{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (1 pkt)\nLiczba\n5\n5\n2log 10\nlog 4\njest równa\nA. 2\nB.\n5\nlog 96\nC.\n5\n2log 6\nD. 5","answer":"A","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający zna definicję\nlogarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na\nlogarytm iloczynu, logarytm ilorazu\ni logarytm potęgi o wykładniku naturalnym\n(1.h).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(m = 4\\)\n\n## Sposób 1 - Mnożenie krzyżowe (proporcja)\n\nMamy równość:\n\\[\\frac{m}{5-\\sqrt{5}} = \\frac{5+\\sqrt{5}}{5}\\]\n\n**Mnożymy krzyżowo** (iloczyny \"na krzyż\" są sobie równe):\n\\[5m = (5+\\sqrt{5})(5-\\sqrt{5})\\]\n\nPrawa strona to **różnica kwadratów** - wzór \\((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\\):\n\\[(5+\\sqrt{5})(5-\\sqrt{5}) = 5^2 - (\\sqrt{5})^2 = 25 - 5 = 20\\]\n\nMamy więc:\n\\[5m = 20\\]\n\\[\\boxed{m = 4}\\]\n\n## Sposób 2 - Wymnożenie licznika i mianownika (racjonalizacja)\n\nZaczynamy od lewej strony - **rationalizujemy mianownik**, mnożąc przez sprzężenie \\(\\dfrac{5+\\sqrt{5}}{5+\\sqrt{5}}\\):\n\n\\[\\frac{m}{5-\\sqrt{5}} \\cdot \\frac{5+\\sqrt{5}}{5+\\sqrt{5}} = \\frac{m(5+\\sqrt{5})}{(5-\\sqrt{5})(5+\\sqrt{5})} = \\frac{m(5+\\sqrt{5})}{25 - 5} = \\frac{m(5+\\sqrt{5})}{20}\\]\n\nPrawa strona to \\(\\dfrac{5+\\sqrt{5}}{5}\\).\n\nPrzyrównujemy:\n\\[\\frac{m(5+\\sqrt{5})}{20} = \\frac{5+\\sqrt{5}}{5}\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\((5+\\sqrt{5})\\) - wyrażenie to jest niezerowe, więc działanie jest dozwolone:\n\\[\\frac{m}{20} = \\frac{1}{5}\\]\n\\[m = \\frac{20}{5} = \\boxed{4}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):**\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nUżyliśmy go w obu sposobach do obliczenia \\((5+\\sqrt{5})(5-\\sqrt{5}) = 25 - 5 = 20\\). To klasyczne zastosowanie różnicy kwadratów przy wyrażeniach z pierwiastkami.\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5):**\n\\[(\\sqrt{a})^2 = a \\quad \\text{dla } a \\geq 0\\]\nUżyliśmy przy \\((\\sqrt{5})^2 = 5\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **A** \\(m = 5\\) | Uczeń \"odczytuje\" \\(m\\) jako liczbę stojącą w liczniku prawej strony, czyli \\(5+\\sqrt{5} \\approx 5\\), i zaokrągla do \\(5\\) - ignoruje całe obliczenie |\n| **C** \\(m = 1\\) | Uczeń błędnie liczy \\((5+\\sqrt{5})(5-\\sqrt{5}) = 5\\) (zapomina podnieść do kwadratu - liczy \\(5-\\sqrt{5}\\) zamiast \\((\\sqrt{5})^2\\)) i dostaje \\(5m = 5\\), więc \\(m=1\\) |\n| **D** \\(m = -5\\) | Błąd znaku: uczeń liczy \\(25 - \\sqrt{25} = 25 - 5\\) ale z minusem na zewnątrz, lub myli sprzężenie z \\((5 - \\sqrt{5})^2\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\((\\sqrt{5})^2 = 5\\), a NIE \\(\\sqrt{5}\\). Bardzo częsty błąd to obliczenie \\((5+\\sqrt{5})(5-\\sqrt{5}) = 5^2 - \\sqrt{5} = 25 - \\sqrt{5}\\) zamiast \\(25 - 5 = 20\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Różnica kwadratów działa tutaj wprost - \\((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\\) z \\(a=5\\), \\(b=\\sqrt{5}\\). Nie musisz nic wymnażać \"na piechotę\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W zadaniach z proporcją \\(\\dfrac{A}{B} = \\dfrac{C}{D}\\) zawsze sprawdź, czy mianowniki są niezerowe - tutaj \\(5 - \\sqrt{5} \\approx 5 - 2{,}24 \\neq 0\\), więc wszystko gra.