(\\angle ADB = 90°\\) z tw. Talesa, bo \\(AB\\) jest średnicą, więc z tw. Pitagorasa \\(AD^2 + BD^2 = AB^2\\)". Egzaminatorzy oczekują powołania na konkretne twierdzenie - nie pisz „bo tak wychodzi z rysunku".
\n

Dowód:

\n

Czworokąt \\(ABCD\\) wpisany w okrąg, \\(AB\\) jest średnicą.

\n

Do udowodnienia: \\(AD^2 + BD^2 = BC^2 + AC^2\\)

\n

Ponieważ \\(AB\\) jest średnicą okręgu, kąt wpisany oparty na średnicy jest kątem prostym (twierdzenie Talesa). Zatem:

\n\n

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \\(ADB\\) (kąt prosty przy \\(D\\)):
\\(AD^2 + BD^2 = AB^2\\)

\n

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \\(ACB\\) (kąt prosty przy \\(C\\)):
\\(AC^2 + BC^2 = AB^2\\)

\n

Porównując obie równości:
\\(AD^2 + BD^2 = AB^2 = AC^2 + BC^2\\)

\n

Co kończy dowód. ∎

\n

Użyte wzory z karty CKE: Twierdzenie Pitagorasa: \\(a^2 + b^2 = c^2\\); kąt wpisany oparty na średnicy = \\(90°\\)

"}]}