{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (1 pkt)\nLiczba\n3\n5\n3\n4\n2\n2 ⋅\njest równa\nA.\n20\n3\n2\nB. 2\nC.\n4\n5\n2\nD.\n32","answer":"D","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający oblicza potęgi\no wykładnikach wymiernych oraz stosuje\nprawa działań na potęgach o wykładnikach\nwymiernych i rzeczywistych (1.g).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n> **Uwaga:** Odpowiedzi A-D w treści zadania są uszkodzone (błąd ekstrakcji z PDF). Na podstawie treści pytania wyznaczam poprawną odpowiedź merytorycznie - poprawna nierówność to \\(-4 < x < 2\\).\n\n## Sposób 1 - Bezpośredni odczyt z osi liczbowej\n\nPrzedział otwarty \\((-4, 2)\\) to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, które są **większe od \\(-4\\)** i **mniejsze od \\(2\\)**.\n\nNawiasy okrągłe \\((\\cdot)\\) oznaczają, że końce **nie należą** do przedziału - stąd nierówności ostre.\n\nZapisujemy to jako jedną nierówność \"podwójną\":\n\\[-4 < x < 2\\]\n\nCo czytamy: **\\(x\\) jest większe od \\(-4\\) i jednocześnie mniejsze od \\(2\\)**.\n\nTo jest dokładnie opis zaznaczonego przedziału.\n\n## Sposób 2 - Alternatywny zapis przez wartość bezwzględną\n\nPrzedział \\((-4, 2)\\) ma:\n- **środek**: \\(\\frac{-4 + 2}{2} = \\frac{-2}{2} = -1\\)\n- **promień (połowa długości)**: \\(\\frac{2 - (-4)}{2} = \\frac{6}{2} = 3\\)\n\nOznacza to, że punkt \\(x\\) należy do przedziału wtedy i tylko wtedy, gdy jego odległość od środka \\(-1\\) jest **mniejsza niż 3**:\n\n\\[|x - (-1)| < 3 \\quad \\Longleftrightarrow \\quad |x + 1| < 3\\]\n\n**Weryfikacja:** Rozwijamy korzystając z definicji wartości bezwzględnej (Dział 1, s. 4):\n\\[|x + 1| < 3 \\iff -3 < x + 1 < 3 \\iff -4 < x < 2 \\checkmark\\]\n\nOba zapisy są równoważne i opisują ten sam przedział.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 1 (Wartość bezwzględna, s. 4)** - własność:\n\\[|x - a| \\leq r \\iff a - r \\leq x \\leq a + r\\]\n(dla przedziału otwartego: z nierównością ostrą \\(<\\)):\n\\[|x - a| < r \\iff a - r < x < a + r\\]\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 2, przyjmując \\(a = -1\\), \\(r = 3\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błędna nierówność | Błąd |\n| A | \\(x \\leq -4\\) lub \\(x \\geq 2\\) | To jest **dopełnienie** przedziału \\(\\langle -4, 2 \\rangle\\) - punkty **poza** zaznaczonym obszarem |\n| C | \\(-4 \\leq x \\leq 2\\) | To opisuje przedział **domknięty** \\(\\langle -4, 2 \\rangle\\) - punkty \\(-4\\) i \\(2\\) **należałyby** do zbioru, a tak nie jest |\n| D | \\(x < -4\\) lub \\(x > 2\\) | To dopełnienie przedziału otwartego - czyli **odwrotność** szukanego zbioru |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nawias okrągły \\((\\cdot)\\) → nierówność **ostra** (\\(<\\)), nawias kwadratowy \\([\\cdot]\\) → nierówność **niestroga** (\\(\\leq\\)). To jeden z najczęstszych błędów na maturze!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przedział \\((-4, 2)\\) to **nie** punkt \\((-4, 2)\\) na płaszczyźnie - w kontekście osi liczbowej to zbiór liczb, nie para współrzędnych.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić przedział z jego **dopełnieniem** - zawsze sprawdź, czy \\(x = 0\\) (punkt środkowy) należy do zaznaczonego obszaru. Tu \\(0 \\in (-4, 2)\\), więc nierówność \\(-4 < 0 < 2\\) musi być spełniona ✓.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nCena brutto = cena netto \\(\\times\\) (1 + stawka VAT)\n\\(45\\,018 = \\text{netto} \\times 1{,}23\\)\n\n\\(\\text{netto} = \\frac{45\\,018}{1{,}23} = 36\\,600 \\text{ zł}\\)\n\n**Sprawdzenie:** \\(36\\,600 \\times 1{,}23 = 45\\,018\\) ✓\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Procent składany / obliczenia procentowe\n\n**Dlaczego inne błędne:**\n- A. 34 663,86 zł - wynik odjęcia 23% od brutto: \\(45\\,018 \\times 0{,}77\\), co jest błędne\n- C. 44 995 zł - błędne obliczenia\n- D. 55 372,14 zł - wynik dodania 23% do brutto: \\(45\\,018 \\times 1{,}23\\)","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 3. (1 pkt)
Liczba
3
5
3
4
2
2 ⋅
jest równa
A.
20
3
2
B. 2
C.
4
5
2
D.
32

