{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (4 pkt)\nWśród 115 osób przeprowadzono badania ankietowe, związane z zakupami w pewnym\nkiosku. W poniższej tabeli przedstawiono informacje o tym, ile osób kupiło bilety\ntramwajowe ulgowe oraz ile osób kupiło bilety tramwajowe normalne.\nRodzaj kupionych\nbiletów\nLiczba osób\nulgowe\n76\nnormalne\n41\nUwaga! 27 osób spośród ankietowanych kupiło oba rodzaje biletów.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że osoba losowo wybrana\nspośród ankietowanych nie kupiła żadnego biletu. Wynik przedstaw w formie nieskracalnego\nułamka.\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n33.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A - objętość wynosi \\(\\frac{1}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Przekątna przestrzenna i wzór Pitagorasa\n\n**Oznaczenia.** Niech \\(AB = a\\), \\(BC = b\\), wysokość prostopadłościanu \\(= 1\\).\n\nW standardowym oznakowaniu \\(ABCDEFGH\\):\n- \\(ABCD\\) - podstawa dolna, \\(EFGH\\) - podstawa górna\n- \\(A, B, C, D\\) są połączone z \\(E, F, G, H\\) pionowymi krawędziami\n\nPrzekątna \\(BH\\) łączy wierzchołek \\(B\\) podstawy dolnej z wierzchołkiem \\(H\\) - niepołączonym z \\(B\\) żadną krawędzią.\n\n**Krok 1: Wyznaczenie długości \\(|BH|\\).**\n\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa w przestrzeni:\n\\[|BH|^2 = AB^2 + BC^2 + BF^2 = a^2 + b^2 + 1\\]\n\\[|BH| = \\sqrt{a^2 + b^2 + 1}\\]\n\n**Krok 2: Zastosowanie warunku z treści zadania.**\n\nWarunek: \\(|BH| = AB + BC\\), czyli:\n\\[\\sqrt{a^2 + b^2 + 1} = a + b\\]\n\n**Krok 3: Podniesienie do kwadratu obu stron.**\n\n\\[a^2 + b^2 + 1 = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\]\n\nOdejmujemy \\(a^2 + b^2\\) od obu stron:\n\\[1 = 2ab\\]\n\\[\\boxed{ab = \\frac{1}{2}}\\]\n\n**Krok 4: Obliczenie objętości.**\n\n\\[V = AB \\cdot BC \\cdot h = a \\cdot b \\cdot 1 = ab = \\frac{1}{2}\\]\n\n## Sposób 2 - Podstawienie \\(s = a + b\\) i weryfikacja istnienia\n\nWprowadźmy \\(s = a + b\\). Z warunku:\n\n\\[\\sqrt{a^2 + b^2 + 1} = s \\implies a^2 + b^2 = s^2 - 1\\]\n\nKorzystamy z tożsamości \\((a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab\\):\n\n\\[s^2 = (s^2 - 1) + 2ab \\implies 2ab = 1 \\implies ab = \\frac{1}{2}\\]\n\n**Weryfikacja: czy takie \\(a, b > 0\\) istnieją?**\n\nWeźmy np. \\(a = b\\). Wtedy:\n\n\\[ab = a^2 = \\frac{1}{2} \\implies a = b = \\frac{1}{\\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\]\n\nSprawdzenie warunku:\n\\[|BH| = \\sqrt{\\frac{1}{2} + \\frac{1}{2} + 1} = \\sqrt{2}\\]\n\\[a + b = \\frac{\\sqrt{2}}{2} + \\frac{\\sqrt{2}}{2} = \\sqrt{2} \\checkmark\\]\n\nObjętość:\n\\[V = a \\cdot b \\cdot 1 = \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\cdot \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\cdot 1 = \\frac{2}{4} = \\frac{1}{2}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - objętość graniastosłupa prostego:\n\\[V = P_p \\cdot h\\]\ngdzie \\(P_p = a \\cdot b\\) to pole podstawy (prostokąt), \\(h = 1\\) to wysokość.\n\n**Dział 10 (Planimetria / Twierdzenie Pitagorasa, s. 15)** - użyte dwukrotnie:\n\\[c^2 = a^2 + b^2\\]\nNajpierw w płaszczyźnie podstawy (przekątna podstawy \\(d = \\sqrt{a^2 + b^2}\\)), potem w pionie (przestrzenna przekątna \\(|BH| = \\sqrt{d^2 + h^2} = \\sqrt{a^2 + b^2 + 1}\\)).\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**:\n\\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\]\nKluczowe przy podnoszeniu do kwadratu i „wyciąganiu\" iloczynu \\(ab\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\nBez podanych literalnie opcji - oto najczęstsze błędy prowadzące do złych wyników:\n\n| Błąd rachunkowy | Fałszywy wynik |\n| Pominięcie wysokości: \\(\\|BH\\| = \\sqrt{a^2 + b^2}\\) (tylko przekątna podstawy) | \\(ab = 0\\) - brak sensu |\n| Nierozwinięcie \\((a+b)^2\\): zatrzymanie na \\(a^2 + b^2 + 1 = a^2 + b^2\\) | sprzeczność |\n| Założenie \\(a = b = 1\\) bez sprawdzenia warunku | \\(V = 1\\) |\n| Pomylenie przekątnej ściany z przekątną przestrzenną | błędne \\(\\|BH\\|\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekątna przestrzenna \\(BH\\) to **nie** przekątna ściany bocznej! Wzór to \\(\\sqrt{a^2 + b^2 + h^2}\\), nie \\(\\sqrt{a^2 + h^2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po podniesieniu do kwadratu \\(\\sqrt{\\ldots} = a+b\\) pamiętaj, że wymagamy \\(a+b > 0\\) - tu spełnione, bo długości są dodatnie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie nie pyta o konkretne \\(a\\) i \\(b\\) - pyta o objętość. Wystarczy wyznaczyć \\(ab\\), a \\(V = ab \\cdot 1 = ab\\). Nie trzeba rozwiązywać układu równań na \\(a\\) i \\(b\\) z osobna!\n\n**Odpowiedź: \\(V = \\frac{1}{2}\\)**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nProstopadłościan \\(ABCDEFGH\\) o wymiarach \\(AB = a\\), \\(BC = b\\), wysokość \\(= 1\\).\n\nDługość przekątnej prostopadłościanu:\n\\(BH = \\sqrt{a^2 + b^2 + 1}\\)\n\nZ warunku: \\(BH = AB + BC = a + b\\).\n\nPodnosimy do kwadratu:\n\\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 1\\)\n\\(a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + b^2 + 1\\)\n\\(2ab = 1\\)\n\\(ab = \\frac{1}{2}\\)\n\nObjętość:\n\\(V = a \\cdot b \\cdot h = ab \\cdot 1 = \\frac{1}{2}\\)\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Prostopadłościan: \\(V = abc\\); przekątna prostopadłościanu z twierdzenia Pitagorasa; wzór skróconego mnożenia \\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\)","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":20,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 33. (4 pkt)
Wśród 115 osób przeprowadzono badania ankietowe, związane z zakupami w pewnym
kiosku. W poniższej tabeli przedstawiono informacje o tym, ile osób kupiło bilety
tramwajowe ulgowe oraz ile osób kupiło bilety tramwajowe normalne.
Rodzaj kupionych
biletów
Liczba osób
ulgowe
76
normalne
41
Uwaga! 27 osób spośród ankietowanych kupiło oba rodzaje biletów.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że osoba losowo wybrana
spośród ankietowanych nie kupiła żadnego biletu. Wynik przedstaw w formie nieskracalnego
ułamka.