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wyznaczenie \\(m\\) przez mnożenie na krzyż\nZ równania:\n\\[\\tfrac{m}{5-\\sqrt{5}} = \\tfrac{5+\\sqrt{5}}{5}\\]\n\\[5m = (5-\\sqrt{5})(5+\\sqrt{5}).\\]\nStosujemy wzór skróconego mnożenia \\((a-b)(a+b) = a^2-b^2\\):\n\\[5m = 25 - 5 = 20\\]\n\\[m = 4.\\]\n\n### Sposób 2 - Usuwanie niewymierności z mianownika lewej strony\nMnożymy licznik i mianownik lewej strony przez \\(5+\\sqrt{5}\\):\n\\[\\tfrac{m}{5-\\sqrt{5}}\\cdot\\tfrac{5+\\sqrt{5}}{5+\\sqrt{5}} = \\tfrac{m(5+\\sqrt{5})}{25-5} = \\tfrac{m(5+\\sqrt{5})}{20}.\\]\nPorównujemy z prawą stroną:\n\\[\\tfrac{m(5+\\sqrt{5})}{20} = \\tfrac{5+\\sqrt{5}}{5}.\\]\nSkracamy \\((5+\\sqrt{5})\\) (różne od 0):\n\\[\\tfrac{m}{20} = \\tfrac{1}{5} \\Rightarrow m = 4.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(m=5\\)** - ktoś pomnożył licznik \\(\\cdot\\) licznik, zapomniał o mianowniku.\n- **C. \\(m=1\\)** - ktoś zostawił ułamek \\(\\tfrac{1}{5}\\) jako wynik.\n- **D. \\(m=-5\\)** - ktoś użył wzoru \\((a-b)^2\\) zamiast \\((a-b)(a+b)\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Użycie wzoru na sumę ciągu arytmetycznego\n\nRozważmy ciąg arytmetyczny: 5 + 5R = zachodzi dla 5 - 5R.\nOznacza to, że 5 + 5R = 5 - 5R.\nPrzenosimy wyrazy z lewej strony na prawą:\n5R + 5R = 5 - 5\n10R = 0\nR = 0\n\nZatem m = 4.\n\n📖 Karta wzorów: s.9: Ciągi: arytm. aₙ=a₁+(n-1)r, Sₙ=n(a₁+aₙ)/2; strona 9\n\n### Sposób 2: Rozwiązanie równania algebraicznego\n\nRówność m 5 + 5 R = zachodzi dla 5 - 5 R można interpretować jako równość, gdzie m jest pewną liczbą, a 5 i R są elementami ciągu. Zauważmy, że 5 - 5R jest elementem tego samego ciągu, co 5 + 5R. Możemy to zapisać jako:\n\nm * (5) + 5R = 5 - 5R\n\nPrzenosimy wyrazy z R na jedną stronę, a wyrazy stałe na drugą:\n\nm * 5 + 5R + 5R = 5\nm * 5 + 10R = 5\n\nTeraz możemy wyznaczyć R:\n\n10R = 5 - m * 5\nR = (5 - 5m) / 10\n\nPonieważ R jest elementem ciągu, to musi być liczbą. Zatem (5 - 5m) / 10 musi być liczbą. Aby to się stało, 5 - 5m musi być podzielne przez 10. Możemy to zapisać jako:\n\n5 - 5m = 10k (gdzie k jest jakąś liczbą całkowitą)\n\n5(1 - m) = 10k\n1 - m = 2k\nm = 1 - 2k\n\nAby znaleźć wartość m, możemy ustawić k = 0, wtedy m = 1. Sprawdźmy to:\n\n5 + 5(0) = 5\n5 - 5(0) = 5\n\nZatem równość zachodzi, gdy m = 1. Jednak, jeśli m=1, to R=0. Zatem:\n\n5 + 5(0) = 5\n5 - 5(0) = 5\n\nZatem m=1 jest rozwiązaniem. Jednak, jeśli m=4, to R=0. Zatem:\n\n5 + 5(0) = 5\n5 - 5(0) = 5\n\nZatem m=4 jest rozwiązaniem.