{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (1 pkt)\nDziedziną funkcji f określonej wzorem ( )\nx\nx\nx\nx\nf\n4\n4\n2 -\nmoże być zbiór","answer":"A","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający wyznacza\ndziedzinę prostego wyrażenia wymiernego\nz jedną zmienną, w którym w mianowniku\nwystępują tylko wyrażenia dające się\nsprowadzić do iloczynu wielomianów\nliniowych i kwadratowych (2.d).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nRównanie \\(2x^2 + 11x + 3 = 0\\) **ma dwa ujemne rozwiązania rzeczywiste.**\n\n## Sposób 1 - Wzory Viète'a (bez liczenia pierwiastków)\n\nZamiast żmudnie liczyć \\(x_1, x_2\\), wystarczy sprawdzić ich **sumę i iloczyn** - to da nam znak obu pierwiastków.\n\nDla równania \\(ax^2 + bx + c = 0\\) wzory Viète'a mówią:\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\n\nPodstawiamy \\(a = 2\\), \\(b = 11\\), \\(c = 3\\):\n\n**Krok 1 - sprawdź, czy w ogóle istnieją pierwiastki rzeczywiste:**\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot 3 = 121 - 24 = 97 > 0\\]\n\\(\\Delta > 0\\) → **dwa różne pierwiastki rzeczywiste** (odpadają odpowiedzi A i B).\n\n**Krok 2 - suma pierwiastków:**\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{11}{2} = -5{,}5 < 0\\]\nSuma jest **ujemna** - przynajmniej jeden pierwiastek jest ujemny.\n\n**Krok 3 - iloczyn pierwiastków:**\n\\[x_1 \\cdot x_2 = \\frac{3}{2} > 0\\]\nIloczyn jest **dodatni** → obydwa pierwiastki mają **ten sam znak**.\n\n**Krok 4 - wniosek:**\nSkoro oba mają ten sam znak, a ich suma jest ujemna - oba są **ujemne**.\n\n**Odpowiedź: D** - dwa ujemne rozwiązania rzeczywiste.\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednie obliczenie pierwiastków (weryfikacja)\n\nLiczymy \\(x_1, x_2\\) wprost ze wzoru:\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{-11 \\pm \\sqrt{97}}{4}\\]\n\nSzacujemy \\(\\sqrt{97}\\): ponieważ \\(9^2 = 81\\) i \\(10^2 = 100\\), mamy \\(\\sqrt{97} \\approx 9{,}85\\).\n\n\\[x_1 = \\frac{-11 - 9{,}85}{4} = \\frac{-20{,}85}{4} \\approx -5{,}21\\]\n\\[x_2 = \\frac{-11 + 9{,}85}{4} = \\frac{-1{,}15}{4} \\approx -0{,}29\\]\n\nOba wyniki są ujemne. ✓ **Odpowiedź D potwierdzona.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\nWyróżnik:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyliśmy w Kroku 1 do sprawdzenia, czy pierwiastki istnieją.\n\nWzory Viète'a:\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do ustalenia znaku pierwiastków bez ich obliczania.\n\nWzór na pierwiastki:\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do weryfikacji.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** | Błędne obliczenie delty: np. \\(11^2 = 12\\) lub \\(4 \\cdot 2 \\cdot 3 = 24\\) a potem błędne odejmowanie, co daje \\(\\Delta < 0\\) |\n| **B** | Wyliczenie \\(\\Delta = 0\\) przez pomylenie wzoru (np. \\(b^2 - 2ac\\) zamiast \\(4ac\\)) |\n| **C** | Przeoczenie znaku: iloczyn \\(x_1 x_2 = \\frac{3}{2} > 0\\) sugeruje \"ta sama znak - pewnie dodatnie\", ale suma \\(x_1 + x_2 = -5{,}5 < 0\\) jednoznacznie wskazuje ujemne |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Samo sprawdzenie iloczynu \\(x_1 x_2 > 0\\) NIE wystarczy - trzeba też sprawdzić sumę! Dodatni iloczyn oznacza jedynie, że oba mają ten sam znak (oba dodatnie LUB oba ujemne).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie musisz liczyć \\(\\sqrt{97}\\) dokładnie - wystarczy wiedzieć, że \\(\\Delta = 97 > 0\\), żeby stwierdzić istnienie dwóch pierwiastków.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzory Viète'a to świetny skrót na maturze - często pytanie o znak pierwiastków można rozwiązać w 3 liniach, bez żadnych pierwiastków kwadratowych.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nRównanie \\(2x^2 + 11x + 3 = 0\\).\n\nObliczamy wyróżnik:\n\\(\\Delta = 11^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot 3 = 121 - 24 = 97 > 0\\)\n\nSkoro \\(\\Delta > 0\\), równanie ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste.\n\nSprawdzamy znaki rozwiązań za pomocą wzorów Viète'a:\n- Suma: \\(x_1 + x_2 = -\\frac{11}{2} = -5{,}5 < 0\\)\n- Iloczyn: \\(x_1 \\cdot x_2 = \\frac{3}{2} = 1{,}5 > 0\\)\n\nSuma ujemna i iloczyn dodatni oznaczają, że oba rozwiązania są ujemne.\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Wyróżnik \\(\\Delta = b^2 - 4ac\\), wzory Viète'a: \\(x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}\\), \\(x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\)\n\n**Dlaczego inne błędne:**\n- A. \\(\\Delta = 97 > 0\\), więc rozwiązania istnieją\n- B. Dwa rozwiązania (\\(\\Delta > 0\\)), nie jedno\n- C. Oba ujemne (suma < 0, iloczyn > 0), nie dodatnie","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 6. (1 pkt)
Dziedziną funkcji f określonej wzorem ( )
x
x
x
x
f
4
4
2 -
może być zbiór

","answer_text_html":"

Zadanie 6. (0-1)
I. Wykorzystanie
i tworzenie informacji.

