{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"34","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (5 pkt)\nBiegacz narciarski Borys wyruszył na trasę biegu o 10 minut później niż inny zawodnik,\nAdam. Metę zawodów, po przebyciu 15-kilometrowej trasy biegu, obaj zawodnicy pokonali\nrównocześnie. Okazało się, że wartość średniej prędkości na całej trasie w przypadku Borysa\nbyła o 4,5 km\nh większa niż w przypadku Adama. Oblicz, w jakim czasie Adam pokonał całą\ntrasę biegu.\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n34.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\nOstatnia rata wynosi **65 zł**, a liczba wszystkich rat to **72**.\n\n## Sposób 1 - Układ równań (wzory na ciąg arytmetyczny)\n\n**Rozpoznajemy ciąg arytmetyczny:**\n- Pierwszy wyraz: \\(a_1 = 775\\)\n- Różnica: \\(r = -10\\) (każda rata jest o 10 zł mniejsza)\n- Suma wszystkich rat: \\(S_n = 30\\,240\\)\n\n**Krok 1 - wyrażamy ostatni wyraz przez \\(n\\):**\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r = 775 + (n-1) \\cdot (-10) = 775 - 10(n-1) = 785 - 10n\\]\n\n**Krok 2 - korzystamy ze wzoru na sumę:**\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n = 30\\,240\\]\n\nPodstawiamy \\(a_n = 785 - 10n\\):\n\\[\\frac{775 + (785 - 10n)}{2} \\cdot n = 30\\,240\\]\n\\[\\frac{1560 - 10n}{2} \\cdot n = 30\\,240\\]\n\\[(780 - 5n) \\cdot n = 30\\,240\\]\n\n**Krok 3 - rozwiązujemy równanie kwadratowe:**\n\\[780n - 5n^2 = 30\\,240\\]\n\\[5n^2 - 780n + 30\\,240 = 0 \\quad |: 5\\]\n\\[n^2 - 156n + 6\\,048 = 0\\]\n\nWyróżnik:\n\\[\\Delta = 156^2 - 4 \\cdot 6\\,048 = 24\\,336 - 24\\,192 = 144\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta} = 12\\]\n\nPierwiastki:\n\\[n_1 = \\frac{156 - 12}{2} = \\frac{144}{2} = 72\\]\n\\[n_2 = \\frac{156 + 12}{2} = \\frac{168}{2} = 84\\]\n\n**Krok 4 - sprawdzamy, które rozwiązanie ma sens:**\n\nDla \\(n = 84\\):\n\\[a_{84} = 785 - 10 \\cdot 84 = 785 - 840 = -55 \\text{ zł}\\]\nRata ujemna - **brak sensu ekonomicznego**, odrzucamy.\n\nDla \\(n = 72\\):\n\\[a_{72} = 785 - 10 \\cdot 72 = 785 - 720 = \\mathbf{65 \\text{ zł}}\\]\nRata dodatnia - **rozwiązanie przyjmujemy**.\n\n**Wynik: liczba rat \\(n = 72\\), ostatnia rata \\(a_{72} = 65\\) zł.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy wyniki są poprawne.\n\n**Sprawdzenie sumy:**\n\\[S_{72} = \\frac{a_1 + a_{72}}{2} \\cdot n = \\frac{775 + 65}{2} \\cdot 72 = \\frac{840}{2} \\cdot 72 = 420 \\cdot 72 = 30\\,240 \\text{ zł} \\checkmark\\]\n\n**Sprawdzenie wzoru na wyraz ogólny:**\n\nCzy rata 72. wynosi 65 zł?\n\\[a_{72} = 775 + (72-1) \\cdot (-10) = 775 + 71 \\cdot (-10) = 775 - 710 = 65 \\text{ zł} \\checkmark\\]\n\n**Sprawdzenie, że wszystkie raty są dodatnie:**\n\nOstatnia rata \\(a_{72} = 65 > 0\\) - warunek spełniony, żadna rata nie jest ujemna ani zerowa. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy go do wyrażenia ostatniej raty przez \\(n\\).\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\nUżyliśmy go do zapisania równania z warunkiem \\(S_n = 30\\,240\\).\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)** - wzór na pierwiastki trójmianu:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad n_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyliśmy go przy rozwiązywaniu równania kwadratowego \\(n^2 - 156n + 6\\,048 = 0\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie kwadratowe daje **dwa rozwiązania** (\\(n = 72\\) i \\(n = 84\\)). Zawsze sprawdź, czy ostatnia rata jest dodatnia - rata ujemna nie ma sensu fizycznego i trzeba to rozwiązanie odrzucić.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Różnica \\(r = -10\\), nie \\(r = 10\\)! Raty **maleją**, więc różnica jest ujemna. Mylenie znaku to najczęstszy błąd w tym zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** We wzorze na sumę \\(S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\) mnożymy przez \\(n\\), nie przez \\(\\frac{n}{2}\\). Błąd zapisu prowadzi do nieprawidłowego równania kwadratowego.\n\n**Odpowiedź: Ostatnia rata wynosi 65 zł, liczba rat wynosi 72.**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nRaty tworzą ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie \\(a_1 = 775\\) zł i różnicy \\(r = -10\\) zł.\n\nWyraz \\(n\\)-ty (ostatnia rata):\n\\(a_n = 775 + (n - 1) \\cdot (-10) = 775 - 10(n - 1)\\)\n\nSuma \\(n\\) rat:\n\\(S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n = \\frac{775 + (775 - 10(n-1))}{2} \\cdot n = \\frac{1550 - 10(n-1)}{2} \\cdot n\\)\n\n\\(S_n = n \\cdot (780 - 5n)\\)\n\nPrzyrównujemy do 30 240:\n\\(n(780 - 5n) = 30\\,240\\)\n\\(780n - 5n^2 = 30\\,240\\)\n\\(5n^2 - 780n + 30\\,240 = 0\\)\n\\(n^2 - 156n + 6048 = 0\\)\n\n\\(\\Delta = 156^2 - 4 \\cdot 6048 = 24\\,336 - 24\\,192 = 144\\)\n\\(\\sqrt{\\Delta} = 12\\)\n\n\\(n = \\frac{156 \\pm 12}{2}\\)\n\\(n_1 = \\frac{168}{2} = 84\\) lub \\(n_2 = \\frac{144}{2} = 72\\)\n\nSprawdzamy, czy rata jest dodatnia:\n- \\(n = 84\\): \\(a_{84} = 775 - 10 \\cdot 83 = 775 - 830 = -55\\) zł ← **ujemna, odrzucamy**\n- \\(n = 72\\): \\(a_{72} = 775 - 10 \\cdot 71 = 775 - 710 = 65\\) zł ← **dodatnia** ✓\n\n**Sprawdzenie:** \\(S_{72} = \\frac{775 + 65}{2} \\cdot 72 = 420 \\cdot 72 = 30\\,240\\) zł ✓\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Ciąg arytmetyczny: \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\), \\(S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\); wyróżnik równania kwadratowego \\(\\Delta = b^2 - 4ac\\)","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":22,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 34. (5 pkt)
Biegacz narciarski Borys wyruszył na trasę biegu o 10 minut później niż inny zawodnik,
Adam. Metę zawodów, po przebyciu 15-kilometrowej trasy biegu, obaj zawodnicy pokonali
równocześnie. Okazało się, że wartość średniej prędkości na całej trasie w przypadku Borysa
była o 4,5 km
h większa niż w przypadku Adama. Oblicz, w jakim czasie Adam pokonał całą
trasę biegu.