\n\n📖 Karta wzorów: s.7: Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², strona 7\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\(m = 5\\)**: Jeśli m = 5, to równanie staje się 5 * 5 + 5R = 5 - 5R, czyli 25 + 5R = 5 - 5R. Przenosząc wyrazy z R na jedną stronę, otrzymujemy 10R = -20, czyli R = -2. Wtedy ciąg to 5, 5*(-2) = -10, -10, -10, -10, itd. Równość 5 + 5R = 5 - 5R nie zachodzi, ponieważ 5 + 5*(-2) ≠ 5 - 5*(-2).\n* **C. \\(m = 1\\)**: Jeśli m = 1, to równanie staje się 1 * 5 + 5R = 5 - 5R, czyli 5 + 5R = 5 - 5R. Przenosząc wyrazy z R na jedną stronę, otrzymujemy 10R = 0, czyli R = 0. Wtedy ciąg to 5, 5*0 = 0, 0, 0, itd. Równość 5 + 5R = 5 - 5R zachodzi, ponieważ 5 + 5*0 = 5 i 5 - 5*0 = 5.\n* **D. \\(m = -5\\)**: Jeśli m = -5, to równanie staje się -5 * 5 + 5R = 5 - 5R, czyli -25 + 5R = 5 - 5R. Przenosząc wyrazy z R na jedną stronę, otrzymujemy 10R = 30, czyli R = 3. Wtedy ciąg to 5, 5*3 = 15, 15, 15, itd. Równość 5 + 5R = 5 - 5R nie zachodzi, ponieważ 5 + 5*3 ≠ 5 - 5*3.","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 4. (1 pkt)<br>Liczba<br>5<br>5<br>2log 10<br>log 4<br>jest równa<br>A. 2<br>B.<br>5<br>log 96<br>C.<br>5<br>2log 6<br>D. 5</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 4. (0-1)<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Liczby rzeczywiste. Zdający zna definicję</li></ol>\n<p>logarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na<br>logarytm iloczynu, logarytm ilorazu<br>i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym<br>(1.h).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>A<br>C</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(m = 4\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Mnożenie krzyżowe (proporcja)</h4>\n<p>Mamy równość:<br>\\[\\frac{m}{5-\\sqrt{5}} = \\frac{5+\\sqrt{5}}{5}\\]</p>\n<p><strong>Mnożymy krzyżowo</strong> (iloczyny &quot;na krzyż&quot; są sobie równe):<br>\\[5m = (5+\\sqrt{5})(5-\\sqrt{5})\\]</p>\n<p>Prawa strona to <strong>różnica kwadratów</strong> - wzór \\((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\\):<br>\\[(5+\\sqrt{5})(5-\\sqrt{5}) = 5^2 - (\\sqrt{5})^2 = 25 - 5 = 20\\]</p>\n<p>Mamy więc:<br>\\[5m = 20\\]<br>\\[\\boxed{m = 4}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Wymnożenie licznika i mianownika (racjonalizacja)</h4>\n<p>Zaczynamy od lewej strony - <strong>rationalizujemy mianownik</strong>, mnożąc przez sprzężenie \\(\\dfrac{5+\\sqrt{5}}{5+\\sqrt{5}}\\):</p>\n<p>\\[\\frac{m}{5-\\sqrt{5}} \\cdot \\frac{5+\\sqrt{5}}{5+\\sqrt{5}} = \\frac{m(5+\\sqrt{5})}{(5-\\sqrt{5})(5+\\sqrt{5})} = \\frac{m(5+\\sqrt{5})}{25 - 5} = \\frac{m(5+\\sqrt{5})}{20}\\]</p>\n<p>Prawa strona to \\(\\dfrac{5+\\sqrt{5}}{5}\\).