{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (2 pkt)\nDany jest skończony ciąg, w którym pierwszy wyraz jest równy 444 , a ostatni jest\nrówny 653. Każdy wyraz tego ciągu, począwszy od drugiego, jest o 11 większy od wyrazu\nbezpośrednio go poprzedzającego. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu.\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nDany jest skończony ciąg, w którym pierwszy wyraz jest równy 444 , a ostatni jest\nrówny 653. Każdy wyraz tego ciągu, począwszy od drugiego, jest o 11 większy od wyrazu\nbezpośrednio go poprzedzającego. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu.\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi liczbowe. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i sumę\nn początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i ciągu\ngeometrycznego (5.c).\nRozwiązanie\nZauważamy, że ciąg jest arytmetyczny.\nPrzyjmijmy oznaczenia:\n1\n444\na =\n, różnica ciągu\n11\nr =\n. Wtedy\n653\nna =\n. Zapisujemy\nrównanie\n(\n)\n444\n1 11\n653\nn\n⋅\n, a stąd\n20\nn =\nObliczamy zatem\n20\nS :\n1\n20\n20\n444\n653\n20\n20\n1097 10\n10970\n2\n2\na\na\nS\n⋅\n⋅\n⋅\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\n• poprawnie poda liczbę wyrazów danego ciągu (\n20\nn =\n) i na tym zakończy lub dalej\npopełni błędy\nalbo\n• popełni błąd podczas obliczania liczby składników tej sumy i konsekwentnie do\npopełnionego błędu obliczy sumę wyrazów tego ciągu.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zapisze, że suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 10970.\nUwaga\nJeżeli zdający wypisze wszystkie wyrazy danego ciągu i nie poda ich sumy lub tę sumę poda\nbłędnie, to otrzymuje 1 punkt.\nKryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeżeli zdający wypisze poprawnie wszystkie wyrazy danego ciągu i przy zapisaniu sumy\npominie jeden ze składników lub przepisze go błędnie i konsekwentnie obliczy tę sumę, to\notrzymuje 2 punkty.","solution":"## Poprawna odpowiedź: suma wyrazów wynosi \\(0\\)\n\n(Zadanie otwarte - udowodnij. Poniżej pełny dowód.)\n\n## Sposób 1 - Bezpośredni ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego\n\n**Oznaczenia:** Niech ciąg ma 7 wyrazów. Środkowy wyraz to wyraz czwarty, czyli \\(a_4 = 0\\).\n\n**Krok 1 - Wyraź wszystkie wyrazy przez \\(a_4\\) i różnicę \\(r\\).**\n\nW ciągu arytmetycznym każdy wyraz wyraża się wzorem \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\), więc:\n\n\\[\na_1 = a_4 - 3r, \\quad a_2 = a_4 - 2r, \\quad a_3 = a_4 - r\n\\]\n\\[\na_4 = 0\n\\]\n\\[\na_5 = a_4 + r, \\quad a_6 = a_4 + 2r, \\quad a_7 = a_4 + 3r\n\\]\n\n**Krok 2 - Policz sumę wszystkich siedmiu wyrazów bezpośrednio.**\n\n\\[\nS_7 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7\n\\]\n\n\\[\nS_7 = (a_4 - 3r) + (a_4 - 2r) + (a_4 - r) + a_4 + (a_4 + r) + (a_4 + 2r) + (a_4 + 3r)\n\\]\n\n**Krok 3 - Zgrupuj wyrazy z \\(r\\) i bez \\(r\\).**\n\n\\[\nS_7 = 7 \\cdot a_4 + (-3r - 2r - r + 0 + r + 2r + 3r)\n\\]\n\nSuma składników z \\(r\\):\n\\[\n-3r - 2r - r + r + 2r + 3r = 0\n\\]\n\nZatem:\n\\[\nS_7 = 7 \\cdot a_4 + 0 = 7 \\cdot 0 = \\mathbf{0}\n\\]\n\n**Co udowodniliśmy:** Suma siedmiu wyrazów ciągu arytmetycznego, w którym \\(a_4 = 0\\), jest równa \\(0\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n## Sposób 2 - Wzór na sumę ciągu arytmetycznego\n\n**Krok 1 - Skorzystaj ze wzoru na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego.**\n\n\\[\nS_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\n\\]\n\nDla \\(n = 7\\):\n\\[\nS_7 = \\frac{a_1 + a_7}{2} \\cdot 7\n\\]\n\n**Krok 2 - Wyraź \\(a_1 + a_7\\) przez \\(a_4\\).**\n\nPonieważ \\(a_4\\) jest środkowym wyrazem ciągu siedmiowyrazowego:\n\\[\na_1 = a_4 - 3r, \\qquad a_7 = a_4 + 3r\n\\]\n\\[\na_1 + a_7 = (a_4 - 3r) + (a_4 + 3r) = 2a_4\n\\]\n\n**Krok 3 - Podstaw do wzoru.**\n\n\\[\nS_7 = \\frac{2a_4}{2} \\cdot 7 = a_4 \\cdot 7 = 0 \\cdot 7 = \\mathbf{0}\n\\]\n\n**Spostrzeżenie ogólne:** W każdym ciągu arytmetycznym o nieparzystej liczbie wyrazów środkowy wyraz jest równy średniej arytmetycznej wszystkich wyrazów. Zatem suma = środkowy wyraz × liczba wyrazów. Jeśli środkowy wyraz \\(= 0\\), to suma \\(= 0\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)**\n\nWzór ogólny ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyty w obu sposobach do wyrażenia wyrazów \\(a_1, a_7\\) przez \\(a_4\\) i \\(r\\).\n\nWzór na sumę \\(n\\) wyrazów:\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\nUżyty bezpośrednio w Sposobie 2.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Środkowy wyraz siedmiowyrazowego ciągu to **czwarty** wyraz (\\(a_4\\)), nie trzeci. Policz: 1, 2, 3, **4**, 5, 6, 7 - czwarty jest w środku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W zadaniu z dowodem **musisz uzasadnić każdy krok algebraicznie** - nie wystarczy podać przykładu liczbowego (np. dla \\(r = 1\\)). Przykład nie jest dowodem!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo zgubić znak przy sumowaniu składników z \\(r\\). Sprawdź, że \\(-3r - 2r - r + r + 2r + 3r = 0\\) - wyrazy symetrycznie parują się do zera.\n\n**Dowód:**\n\nDany jest siedmiowyrazowy ciąg arytmetyczny \\((a_1, a_2, \\ldots, a_7)\\), w którym wyraz środkowy \\(a_4 = 0\\).\n\n**Do udowodnienia:** \\(S_7 = 0\\)\n\n**Sposób 1 - wzór na sumę:**\n\nWzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:\n\\(S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\)\n\nW ciągu arytmetycznym zachodzi:\n\\(a_1 + a_7 = 2a_4\\) (bo \\(1 + 7 = 2 \\cdot 4\\))\n\nPonieważ \\(a_4 = 0\\):\n\\(a_1 + a_7 = 2 \\cdot 0 = 0\\)\n\nZatem:\n\\(S_7 = \\frac{a_1 + a_7}{2} \\cdot 7 = \\frac{0}{2} \\cdot 7 = 0\\)\n\n**Sposób 2 - bezpośredni:**\n\n\\(a_4 = a_1 + 3r = 0\\), więc \\(a_1 = -3r\\).\n\n\\(S_7 = \\frac{2a_1 + 6r}{2} \\cdot 7 = \\frac{2(-3r) + 6r}{2} \\cdot 7 = \\frac{0}{2} \\cdot 7 = 0\\)\n\nCo kończy dowód. ∎\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Suma ciągu arytmetycznego: \\(S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\); \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\)","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 30. (2 pkt)
Dany jest skończony ciąg, w którym pierwszy wyraz jest równy 444 , a ostatni jest
równy 653. Każdy wyraz tego ciągu, począwszy od drugiego, jest o 11 większy od wyrazu
bezpośrednio go poprzedzającego. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu.
Odpowiedź:

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 30. (0-2)
Dany jest skończony ciąg, w którym pierwszy wyraz jest równy 444 , a ostatni jest
równy 653. Każdy wyraz tego ciągu, począwszy od drugiego, jest o 11 większy od wyrazu
bezpośrednio go poprzedzającego. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu.
III. Modelowanie
matematyczne.

\n
  1. Ciągi liczbowe. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i sumę
\n

n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i ciągu
geometrycznego (5.c).
Rozwiązanie
Zauważamy, że ciąg jest arytmetyczny.
Przyjmijmy oznaczenia:
1
444
a =
, różnica ciągu
11
r =
. Wtedy
653
na =
. Zapisujemy
równanie
(
)
444
1 11
653
n
⋅
, a stąd
20
n =
Obliczamy zatem
20
S :
1
20
20
444
653
20
20
1097 10
10970
2
2
a
a
S
⋅
⋅
⋅
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy
• poprawnie poda liczbę wyrazów danego ciągu (
20
n =
) i na tym zakończy lub dalej
popełni błędy
albo
• popełni błąd podczas obliczania liczby składników tej sumy i konsekwentnie do
popełnionego błędu obliczy sumę wyrazów tego ciągu.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy zapisze, że suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 10970.
Uwaga
Jeżeli zdający wypisze wszystkie wyrazy danego ciągu i nie poda ich sumy lub tę sumę poda
błędnie, to otrzymuje 1 punkt.
Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
Jeżeli zdający wypisze poprawnie wszystkie wyrazy danego ciągu i przy zapisaniu sumy
pominie jeden ze składników lub przepisze go błędnie i konsekwentnie obliczy tę sumę, to
otrzymuje 2 punkty.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: suma wyrazów wynosi \\(0\\)

\n

(Zadanie otwarte - udowodnij. Poniżej pełny dowód.)

\n

Sposób 1 - Bezpośredni ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego

\n

Oznaczenia: Niech ciąg ma 7 wyrazów. Środkowy wyraz to wyraz czwarty, czyli \\(a_4 = 0\\).

\n

Krok 1 - Wyraź wszystkie wyrazy przez \\(a_4\\) i różnicę \\(r\\).

\n

W ciągu arytmetycznym każdy wyraz wyraża się wzorem \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\), więc:

\n

\\[
a_1 = a_4 - 3r, \\quad a_2 = a_4 - 2r, \\quad a_3 = a_4 - r
\\]
\\[
a_4 = 0
\\]
\\[
a_5 = a_4 + r, \\quad a_6 = a_4 + 2r, \\quad a_7 = a_4 + 3r
\\]

\n

Krok 2 - Policz sumę wszystkich siedmiu wyrazów bezpośrednio.

\n

\\[
S_7 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7
\\]

\n

\\[
S_7 = (a_4 - 3r) + (a_4 - 2r) + (a_4 - r) + a_4 + (a_4 + r) + (a_4 + 2r) + (a_4 + 3r)
\\]

\n

Krok 3 - Zgrupuj wyrazy z \\(r\\) i bez \\(r\\).

\n

\\[
S_7 = 7 \\cdot a_4 + (-3r - 2r - r + 0 + r + 2r + 3r)
\\]

\n

Suma składników z \\(r\\):
\\[
-3r - 2r - r + r + 2r + 3r = 0
\\]

\n

Zatem:
\\[
S_7 = 7 \\cdot a_4 + 0 = 7 \\cdot 0 = \\mathbf{0}
\\]

\n

Co udowodniliśmy: Suma siedmiu wyrazów ciągu arytmetycznego, w którym \\(a_4 = 0\\), jest równa \\(0\\). \\(\\blacksquare\\)

\n

Sposób 2 - Wzór na sumę ciągu arytmetycznego

\n

Krok 1 - Skorzystaj ze wzoru na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego.

