{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (1 pkt)\nZbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność 3\n2\n5\n3\n6\nx\nx\n≥\njest przedziałem\nA.\n9 ,\n15\n\n+∞\nB.\n18\n, 25\n-∞\n\nC.\n1 ,\n30\n\n+∞\nD.\n9\n, 5\n-∞\n","answer":"B","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający dodaje,\nodejmuje, mnoży i dzieli wyrażenia wymierne\n(2.f).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\nUkład dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi opisuje **dokładnie jeden punkt** - punkt przecięcia dwóch prostych.\n\n## Sposób 1 - Metoda podstawiania\n\nZ pierwszego równania wyznaczamy \\(x\\):\n\n\\[x - y = 3 \\implies x = y + 3\\]\n\nPodstawiamy do drugiego równania:\n\n\\[2(y + 3) + 0{,}5y = 4\\]\n\n\\[2y + 6 + 0{,}5y = 4\\]\n\n\\[2{,}5y = 4 - 6\\]\n\n\\[2{,}5y = -2\\]\n\n\\[y = \\frac{-2}{2{,}5} = \\frac{-2}{\\frac{5}{2}} = -2 \\cdot \\frac{2}{5} = -\\frac{4}{5}\\]\n\nWracamy do wyrażenia na \\(x\\):\n\n\\[x = y + 3 = -\\frac{4}{5} + 3 = -\\frac{4}{5} + \\frac{15}{5} = \\frac{11}{5}\\]\n\n**Wynik:** Układ ma dokładnie jedno rozwiązanie: \\(\\left(\\frac{11}{5},\\ -\\frac{4}{5}\\right)\\).\n\nW układzie współrzędnych to **dokładnie jeden punkt**.\n\n## Sposób 2 - Metoda eliminacji (dodawanie równań)\n\nMamy układ:\n\\[\\begin{cases} x - y = 3 \\\\ 2x + 0{,}5y = 4 \\end{cases}\\]\n\nMnożymy pierwsze równanie przez \\(0{,}5\\), żeby mieć \\(0{,}5y\\) w obu:\n\n\\[0{,}5 \\cdot (x - y) = 0{,}5 \\cdot 3 \\implies 0{,}5x - 0{,}5y = 1{,}5\\]\n\nDodajemy do drugiego równania stronami:\n\n\\[(0{,}5x - 0{,}5y) + (2x + 0{,}5y) = 1{,}5 + 4\\]\n\n\\[2{,}5x = 5{,}5\\]\n\n\\[x = \\frac{5{,}5}{2{,}5} = \\frac{11}{5}\\]\n\nPodstawiamy do pierwszego równania:\n\n\\[\\frac{11}{5} - y = 3 \\implies y = \\frac{11}{5} - \\frac{15}{5} = -\\frac{4}{5}\\]\n\n**Wynik zgodny:** \\(\\left(\\frac{11}{5},\\ -\\frac{4}{5}\\right)\\) - jeden punkt. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy umiejętność rozwiązywania układu równań liniowych metodą podstawiania lub eliminacji (podstawa algebry).\n\nWarto jednak pamiętać o **geometrycznej interpretacji**:\n- Każde równanie liniowe \\(ax + by = c\\) to **prosta** na płaszczyźnie.\n- Dwie proste albo się przecinają (1 punkt), albo są równoległe (brak punktów), albo pokrywają się (nieskończenie wiele punktów).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Uczeń błędnie upraszcza układ i dochodzi do sprzeczności (np. \\(0 = \\text{liczba}\\)), myląc proste równoległe z tym układem - tu proste się przecinają |\n| C | Uczeń myli układ równań z równaniem jednej prostej lub z nierównością - **dwie różne proste** mogą dać co najwyżej **jeden** punkt wspólny, nie dwa |\n| D | Uczeń myli układ z przypadkiem, gdy oba równania opisują **tę samą prostą** (np. drugie równanie byłoby wielokrotnością pierwszego) - tu prosta \\(x - y = 3\\) i prosta \\(2x + 0{,}5y = 4\\) mają różne kierunki |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź, czy proste mają **różny współczynnik kierunkowy** - jeśli tak, muszą się przeciąć w dokładnie jednym punkcie. Tu \\(y = x - 3\\) (kierunkowy \\(a = 1\\)) vs \\(y = -4x + 8\\) (kierunkowy \\(a = -4\\)) - różne, więc wynik to zawsze **B**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(0{,}5y\\) to \\(\\frac{1}{2}y\\) - przy eliminacji łatwo pomylić się mnożąc przez nieodpowiednią liczbę. Przelicz ułamki dziesiętne na zwykłe przed rachunkami.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o **punkt na płaszczyźnie**, nie o parę liczb. Rozwiązanie \\(\\left(\\frac{11}{5}, -\\frac{4}{5}\\right)\\) to **jeden punkt** - pilnuj, żeby nie liczyć go jako \"dwie wartości = dwa punkty\".