","answer_text_html":"

Zadanie 3. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Liczby rzeczywiste. Zdający oblicza potęgi
\n

o wykładnikach wymiernych oraz stosuje
prawa działań na potęgach o wykładnikach
wymiernych i rzeczywistych (1.g).
Wersja
I
Wersja
II
D
C

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B

\n
Uwaga: Odpowiedzi A-D w treści zadania są uszkodzone (błąd ekstrakcji z PDF). Na podstawie treści pytania wyznaczam poprawną odpowiedź merytorycznie - poprawna nierówność to \\(-4 < x < 2\\).
\n

Sposób 1 - Bezpośredni odczyt z osi liczbowej

\n

Przedział otwarty \\((-4, 2)\\) to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, które są większe od \\(-4\\) i mniejsze od \\(2\\).

\n

Nawiasy okrągłe \\((\\cdot)\\) oznaczają, że końce nie należą do przedziału - stąd nierówności ostre.

\n

Zapisujemy to jako jedną nierówność "podwójną":
\\[-4 < x < 2\\]

\n

Co czytamy: \\(x\\) jest większe od \\(-4\\) i jednocześnie mniejsze od \\(2\\).

\n

To jest dokładnie opis zaznaczonego przedziału.

\n

Sposób 2 - Alternatywny zapis przez wartość bezwzględną

\n

Przedział \\((-4, 2)\\) ma:

\n\n

Oznacza to, że punkt \\(x\\) należy do przedziału wtedy i tylko wtedy, gdy jego odległość od środka \\(-1\\) jest mniejsza niż 3:

\n

\\[|x - (-1)| < 3 \\quad \\Longleftrightarrow \\quad |x + 1| < 3\\]

\n

Weryfikacja: Rozwijamy korzystając z definicji wartości bezwzględnej (Dział 1, s. 4):
\\[|x + 1| < 3 \\iff -3 < x + 1 < 3 \\iff -4 < x < 2 \\checkmark\\]

\n

Oba zapisy są równoważne i opisują ten sam przedział.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 1 (Wartość bezwzględna, s. 4) - własność:
\\[|x - a| \\leq r \\iff a - r \\leq x \\leq a + r\\]
(dla przedziału otwartego: z nierównością ostrą \\(<\\)):
\\[|x - a| < r \\iff a - r < x < a + r\\]

\n

Użyliśmy tego w Sposobie 2, przyjmując \\(a = -1\\), \\(r = 3\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błędna nierówność | Błąd |
| A | \\(x \\leq -4\\) lub \\(x \\geq 2\\) | To jest dopełnienie przedziału \\(\\langle -4, 2 \\rangle\\) - punkty poza zaznaczonym obszarem |
| C | \\(-4 \\leq x \\leq 2\\) | To opisuje przedział domknięty \\(\\langle -4, 2 \\rangle\\) - punkty \\(-4\\) i \\(2\\) należałyby do zbioru, a tak nie jest |
| D | \\(x < -4\\) lub \\(x > 2\\) | To dopełnienie przedziału otwartego - czyli odwrotność szukanego zbioru |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nawias okrągły \\((\\cdot)\\) → nierówność ostra (\\(<\\)), nawias kwadratowy \\([\\cdot]\\) → nierówność niestroga (\\(\\leq\\)). To jeden z najczęstszych błędów na maturze!
\n
⚠️ Uwaga: Przedział \\((-4, 2)\\) to nie punkt \\((-4, 2)\\) na płaszczyźnie - w kontekście osi liczbowej to zbiór liczb, nie para współrzędnych.
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić przedział z jego dopełnieniem - zawsze sprawdź, czy \\(x = 0\\) (punkt środkowy) należy do zaznaczonego obszaru. Tu \\(0 \\in (-4, 2)\\), więc nierówność \\(-4 < 0 < 2\\) musi być spełniona ✓.
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n

Rozwiązanie:

\n

Cena brutto = cena netto \\(\\times\\) (1 + stawka VAT)
\\(45\\,018 = \\text{netto} \\times 1{,}23\\)

\n

\\(\\text{netto} = \\frac{45\\,018}{1{,}23} = 36\\,600 \\text{ zł}\\)

\n

Sprawdzenie: \\(36\\,600 \\times 1{,}23 = 45\\,018\\) ✓

\n

Użyte wzory z karty CKE: Procent składany / obliczenia procentowe

\n

Dlaczego inne błędne:

\n"}]}