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
34.
Maks. liczba pkt
5
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

Ostatnia rata wynosi 65 zł, a liczba wszystkich rat to 72.

\n

Sposób 1 - Układ równań (wzory na ciąg arytmetyczny)

\n

Rozpoznajemy ciąg arytmetyczny:

\n\n

Krok 1 - wyrażamy ostatni wyraz przez \\(n\\):
\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r = 775 + (n-1) \\cdot (-10) = 775 - 10(n-1) = 785 - 10n\\]

\n

Krok 2 - korzystamy ze wzoru na sumę:
\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n = 30\\,240\\]

\n

Podstawiamy \\(a_n = 785 - 10n\\):
\\[\\frac{775 + (785 - 10n)}{2} \\cdot n = 30\\,240\\]
\\[\\frac{1560 - 10n}{2} \\cdot n = 30\\,240\\]
\\[(780 - 5n) \\cdot n = 30\\,240\\]

\n

Krok 3 - rozwiązujemy równanie kwadratowe:
\\[780n - 5n^2 = 30\\,240\\]
\\[5n^2 - 780n + 30\\,240 = 0 \\quad |: 5\\]
\\[n^2 - 156n + 6\\,048 = 0\\]

\n

Wyróżnik:
\\[\\Delta = 156^2 - 4 \\cdot 6\\,048 = 24\\,336 - 24\\,192 = 144\\]
\\[\\sqrt{\\Delta} = 12\\]

\n

Pierwiastki:
\\[n_1 = \\frac{156 - 12}{2} = \\frac{144}{2} = 72\\]
\\[n_2 = \\frac{156 + 12}{2} = \\frac{168}{2} = 84\\]

\n

Krok 4 - sprawdzamy, które rozwiązanie ma sens:

\n

Dla \\(n = 84\\):
\\[a_{84} = 785 - 10 \\cdot 84 = 785 - 840 = -55 \\text{ zł}\\]
Rata ujemna - brak sensu ekonomicznego, odrzucamy.

