{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"32","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (4 pkt)\nWysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16. Przekątna graniastosłupa\njest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy 3\n5 . Oblicz\npole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n32.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: 1176\n\nPole rombu wynosi **1176**.\n\n## Sposób 1 - Układ równań z twierdzeniem Pitagorasa\n\n**Co wiemy o rombie:** Przekątne rombu przecinają się prostopadle i nawzajem dwusieczą. Oznacza to, że przekątne dzielą romb na cztery przystające trójkąty prostokątne, w których przyprostokątnymi są **połówki przekątnych**, a przeciwprostokątną jest **bok rombu**.\n\nNiech \\(d_1\\) i \\(d_2\\) będą długościami przekątnych, gdzie \\(d_1 > d_2\\).\n\n**Dane:**\n\\[d_1 - d_2 = 14 \\implies d_1 = d_2 + 14\\]\n\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego z przyprostokątnymi \\(\\frac{d_1}{2}\\) i \\(\\frac{d_2}{2}\\) oraz przeciwprostokątną \\(35\\):\n\\[\\left(\\frac{d_1}{2}\\right)^2 + \\left(\\frac{d_2}{2}\\right)^2 = 35^2\\]\n\nPodstawiamy \\(d_1 = d_2 + 14\\):\n\\[\\left(\\frac{d_2 + 14}{2}\\right)^2 + \\left(\\frac{d_2}{2}\\right)^2 = 1225\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(4\\):\n\\[(d_2 + 14)^2 + d_2^2 = 4900\\]\n\nRozwijamy:\n\\[d_2^2 + 28d_2 + 196 + d_2^2 = 4900\\]\n\\[2d_2^2 + 28d_2 + 196 = 4900\\]\n\\[2d_2^2 + 28d_2 - 4704 = 0\\]\n\\[d_2^2 + 14d_2 - 2352 = 0\\]\n\nWyróżnik:\n\\[\\Delta = 14^2 + 4 \\cdot 2352 = 196 + 9408 = 9604 = 98^2\\]\n\nMiejsca zerowe:\n\\[d_2 = \\frac{-14 + 98}{2} = \\frac{84}{2} = 42\\]\n\n(Drugi pierwiastek \\(\\frac{-14 - 98}{2} < 0\\) - odrzucamy, bo długość jest dodatnia.)\n\nZatem:\n\\[d_2 = 42, \\quad d_1 = 42 + 14 = 56\\]\n\n**Pole rombu:**\n\\[P = \\frac{d_1 \\cdot d_2}{2} = \\frac{56 \\cdot 42}{2} = \\frac{2352}{2} = \\boxed{1176}\\]\n\n## Sposób 2 - Podstawienie połówek przekątnych\n\nZamiast operować pełnymi przekątnymi, od razu oznaczmy połówki:\n\nNiech \\(p = \\frac{d_1}{2}\\) i \\(q = \\frac{d_2}{2}\\).\n\nWarunki:\n\\[\\begin{cases} p^2 + q^2 = 35^2 = 1225 \\\\ 2p - 2q = 14 \\implies p - q = 7 \\implies p = q + 7 \\end{cases}\\]\n\nPodstawiamy \\(p = q + 7\\):\n\\[(q+7)^2 + q^2 = 1225\\]\n\\[q^2 + 14q + 49 + q^2 = 1225\\]\n\\[2q^2 + 14q - 1176 = 0\\]\n\\[q^2 + 7q - 588 = 0\\]\n\n\\[\\Delta = 49 + 4 \\cdot 588 = 49 + 2352 = 2401 = 49^2\\]\n\n\\[q = \\frac{-7 + 49}{2} = 21\\]\n\nZatem \\(p = 28\\), a pełne przekątne: \\(d_1 = 2 \\cdot 28 = 56\\), \\(d_2 = 2 \\cdot 21 = 42\\).\n\n**Weryfikacja (sprawdzenie boku):**\n\\[\\sqrt{28^2 + 21^2} = \\sqrt{784 + 441} = \\sqrt{1225} = 35 \\checkmark\\]\n\n**Pole:**\n\\[P = \\frac{56 \\cdot 42}{2} = \\boxed{1176}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)** - pole rombu:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot d_1 \\cdot d_2\\]\nUżyliśmy tego wzoru do wyznaczenia pola z obliczonych przekątnych.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nKluczowy krok - przekątne rombu są prostopadłe, więc bok rombu, połowa pierwszej przekątnej i połowa drugiej tworzą trójkąt prostokątny.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i wzór na pierwiastki:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\quad x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyliśmy do rozwiązania równania kwadratowego na długość przekątnej.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekątne rombu NIE są równe bokowi - romb to nie kwadrat! Związek między bokiem a przekątnymi pochodzi z twierdzenia Pitagorasa (bo przekątne są prostopadłe).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na pole rombu to \\(P = \\frac{d_1 \\cdot d_2}{2}\\), a nie \\(P = d_1 \\cdot d_2\\). Uczniowie często zapominają o dzieleniu przez 2.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie \\(d_1 - d_2 = 14\\) daje dwa pierwiastki - jeden ujemny (odrzucamy!) i jeden dodatni. Zawsze sprawdzaj, czy wynik ma sens w kontekście geometrycznym.\n\n**Odpowiedź: \\(P = 1176\\)**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nRomb o boku \\(a = 35\\). Przekątne \\(d_1\\) i \\(d_2\\) różnią się o 14, czyli \\(d_1 - d_2 = 14\\).\n\nW rombie przekątne dzielą się na połowy pod kątem prostym. Z twierdzenia Pitagorasa:\n\\(\\left(\\frac{d_1}{2}\\right)^2 + \\left(\\frac{d_2}{2}\\right)^2 = a^2\\)\n\n\\(\\frac{d_1^2 + d_2^2}{4} = 35^2 = 1225\\)\n\n\\(d_1^2 + d_2^2 = 4900\\)\n\nPodstawiamy \\(d_1 = d_2 + 14\\):\n\\((d_2 + 14)^2 + d_2^2 = 4900\\)\n\\(d_2^2 + 28d_2 + 196 + d_2^2 = 4900\\)\n\\(2d_2^2 + 28d_2 - 4704 = 0\\)\n\\(d_2^2 + 14d_2 - 2352 = 0\\)\n\n\\(\\Delta = 196 + 9408 = 9604\\)\n\\(\\sqrt{\\Delta} = 98\\)\n\n\\(d_2 = \\frac{-14 + 98}{2} = 42\\) (odrzucamy rozwiązanie ujemne)\n\\(d_1 = 42 + 14 = 56\\)\n\nPole rombu:\n\\(P = \\frac{d_1 \\cdot d_2}{2} = \\frac{56 \\cdot 42}{2} = 1176\\)\n\n**Sprawdzenie:** \\(28^2 + 21^2 = 784 + 441 = 1225 = 35^2\\) ✓\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Pole rombu: \\(P = \\frac{1}{2}|AC| \\cdot |BD|\\); twierdzenie Pitagorasa; wyróżnik \\(\\Delta = b^2 - 4ac\\)","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 32. (4 pkt)
Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16. Przekątna graniastosłupa
jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy 3
5 . Oblicz
pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
32.
Maks. liczba pkt
4
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: 1176