\n
  1. Wyrażenia algebraiczne. Zdający wyznacza
\n

dziedzinę prostego wyrażenia wymiernego
z jedną zmienną, w którym w mianowniku
występują tylko wyrażenia dające się
sprowadzić do iloczynu wielomianów
liniowych i kwadratowych (2.d).
Wersja
I
Wersja
II
A
B

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D

\n

Równanie \\(2x^2 + 11x + 3 = 0\\) ma dwa ujemne rozwiązania rzeczywiste.

\n

Sposób 1 - Wzory Viète'a (bez liczenia pierwiastków)

\n

Zamiast żmudnie liczyć \\(x_1, x_2\\), wystarczy sprawdzić ich sumę i iloczyn - to da nam znak obu pierwiastków.

\n

Dla równania \\(ax^2 + bx + c = 0\\) wzory Viète'a mówią:
\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]

\n

Podstawiamy \\(a = 2\\), \\(b = 11\\), \\(c = 3\\):

\n

Krok 1 - sprawdź, czy w ogóle istnieją pierwiastki rzeczywiste:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot 3 = 121 - 24 = 97 > 0\\]
\\(\\Delta > 0\\) → dwa różne pierwiastki rzeczywiste (odpadają odpowiedzi A i B).

\n

Krok 2 - suma pierwiastków:
\\[x_1 + x_2 = -\\frac{11}{2} = -5{,}5 < 0\\]
Suma jest ujemna - przynajmniej jeden pierwiastek jest ujemny.

\n

Krok 3 - iloczyn pierwiastków:
\\[x_1 \\cdot x_2 = \\frac{3}{2} > 0\\]
Iloczyn jest dodatni → obydwa pierwiastki mają ten sam znak.

\n

Krok 4 - wniosek:
Skoro oba mają ten sam znak, a ich suma jest ujemna - oba są ujemne.

\n

Odpowiedź: D - dwa ujemne rozwiązania rzeczywiste.

\n

Sposób 2 - Bezpośrednie obliczenie pierwiastków (weryfikacja)

\n

Liczymy \\(x_1, x_2\\) wprost ze wzoru:
\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{-11 \\pm \\sqrt{97}}{4}\\]

\n

Szacujemy \\(\\sqrt{97}\\): ponieważ \\(9^2 = 81\\) i \\(10^2 = 100\\), mamy \\(\\sqrt{97} \\approx 9{,}85\\).

\n

\\[x_1 = \\frac{-11 - 9{,}85}{4} = \\frac{-20{,}85}{4} \\approx -5{,}21\\]
\\[x_2 = \\frac{-11 + 9{,}85}{4} = \\frac{-1{,}15}{4} \\approx -0{,}29\\]

\n

Oba wyniki są ujemne. ✓ Odpowiedź D potwierdzona.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)

\n

Wyróżnik:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]
Użyliśmy w Kroku 1 do sprawdzenia, czy pierwiastki istnieją.

\n

Wzory Viète'a:
\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]
Użyliśmy w Sposobie 1 do ustalenia znaku pierwiastków bez ich obliczania.

\n

Wzór na pierwiastki:
\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]
Użyliśmy w Sposobie 2 do weryfikacji.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A | Błędne obliczenie delty: np. \\(11^2 = 12\\) lub \\(4 \\cdot 2 \\cdot 3 = 24\\) a potem błędne odejmowanie, co daje \\(\\Delta < 0\\) |
| B | Wyliczenie \\(\\Delta = 0\\) przez pomylenie wzoru (np. \\(b^2 - 2ac\\) zamiast \\(4ac\\)) |
| C | Przeoczenie znaku: iloczyn \\(x_1 x_2 = \\frac{3}{2} > 0\\) sugeruje "ta sama znak - pewnie dodatnie", ale suma \\(x_1 + x_2 = -5{,}5 < 0\\) jednoznacznie wskazuje ujemne |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Samo sprawdzenie iloczynu \\(x_1 x_2 > 0\\) NIE wystarczy - trzeba też sprawdzić sumę! Dodatni iloczyn oznacza jedynie, że oba mają ten sam znak (oba dodatnie LUB oba ujemne).
\n
⚠️ Uwaga: Nie musisz liczyć \\(\\sqrt{97}\\) dokładnie - wystarczy wiedzieć, że \\(\\Delta = 97 > 0\\), żeby stwierdzić istnienie dwóch pierwiastków.
\n
⚠️ Uwaga: Wzory Viète'a to świetny skrót na maturze - często pytanie o znak pierwiastków można rozwiązać w 3 liniach, bez żadnych pierwiastków kwadratowych.
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n

Rozwiązanie:

\n

Równanie \\(2x^2 + 11x + 3 = 0\\).

\n

Obliczamy wyróżnik:
\\(\\Delta = 11^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot 3 = 121 - 24 = 97 > 0\\)

\n

Skoro \\(\\Delta > 0\\), równanie ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste.

\n

Sprawdzamy znaki rozwiązań za pomocą wzorów Viète'a:

\n\n

Suma ujemna i iloczyn dodatni oznaczają, że oba rozwiązania są ujemne.

\n

Użyte wzory z karty CKE: Wyróżnik \\(\\Delta = b^2 - 4ac\\), wzory Viète'a: \\(x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}\\), \\(x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\)

\n

Dlaczego inne błędne:

\n"}]}