\n

\\[
S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n
\\]

\n

Dla \\(n = 7\\):
\\[
S_7 = \\frac{a_1 + a_7}{2} \\cdot 7
\\]

\n

Krok 2 - Wyraź \\(a_1 + a_7\\) przez \\(a_4\\).

\n

Ponieważ \\(a_4\\) jest środkowym wyrazem ciągu siedmiowyrazowego:
\\[
a_1 = a_4 - 3r, \\qquad a_7 = a_4 + 3r
\\]
\\[
a_1 + a_7 = (a_4 - 3r) + (a_4 + 3r) = 2a_4
\\]

\n

Krok 3 - Podstaw do wzoru.

\n

\\[
S_7 = \\frac{2a_4}{2} \\cdot 7 = a_4 \\cdot 7 = 0 \\cdot 7 = \\mathbf{0}
\\]

\n

Spostrzeżenie ogólne: W każdym ciągu arytmetycznym o nieparzystej liczbie wyrazów środkowy wyraz jest równy średniej arytmetycznej wszystkich wyrazów. Zatem suma = środkowy wyraz × liczba wyrazów. Jeśli środkowy wyraz \\(= 0\\), to suma \\(= 0\\). \\(\\blacksquare\\)

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)

\n

Wzór ogólny ciągu arytmetycznego:
\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]
Użyty w obu sposobach do wyrażenia wyrazów \\(a_1, a_7\\) przez \\(a_4\\) i \\(r\\).

\n

Wzór na sumę \\(n\\) wyrazów:
\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]
Użyty bezpośrednio w Sposobie 2.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Środkowy wyraz siedmiowyrazowego ciągu to czwarty wyraz (\\(a_4\\)), nie trzeci. Policz: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 - czwarty jest w środku.
\n
⚠️ Uwaga: W zadaniu z dowodem musisz uzasadnić każdy krok algebraicznie - nie wystarczy podać przykładu liczbowego (np. dla \\(r = 1\\)). Przykład nie jest dowodem!
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo zgubić znak przy sumowaniu składników z \\(r\\). Sprawdź, że \\(-3r - 2r - r + r + 2r + 3r = 0\\) - wyrazy symetrycznie parują się do zera.
\n

Dowód:

\n

Dany jest siedmiowyrazowy ciąg arytmetyczny \\((a_1, a_2, \\ldots, a_7)\\), w którym wyraz środkowy \\(a_4 = 0\\).

\n

Do udowodnienia: \\(S_7 = 0\\)

\n

Sposób 1 - wzór na sumę:

\n

Wzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:
\\(S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\)

\n

W ciągu arytmetycznym zachodzi:
\\(a_1 + a_7 = 2a_4\\) (bo \\(1 + 7 = 2 \\cdot 4\\))

\n

Ponieważ \\(a_4 = 0\\):
\\(a_1 + a_7 = 2 \\cdot 0 = 0\\)

\n

Zatem:
\\(S_7 = \\frac{a_1 + a_7}{2} \\cdot 7 = \\frac{0}{2} \\cdot 7 = 0\\)

\n

Sposób 2 - bezpośredni:

\n

\\(a_4 = a_1 + 3r = 0\\), więc \\(a_1 = -3r\\).

\n

\\(S_7 = \\frac{2a_1 + 6r}{2} \\cdot 7 = \\frac{2(-3r) + 6r}{2} \\cdot 7 = \\frac{0}{2} \\cdot 7 = 0\\)

\n

Co kończy dowód. ∎

\n

Użyte wzory z karty CKE: Suma ciągu arytmetycznego: \\(S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\); \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\)

"}]}