\n

Pole rombu wynosi 1176.

\n

Sposób 1 - Układ równań z twierdzeniem Pitagorasa

\n

Co wiemy o rombie: Przekątne rombu przecinają się prostopadle i nawzajem dwusieczą. Oznacza to, że przekątne dzielą romb na cztery przystające trójkąty prostokątne, w których przyprostokątnymi są połówki przekątnych, a przeciwprostokątną jest bok rombu.

\n

Niech \\(d_1\\) i \\(d_2\\) będą długościami przekątnych, gdzie \\(d_1 > d_2\\).

\n

Dane:
\\[d_1 - d_2 = 14 \\implies d_1 = d_2 + 14\\]

\n

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego z przyprostokątnymi \\(\\frac{d_1}{2}\\) i \\(\\frac{d_2}{2}\\) oraz przeciwprostokątną \\(35\\):
\\[\\left(\\frac{d_1}{2}\\right)^2 + \\left(\\frac{d_2}{2}\\right)^2 = 35^2\\]

\n

Podstawiamy \\(d_1 = d_2 + 14\\):
\\[\\left(\\frac{d_2 + 14}{2}\\right)^2 + \\left(\\frac{d_2}{2}\\right)^2 = 1225\\]

\n

Mnożymy obie strony przez \\(4\\):
\\[(d_2 + 14)^2 + d_2^2 = 4900\\]

\n

Rozwijamy:
\\[d_2^2 + 28d_2 + 196 + d_2^2 = 4900\\]
\\[2d_2^2 + 28d_2 + 196 = 4900\\]
\\[2d_2^2 + 28d_2 - 4704 = 0\\]
\\[d_2^2 + 14d_2 - 2352 = 0\\]

\n

Wyróżnik:
\\[\\Delta = 14^2 + 4 \\cdot 2352 = 196 + 9408 = 9604 = 98^2\\]

\n

Miejsca zerowe:
\\[d_2 = \\frac{-14 + 98}{2} = \\frac{84}{2} = 42\\]

\n

(Drugi pierwiastek \\(\\frac{-14 - 98}{2} < 0\\) - odrzucamy, bo długość jest dodatnia.)