\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Porównanie współczynników kierunkowych\nZapisujemy oba równania w postaci \\(y = ax+b\\):\n- \\(x - y = 3 \\Rightarrow y = x - 3\\) (współczynnik kierunkowy \\(a_1 = 1\\))\n- \\(2x + 0{,}5y = 4 \\Rightarrow 0{,}5y = -2x + 4 \\Rightarrow y = -4x + 8\\) (współczynnik \\(a_2 = -4\\))\n\n\\(a_1 \\ne a_2\\), więc proste przecinają się w **dokładnie jednym punkcie**.\n\n### Sposób 2 - Rozwiązanie układu\nZ pierwszego równania: \\(y = x-3\\). Podstawiamy do drugiego:\n\\[2x + 0{,}5(x-3) = 4\\]\n\\[2{,}5x - 1{,}5 = 4\\]\n\\[2{,}5x = 5{,}5 \\Rightarrow x = 2{,}2, \\quad y = -0{,}8.\\]\nPunkt: \\((2{,}2; -0{,}8)\\) - **dokładnie jeden**.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. zbiór pusty** - proste równoległe, ale różne (mają różne \\(a\\), więc się przecinają).\n- **C. dwa punkty** - dwie proste nie mogą się przecinać w dwóch punktach (chyba że to ta sama prosta, wtedy nieskończenie wielu).\n- **D. zbiór nieskończony** - tylko gdyby równania były proporcjonalne; tu nie są.\n\n**Trik:** dla układu dwóch równań liniowych wystarczy porównać \\(\\tfrac{a_1}{a_2}, \\tfrac{b_1}{b_2}, \\tfrac{c_1}{c_2}\\). Wszystkie równe → ta sama prosta. Tylko dwa równe → równoległe. Nic nie równe → jeden punkt.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Metoda eliminacji\n\n1. **Rozwiązujemy pierwsze równanie** względem *y*:\n\\[x - y = 3 \\implies y = x - 3\\]\n2. **Podstawiamy** wyrażenie na *y* do drugiego równania:\n\\[2x + 0.5y = 4 \\implies 2x + 0.5(x - 3) = 4\\]\n3. **Rozwiązujemy** równanie z jedną niewiadomą (*x*):\n\\[2x + 0.5x - 1.5 = 4 \\implies 2.5x = 5.5 \\implies x = \\frac{5.5}{2.5} = \\frac{55}{25} = \\frac{11}{5} = 2.2\\]\n4. **Obliczamy** *y* z pierwszego równania:\n\\[y = x - 3 = 2.2 - 3 = -0.8\\]\n5. **Sprawdzamy** rozwiązanie w drugim równaniu:\n\\[2(2.2) + 0.5(-0.8) = 4.4 - 0.4 = 4\\]\nRozwiązanie jest poprawne.\n\n📖 Karta wzorów: s.4, strona 4 (Wartość bezwzględna) - Nie użyto bezpośrednio, ale metoda rozwiązywania układu równań jest podstawą.\n\n### Sposób 2: Metoda mnożenia przez współczynniki\n\n1. **Mnożymy** drugie równanie przez 2:\n\\[2(2x + 0.5y) = 2(4) \\implies 4x + y = 8\\]\n2. **Dodajemy** to równanie do pierwszego równania:\n\\[(x - y) + (4x + y) = 3 + 8 \\implies 5x = 11 \\implies x = \\frac{11}{5} = 2.2\\]\n3. **Podstawiamy** *x* do pierwszego równania:\n\\[2.2 - y = 3 \\implies y = 2.2 - 3 = -0.8\\]\n4. **Sprawdzamy** rozwiązanie w drugim równaniu:\n\\[2(2.2) + 0.5(-0.8) = 4.4 - 0.4 = 4\\]\nRozwiązanie jest poprawne.\n\n📖 Karta wzorów: s.4, strona 4 (Wartość bezwzględna) - Nie użyto bezpośrednio, ale metoda rozwiązywania układu równań jest podstawą.\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. zbiór pusty:** Rozwiązaliśmy układ równań i otrzymaliśmy konkretne wartości *x* i *y*, więc nie może być to zbiór pusty.\n* **C. dokładnie dwa różne punkty:** Rozwiązaliśmy układ równań i otrzymaliśmy jedno rozwiązanie, a nie dwa różne.\n* **D. zbiór nieskończony:** Układ równań ma jedno rozwiązanie, a nie nieskończenie wiele.\n\n**Dodatkowe wyjaśnienie:** Układ równań, który ma jedno rozwiązanie, oznacza, że przecinają się w jednym punkcie. Metodą rozwiązywania układów równań jest tutaj podstawianie lub eliminacja. W tym przypadku, eliminacja była najprostsza.","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 5. (1 pkt)
Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność 3
2
5
3
6
x
x
≥
jest przedziałem
A.
9 ,
15