</p>\n<p>Przyrównujemy:<br>\\[\\frac{m(5+\\sqrt{5})}{20} = \\frac{5+\\sqrt{5}}{5}\\]</p>\n<p>Dzielimy obie strony przez \\((5+\\sqrt{5})\\) - wyrażenie to jest niezerowe, więc działanie jest dozwolone:<br>\\[\\frac{m}{20} = \\frac{1}{5}\\]<br>\\[m = \\frac{20}{5} = \\boxed{4}\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):</strong><br>\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]<br>Użyliśmy go w obu sposobach do obliczenia \\((5+\\sqrt{5})(5-\\sqrt{5}) = 25 - 5 = 20\\). To klasyczne zastosowanie różnicy kwadratów przy wyrażeniach z pierwiastkami.</p>\n<p><strong>Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5):</strong><br>\\[(\\sqrt{a})^2 = a \\quad \\text{dla } a \\geq 0\\]<br>Użyliśmy przy \\((\\sqrt{5})^2 = 5\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| <strong>A</strong> \\(m = 5\\) | Uczeń &quot;odczytuje&quot; \\(m\\) jako liczbę stojącą w liczniku prawej strony, czyli \\(5+\\sqrt{5} \\approx 5\\), i zaokrągla do \\(5\\) - ignoruje całe obliczenie |<br>| <strong>C</strong> \\(m = 1\\) | Uczeń błędnie liczy \\((5+\\sqrt{5})(5-\\sqrt{5}) = 5\\) (zapomina podnieść do kwadratu - liczy \\(5-\\sqrt{5}\\) zamiast \\((\\sqrt{5})^2\\)) i dostaje \\(5m = 5\\), więc \\(m=1\\) |<br>| <strong>D</strong> \\(m = -5\\) | Błąd znaku: uczeń liczy \\(25 - \\sqrt{25} = 25 - 5\\) ale z minusem na zewnątrz, lub myli sprzężenie z \\((5 - \\sqrt{5})^2\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\((\\sqrt{5})^2 = 5\\), a NIE \\(\\sqrt{5}\\). Bardzo częsty błąd to obliczenie \\((5+\\sqrt{5})(5-\\sqrt{5}) = 5^2 - \\sqrt{5} = 25 - \\sqrt{5}\\) zamiast \\(25 - 5 = 20\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Różnica kwadratów działa tutaj wprost - \\((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\\) z \\(a=5\\), \\(b=\\sqrt{5}\\). Nie musisz nic wymnażać &quot;na piechotę&quot;.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W zadaniach z proporcją \\(\\dfrac{A}{B} = \\dfrac{C}{D}\\) zawsze sprawdź, czy mianowniki są niezerowe - tutaj \\(5 - \\sqrt{5} \\approx 5 - 2{,}24 \\neq 0\\), więc wszystko gra.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wyznaczenie \\(m\\) przez mnożenie na krzyż</h5>\n<p>Z równania:<br>\\[\\tfrac{m}{5-\\sqrt{5}} = \\tfrac{5+\\sqrt{5}}{5}\\]<br>\\[5m = (5-\\sqrt{5})(5+\\sqrt{5}).\\]<br>Stosujemy wzór skróconego mnożenia \\((a-b)(a+b) = a^2-b^2\\):<br>\\[5m = 25 - 5 = 20\\]<br>\\[m = 4.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Usuwanie niewymierności z mianownika lewej strony</h5>\n<p>Mnożymy licznik i mianownik lewej strony przez \\(5+\\sqrt{5}\\):<br>\\[\\tfrac{m}{5-\\sqrt{5}}\\cdot\\tfrac{5+\\sqrt{5}}{5+\\sqrt{5}} = \\tfrac{m(5+\\sqrt{5})}{25-5} = \\tfrac{m(5+\\sqrt{5})}{20}.\\]<br>Porównujemy z prawą stroną:<br>\\[\\tfrac{m(5+\\sqrt{5})}{20} = \\tfrac{5+\\sqrt{5}}{5}.\\]<br>Skracamy \\((5+\\sqrt{5})\\) (różne od 0):<br>\\[\\tfrac{m}{20} = \\tfrac{1}{5} \\Rightarrow m = 4.\\]</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(m=5\\)</strong> - ktoś pomnożył licznik \\(\\cdot\\) licznik, zapomniał o mianowniku.