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
33.
Maks. liczba pkt
4
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A - objętość wynosi \\(\\frac{1}{2}\\)

\n

Sposób 1 - Przekątna przestrzenna i wzór Pitagorasa

\n

Oznaczenia. Niech \\(AB = a\\), \\(BC = b\\), wysokość prostopadłościanu \\(= 1\\).

\n

W standardowym oznakowaniu \\(ABCDEFGH\\):

\n\n

Przekątna \\(BH\\) łączy wierzchołek \\(B\\) podstawy dolnej z wierzchołkiem \\(H\\) - niepołączonym z \\(B\\) żadną krawędzią.

\n

Krok 1: Wyznaczenie długości \\(|BH|\\).

\n

Stosujemy twierdzenie Pitagorasa w przestrzeni:
\\[|BH|^2 = AB^2 + BC^2 + BF^2 = a^2 + b^2 + 1\\]
\\[|BH| = \\sqrt{a^2 + b^2 + 1}\\]

\n

Krok 2: Zastosowanie warunku z treści zadania.

\n

Warunek: \\(|BH| = AB + BC\\), czyli:
\\[\\sqrt{a^2 + b^2 + 1} = a + b\\]

\n

Krok 3: Podniesienie do kwadratu obu stron.

\n

\\[a^2 + b^2 + 1 = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\]

\n

Odejmujemy \\(a^2 + b^2\\) od obu stron:
\\[1 = 2ab\\]
\\[\\boxed{ab = \\frac{1}{2}}\\]

\n

Krok 4: Obliczenie objętości.