\n

Dla \\(n = 72\\):
\\[a_{72} = 785 - 10 \\cdot 72 = 785 - 720 = \\mathbf{65 \\text{ zł}}\\]
Rata dodatnia - rozwiązanie przyjmujemy.

\n

Wynik: liczba rat \\(n = 72\\), ostatnia rata \\(a_{72} = 65\\) zł.

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie

\n

Sprawdzamy, czy wyniki są poprawne.

\n

Sprawdzenie sumy:
\\[S_{72} = \\frac{a_1 + a_{72}}{2} \\cdot n = \\frac{775 + 65}{2} \\cdot 72 = \\frac{840}{2} \\cdot 72 = 420 \\cdot 72 = 30\\,240 \\text{ zł} \\checkmark\\]

\n

Sprawdzenie wzoru na wyraz ogólny:

\n

Czy rata 72. wynosi 65 zł?
\\[a_{72} = 775 + (72-1) \\cdot (-10) = 775 + 71 \\cdot (-10) = 775 - 710 = 65 \\text{ zł} \\checkmark\\]

\n

Sprawdzenie, że wszystkie raty są dodatnie:

\n

Ostatnia rata \\(a_{72} = 65 > 0\\) - warunek spełniony, żadna rata nie jest ujemna ani zerowa. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]
Użyliśmy go do wyrażenia ostatniej raty przez \\(n\\).

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:
\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]
Użyliśmy go do zapisania równania z warunkiem \\(S_n = 30\\,240\\).

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8) - wzór na pierwiastki trójmianu:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad n_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]
Użyliśmy go przy rozwiązywaniu równania kwadratowego \\(n^2 - 156n + 6\\,048 = 0\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Równanie kwadratowe daje dwa rozwiązania (\\(n = 72\\) i \\(n = 84\\)). Zawsze sprawdź, czy ostatnia rata jest dodatnia - rata ujemna nie ma sensu fizycznego i trzeba to rozwiązanie odrzucić.
\n
⚠️ Uwaga: Różnica \\(r = -10\\), nie \\(r = 10\\)! Raty maleją, więc różnica jest ujemna. Mylenie znaku to najczęstszy błąd w tym zadaniu.
\n
⚠️ Uwaga: We wzorze na sumę \\(S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\) mnożymy przez \\(n\\), nie przez \\(\\frac{n}{2}\\). Błąd zapisu prowadzi do nieprawidłowego równania kwadratowego.
\n

Odpowiedź: Ostatnia rata wynosi 65 zł, liczba rat wynosi 72.

\n

Rozwiązanie:

\n

Raty tworzą ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie \\(a_1 = 775\\) zł i różnicy \\(r = -10\\) zł.

\n

Wyraz \\(n\\)-ty (ostatnia rata):
\\(a_n = 775 + (n - 1) \\cdot (-10) = 775 - 10(n - 1)\\)

\n

Suma \\(n\\) rat:
\\(S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n = \\frac{775 + (775 - 10(n-1))}{2} \\cdot n = \\frac{1550 - 10(n-1)}{2} \\cdot n\\)

\n

\\(S_n = n \\cdot (780 - 5n)\\)

\n

Przyrównujemy do 30 240:
\\(n(780 - 5n) = 30\\,240\\)
\\(780n - 5n^2 = 30\\,240\\)
\\(5n^2 - 780n + 30\\,240 = 0\\)
\\(n^2 - 156n + 6048 = 0\\)

\n

\\(\\Delta = 156^2 - 4 \\cdot 6048 = 24\\,336 - 24\\,192 = 144\\)
\\(\\sqrt{\\Delta} = 12\\)

\n

\\(n = \\frac{156 \\pm 12}{2}\\)
\\(n_1 = \\frac{168}{2} = 84\\) lub \\(n_2 = \\frac{144}{2} = 72\\)

\n

Sprawdzamy, czy rata jest dodatnia:

\n\n

Sprawdzenie: \\(S_{72} = \\frac{775 + 65}{2} \\cdot 72 = 420 \\cdot 72 = 30\\,240\\) zł ✓

\n

Użyte wzory z karty CKE: Ciąg arytmetyczny: \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\), \\(S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\); wyróżnik równania kwadratowego \\(\\Delta = b^2 - 4ac\\)

"}]}