+∞
B.
18
, 25
-∞

C.
1 ,
30

+∞
D.
9
, 5
-∞


","answer_text_html":"

Zadanie 5. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Wyrażenia algebraiczne. Zdający dodaje,
\n

odejmuje, mnoży i dzieli wyrażenia wymierne
(2.f).
Wersja
I
Wersja
II
B
A

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B

\n

Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi opisuje dokładnie jeden punkt - punkt przecięcia dwóch prostych.

\n

Sposób 1 - Metoda podstawiania

\n

Z pierwszego równania wyznaczamy \\(x\\):

\n

\\[x - y = 3 \\implies x = y + 3\\]

\n

Podstawiamy do drugiego równania:

\n

\\[2(y + 3) + 0{,}5y = 4\\]

\n

\\[2y + 6 + 0{,}5y = 4\\]

\n

\\[2{,}5y = 4 - 6\\]

\n

\\[2{,}5y = -2\\]

\n

\\[y = \\frac{-2}{2{,}5} = \\frac{-2}{\\frac{5}{2}} = -2 \\cdot \\frac{2}{5} = -\\frac{4}{5}\\]

\n

Wracamy do wyrażenia na \\(x\\):

\n

\\[x = y + 3 = -\\frac{4}{5} + 3 = -\\frac{4}{5} + \\frac{15}{5} = \\frac{11}{5}\\]

\n

Wynik: Układ ma dokładnie jedno rozwiązanie: \\(\\left(\\frac{11}{5},\\ -\\frac{4}{5}\\right)\\).

\n

W układzie współrzędnych to dokładnie jeden punkt.

\n

Sposób 2 - Metoda eliminacji (dodawanie równań)

\n

Mamy układ:
\\[\\begin{cases} x - y = 3 \\\\ 2x + 0{,}5y = 4 \\end{cases}\\]

\n

Mnożymy pierwsze równanie przez \\(0{,}5\\), żeby mieć \\(0{,}5y\\) w obu:

\n

\\[0{,}5 \\cdot (x - y) = 0{,}5 \\cdot 3 \\implies 0{,}5x - 0{,}5y = 1{,}5\\]

\n

Dodajemy do drugiego równania stronami:

\n

\\[(0{,}5x - 0{,}5y) + (2x + 0{,}5y) = 1{,}5 + 4\\]

\n

\\[2{,}5x = 5{,}5\\]

\n

\\[x = \\frac{5{,}5}{2{,}5} = \\frac{11}{5}\\]

\n

Podstawiamy do pierwszego równania:

\n

\\[\\frac{11}{5} - y = 3 \\implies y = \\frac{11}{5} - \\frac{15}{5} = -\\frac{4}{5}\\]

\n

Wynik zgodny: \\(\\left(\\frac{11}{5},\\ -\\frac{4}{5}\\right)\\) - jeden punkt. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy umiejętność rozwiązywania układu równań liniowych metodą podstawiania lub eliminacji (podstawa algebry).

\n

Warto jednak pamiętać o geometrycznej interpretacji:

\n\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A | Uczeń błędnie upraszcza układ i dochodzi do sprzeczności (np. \\(0 = \\text{liczba}\\)), myląc proste równoległe z tym układem - tu proste się przecinają |
| C | Uczeń myli układ równań z równaniem jednej prostej lub z nierównością - dwie różne proste mogą dać co najwyżej jeden punkt wspólny, nie dwa |
| D | Uczeń myli układ z przypadkiem, gdy oba równania opisują tę samą prostą (np. drugie równanie byłoby wielokrotnością pierwszego) - tu prosta \\(x - y = 3\\) i prosta \\(2x + 0{,}5y = 4\\) mają różne kierunki |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Sprawdź, czy proste mają różny współczynnik kierunkowy - jeśli tak, muszą się przeciąć w dokładnie jednym punkcie. Tu \\(y = x - 3\\) (kierunkowy \\(a = 1\\)) vs \\(y = -4x + 8\\) (kierunkowy \\(a = -4\\)) - różne, więc wynik to zawsze B.
\n
⚠️ Uwaga: \\(0{,}5y\\) to \\(\\frac{1}{2}y\\) - przy eliminacji łatwo pomylić się mnożąc przez nieodpowiednią liczbę. Przelicz ułamki dziesiętne na zwykłe przed rachunkami.
\n
⚠️ Uwaga: Zadanie pyta o punkt na płaszczyźnie, nie o parę liczb. Rozwiązanie \\(\\left(\\frac{11}{5}, -\\frac{4}{5}\\right)\\) to jeden punkt - pilnuj, żeby nie liczyć go jako "dwie wartości = dwa punkty".
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Porównanie współczynników kierunkowych
\n

Zapisujemy oba równania w postaci \\(y = ax+b\\):

\n\n

\\(a_1 \\ne a_2\\), więc proste przecinają się w dokładnie jednym punkcie.

\n
Sposób 2 - Rozwiązanie układu
\n

Z pierwszego równania: \\(y = x-3\\). Podstawiamy do drugiego:
\\[2x + 0{,}5(x-3) = 4\\]
\\[2{,}5x - 1{,}5 = 4\\]
\\[2{,}5x = 5{,}5 \\Rightarrow x = 2{,}2, \\quad y = -0{,}8.\\]
Punkt: \\((2{,}2; -0{,}8)\\) - dokładnie jeden.

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: dla układu dwóch równań liniowych wystarczy porównać \\(\\tfrac{a_1}{a_2}, \\tfrac{b_1}{b_2}, \\tfrac{c_1}{c_2}\\). Wszystkie równe → ta sama prosta. Tylko dwa równe → równoległe. Nic nie równe → jeden punkt.

\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1: Metoda eliminacji
\n
  1. Rozwiązujemy pierwsze równanie względem y:
\n

\\[x - y = 3 \\implies y = x - 3\\]

\n
  1. Podstawiamy wyrażenie na y do drugiego równania:
\n

\\[2x + 0.5y = 4 \\implies 2x + 0.5(x - 3) = 4\\]

\n
  1. Rozwiązujemy równanie z jedną niewiadomą (x):
\n

\\[2x + 0.5x - 1.5 = 4 \\implies 2.5x = 5.5 \\implies x = \\frac{5.5}{2.5} = \\frac{55}{25} = \\frac{11}{5} = 2.2\\]

\n
  1. Obliczamy y z pierwszego równania:
\n

\\[y = x - 3 = 2.2 - 3 = -0.8\\]

\n
  1. Sprawdzamy rozwiązanie w drugim równaniu:
\n

\\[2(2.2) + 0.5(-0.8) = 4.4 - 0.4 = 4\\]
Rozwiązanie jest poprawne.

\n

📖 Karta wzorów: s.4, strona 4 (Wartość bezwzględna) - Nie użyto bezpośrednio, ale metoda rozwiązywania układu równań jest podstawą.

\n
Sposób 2: Metoda mnożenia przez współczynniki
\n
  1. Mnożymy drugie równanie przez 2:
\n

\\[2(2x + 0.5y) = 2(4) \\implies 4x + y = 8\\]

\n
  1. Dodajemy to równanie do pierwszego równania:
\n

\\[(x - y) + (4x + y) = 3 + 8 \\implies 5x = 11 \\implies x = \\frac{11}{5} = 2.2\\]

\n
  1. Podstawiamy x do pierwszego równania:
\n

\\[2.2 - y = 3 \\implies y = 2.2 - 3 = -0.8\\]

\n
  1. Sprawdzamy rozwiązanie w drugim równaniu:
\n

\\[2(2.2) + 0.5(-0.8) = 4.4 - 0.4 = 4\\]
Rozwiązanie jest poprawne.

\n

📖 Karta wzorów: s.4, strona 4 (Wartość bezwzględna) - Nie użyto bezpośrednio, ale metoda rozwiązywania układu równań jest podstawą.

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

Dodatkowe wyjaśnienie: Układ równań, który ma jedno rozwiązanie, oznacza, że przecinają się w jednym punkcie. Metodą rozwiązywania układów równań jest tutaj podstawianie lub eliminacja. W tym przypadku, eliminacja była najprostsza.

"}]}