\n

\\[V = AB \\cdot BC \\cdot h = a \\cdot b \\cdot 1 = ab = \\frac{1}{2}\\]

\n

Sposób 2 - Podstawienie \\(s = a + b\\) i weryfikacja istnienia

\n

Wprowadźmy \\(s = a + b\\). Z warunku:

\n

\\[\\sqrt{a^2 + b^2 + 1} = s \\implies a^2 + b^2 = s^2 - 1\\]

\n

Korzystamy z tożsamości \\((a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab\\):

\n

\\[s^2 = (s^2 - 1) + 2ab \\implies 2ab = 1 \\implies ab = \\frac{1}{2}\\]

\n

Weryfikacja: czy takie \\(a, b > 0\\) istnieją?

\n

Weźmy np. \\(a = b\\). Wtedy:

\n

\\[ab = a^2 = \\frac{1}{2} \\implies a = b = \\frac{1}{\\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\]

\n

Sprawdzenie warunku:
\\[|BH| = \\sqrt{\\frac{1}{2} + \\frac{1}{2} + 1} = \\sqrt{2}\\]
\\[a + b = \\frac{\\sqrt{2}}{2} + \\frac{\\sqrt{2}}{2} = \\sqrt{2} \\checkmark\\]

\n

Objętość:
\\[V = a \\cdot b \\cdot 1 = \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\cdot \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\cdot 1 = \\frac{2}{4} = \\frac{1}{2}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 12 (Stereometria, s. 26-28) - objętość graniastosłupa prostego:
\\[V = P_p \\cdot h\\]
gdzie \\(P_p = a \\cdot b\\) to pole podstawy (prostokąt), \\(h = 1\\) to wysokość.

\n

Dział 10 (Planimetria / Twierdzenie Pitagorasa, s. 15) - użyte dwukrotnie:
\\[c^2 = a^2 + b^2\\]
Najpierw w płaszczyźnie podstawy (przekątna podstawy \\(d = \\sqrt{a^2 + b^2}\\)), potem w pionie (przestrzenna przekątna \\(|BH| = \\sqrt{d^2 + h^2} = \\sqrt{a^2 + b^2 + 1}\\)).

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):
\\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\]
Kluczowe przy podnoszeniu do kwadratu i „wyciąganiu" iloczynu \\(ab\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

Bez podanych literalnie opcji - oto najczęstsze błędy prowadzące do złych wyników:

\n

| Błąd rachunkowy | Fałszywy wynik |
| Pominięcie wysokości: \\(\\|BH\\| = \\sqrt{a^2 + b^2}\\) (tylko przekątna podstawy) | \\(ab = 0\\) - brak sensu |
| Nierozwinięcie \\((a+b)^2\\): zatrzymanie na \\(a^2 + b^2 + 1 = a^2 + b^2\\) | sprzeczność |
| Założenie \\(a = b = 1\\) bez sprawdzenia warunku | \\(V = 1\\) |
| Pomylenie przekątnej ściany z przekątną przestrzenną | błędne \\(\\|BH\\|\\) |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Przekątna przestrzenna \\(BH\\) to nie przekątna ściany bocznej! Wzór to \\(\\sqrt{a^2 + b^2 + h^2}\\), nie \\(\\sqrt{a^2 + h^2}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Po podniesieniu do kwadratu \\(\\sqrt{\\ldots} = a+b\\) pamiętaj, że wymagamy \\(a+b > 0\\) - tu spełnione, bo długości są dodatnie.
\n
⚠️ Uwaga: Zadanie nie pyta o konkretne \\(a\\) i \\(b\\) - pyta o objętość. Wystarczy wyznaczyć \\(ab\\), a \\(V = ab \\cdot 1 = ab\\). Nie trzeba rozwiązywać układu równań na \\(a\\) i \\(b\\) z osobna!
\n

Odpowiedź: \\(V = \\frac{1}{2}\\)

\n

Rozwiązanie:

\n

Prostopadłościan \\(ABCDEFGH\\) o wymiarach \\(AB = a\\), \\(BC = b\\), wysokość \\(= 1\\).

\n

Długość przekątnej prostopadłościanu:
\\(BH = \\sqrt{a^2 + b^2 + 1}\\)

\n

Z warunku: \\(BH = AB + BC = a + b\\).

\n

Podnosimy do kwadratu:
\\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 1\\)
\\(a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + b^2 + 1\\)
\\(2ab = 1\\)
\\(ab = \\frac{1}{2}\\)

\n

Objętość:
\\(V = a \\cdot b \\cdot h = ab \\cdot 1 = \\frac{1}{2}\\)

\n

Użyte wzory z karty CKE: Prostopadłościan: \\(V = abc\\); przekątna prostopadłościanu z twierdzenia Pitagorasa; wzór skróconego mnożenia \\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\)

"}]}