\n

Zatem:
\\[d_2 = 42, \\quad d_1 = 42 + 14 = 56\\]

\n

Pole rombu:
\\[P = \\frac{d_1 \\cdot d_2}{2} = \\frac{56 \\cdot 42}{2} = \\frac{2352}{2} = \\boxed{1176}\\]

\n

Sposób 2 - Podstawienie połówek przekątnych

\n

Zamiast operować pełnymi przekątnymi, od razu oznaczmy połówki:

\n

Niech \\(p = \\frac{d_1}{2}\\) i \\(q = \\frac{d_2}{2}\\).

\n

Warunki:
\\[\\begin{cases} p^2 + q^2 = 35^2 = 1225 \\\\ 2p - 2q = 14 \\implies p - q = 7 \\implies p = q + 7 \\end{cases}\\]

\n

Podstawiamy \\(p = q + 7\\):
\\[(q+7)^2 + q^2 = 1225\\]
\\[q^2 + 14q + 49 + q^2 = 1225\\]
\\[2q^2 + 14q - 1176 = 0\\]
\\[q^2 + 7q - 588 = 0\\]

\n

\\[\\Delta = 49 + 4 \\cdot 588 = 49 + 2352 = 2401 = 49^2\\]

\n

\\[q = \\frac{-7 + 49}{2} = 21\\]

\n

Zatem \\(p = 28\\), a pełne przekątne: \\(d_1 = 2 \\cdot 28 = 56\\), \\(d_2 = 2 \\cdot 21 = 42\\).

\n

Weryfikacja (sprawdzenie boku):
\\[\\sqrt{28^2 + 21^2} = \\sqrt{784 + 441} = \\sqrt{1225} = 35 \\checkmark\\]

\n

Pole:
\\[P = \\frac{56 \\cdot 42}{2} = \\boxed{1176}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 20-21) - pole rombu:
\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot d_1 \\cdot d_2\\]
Użyliśmy tego wzoru do wyznaczenia pola z obliczonych przekątnych.

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15) - twierdzenie Pitagorasa:
\\[a^2 + b^2 = c^2\\]
Kluczowy krok - przekątne rombu są prostopadłe, więc bok rombu, połowa pierwszej przekątnej i połowa drugiej tworzą trójkąt prostokątny.

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wyróżnik i wzór na pierwiastki:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\quad x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]
Użyliśmy do rozwiązania równania kwadratowego na długość przekątnej.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Przekątne rombu NIE są równe bokowi - romb to nie kwadrat! Związek między bokiem a przekątnymi pochodzi z twierdzenia Pitagorasa (bo przekątne są prostopadłe).
\n
⚠️ Uwaga: Wzór na pole rombu to \\(P = \\frac{d_1 \\cdot d_2}{2}\\), a nie \\(P = d_1 \\cdot d_2\\). Uczniowie często zapominają o dzieleniu przez 2.
\n
⚠️ Uwaga: Równanie \\(d_1 - d_2 = 14\\) daje dwa pierwiastki - jeden ujemny (odrzucamy!) i jeden dodatni. Zawsze sprawdzaj, czy wynik ma sens w kontekście geometrycznym.
\n

Odpowiedź: \\(P = 1176\\)

\n

Rozwiązanie:

\n

Romb o boku \\(a = 35\\). Przekątne \\(d_1\\) i \\(d_2\\) różnią się o 14, czyli \\(d_1 - d_2 = 14\\).

\n

W rombie przekątne dzielą się na połowy pod kątem prostym. Z twierdzenia Pitagorasa:
\\(\\left(\\frac{d_1}{2}\\right)^2 + \\left(\\frac{d_2}{2}\\right)^2 = a^2\\)

\n

\\(\\frac{d_1^2 + d_2^2}{4} = 35^2 = 1225\\)

\n

\\(d_1^2 + d_2^2 = 4900\\)

\n

Podstawiamy \\(d_1 = d_2 + 14\\):
\\((d_2 + 14)^2 + d_2^2 = 4900\\)
\\(d_2^2 + 28d_2 + 196 + d_2^2 = 4900\\)
\\(2d_2^2 + 28d_2 - 4704 = 0\\)
\\(d_2^2 + 14d_2 - 2352 = 0\\)

\n

\\(\\Delta = 196 + 9408 = 9604\\)
\\(\\sqrt{\\Delta} = 98\\)

\n

\\(d_2 = \\frac{-14 + 98}{2} = 42\\) (odrzucamy rozwiązanie ujemne)
\\(d_1 = 42 + 14 = 56\\)

\n

Pole rombu:
\\(P = \\frac{d_1 \\cdot d_2}{2} = \\frac{56 \\cdot 42}{2} = 1176\\)

\n

Sprawdzenie: \\(28^2 + 21^2 = 784 + 441 = 1225 = 35^2\\) ✓

\n

Użyte wzory z karty CKE: Pole rombu: \\(P = \\frac{1}{2}|AC| \\cdot |BD|\\); twierdzenie Pitagorasa; wyróżnik \\(\\Delta = b^2 - 4ac\\)

"}]}