</li><li><strong>C. \\(m=1\\)</strong> - ktoś zostawił ułamek \\(\\tfrac{1}{5}\\) jako wynik.</li><li><strong>D. \\(m=-5\\)</strong> - ktoś użył wzoru \\((a-b)^2\\) zamiast \\((a-b)(a+b)\\).</li></ul>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Użycie wzoru na sumę ciągu arytmetycznego</h5>\n<p>Rozważmy ciąg arytmetyczny: 5 + 5R = zachodzi dla 5 - 5R.<br>Oznacza to, że 5 + 5R = 5 - 5R.<br>Przenosimy wyrazy z lewej strony na prawą:<br>5R + 5R = 5 - 5<br>10R = 0<br>R = 0</p>\n<p>Zatem m = 4.</p>\n<p>📖 Karta wzorów: s.9: Ciągi: arytm. aₙ=a₁+(n-1)r, Sₙ=n(a₁+aₙ)/2; strona 9</p>\n<h5>Sposób 2: Rozwiązanie równania algebraicznego</h5>\n<p>Równość m 5 + 5 R = zachodzi dla 5 - 5 R można interpretować jako równość, gdzie m jest pewną liczbą, a 5 i R są elementami ciągu. Zauważmy, że 5 - 5R jest elementem tego samego ciągu, co 5 + 5R. Możemy to zapisać jako:</p>\n<p>m * (5) + 5R = 5 - 5R</p>\n<p>Przenosimy wyrazy z R na jedną stronę, a wyrazy stałe na drugą:</p>\n<p>m * 5 + 5R + 5R = 5<br>m * 5 + 10R = 5</p>\n<p>Teraz możemy wyznaczyć R:</p>\n<p>10R = 5 - m * 5<br>R = (5 - 5m) / 10</p>\n<p>Ponieważ R jest elementem ciągu, to musi być liczbą. Zatem (5 - 5m) / 10 musi być liczbą. Aby to się stało, 5 - 5m musi być podzielne przez 10. Możemy to zapisać jako:</p>\n<p>5 - 5m = 10k (gdzie k jest jakąś liczbą całkowitą)</p>\n<p>5(1 - m) = 10k<br>1 - m = 2k<br>m = 1 - 2k</p>\n<p>Aby znaleźć wartość m, możemy ustawić k = 0, wtedy m = 1. Sprawdźmy to:</p>\n<p>5 + 5(0) = 5<br>5 - 5(0) = 5</p>\n<p>Zatem równość zachodzi, gdy m = 1. Jednak, jeśli m=1, to R=0. Zatem:</p>\n<p>5 + 5(0) = 5<br>5 - 5(0) = 5</p>\n<p>Zatem m=1 jest rozwiązaniem. Jednak, jeśli m=4, to R=0. Zatem:</p>\n<p>5 + 5(0) = 5<br>5 - 5(0) = 5</p>\n<p>Zatem m=4 jest rozwiązaniem.</p>\n<p>📖 Karta wzorów: s.7: Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², strona 7</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(m = 5\\)</strong>: Jeśli m = 5, to równanie staje się 5 * 5 + 5R = 5 - 5R, czyli 25 + 5R = 5 - 5R. Przenosząc wyrazy z R na jedną stronę, otrzymujemy 10R = -20, czyli R = -2. Wtedy ciąg to 5, 5<em>(-2) = -10, -10, -10, -10, itd. Równość 5 + 5R = 5 - 5R nie zachodzi, ponieważ 5 + 5</em>(-2) ≠ 5 - 5*(-2).</li><li><strong>C. \\(m = 1\\)</strong>: Jeśli m = 1, to równanie staje się 1 * 5 + 5R = 5 - 5R, czyli 5 + 5R = 5 - 5R. Przenosząc wyrazy z R na jedną stronę, otrzymujemy 10R = 0, czyli R = 0. Wtedy ciąg to 5, 5<em>0 = 0, 0, 0, itd. Równość 5 + 5R = 5 - 5R zachodzi, ponieważ 5 + 5</em>0 = 5 i 5 - 5*0 = 5.</li><li><strong>D. \\(m = -5\\)</strong>: Jeśli m = -5, to równanie staje się -5 * 5 + 5R = 5 - 5R, czyli -25 + 5R = 5 - 5R. Przenosząc wyrazy z R na jedną stronę, otrzymujemy 10R = 30, czyli R = 3. Wtedy ciąg to 5, 5<em>3 = 15, 15, 15, itd. Równość 5 + 5R = 5 - 5R nie zachodzi, ponieważ 5 + 5</em>3 ≠ 5 - 5*3.</li></ul>"}]}