{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (1 pkt)\nRozwiązaniem równania\n3\n4\n3\n4\n2\nx\nx\njest liczba\nA.\n0\nx\nB.\n12\n5\nx =\nC.\n2\nx =\nD.\n25\n11\nx =\nA. wszystkich liczb rzeczywistych różnych od 0 i od 4.\nB. wszystkich liczb rzeczywistych różnych od -4 i od 4.\nC. wszystkich liczb rzeczywistych różnych od -4 i od 0.\nD. wszystkich liczb rzeczywistych.\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"B","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający\nrozwiązuje proste równania wymierne,\nprowadzące do równań liniowych lub\nkwadratowych, np.\n1\n2\n3\nx\nx\n,\n1\n2\nx\nx\nx\n(3.e).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\n**Wartości, które nie mogą należeć do dziedziny, to \\(x = -1\\) i \\(x = 1\\).**\n\n## Sposób 1 - Warunek na dziedzinę funkcji wymiernej\n\nFunkcja dana wzorem:\n\\[f(x) = \\frac{x + 4}{x^2 - 1}\\]\n\njest **funkcją wymierną** - ułamek algebraiczny. Jedynym ograniczeniem dziedziny jest to, że **mianownik nie może być równy zeru** (dzielenie przez zero jest niedozwolone).\n\nUstawiamy mianownik równy zero i szukamy wartości do wykluczenia:\n\\[x^2 - 1 = 0\\]\n\\[x^2 = 1\\]\n\\[x = \\sqrt{1} = 1 \\quad \\text{lub} \\quad x = -\\sqrt{1} = -1\\]\n\n**Zatem \\(x = -1\\) i \\(x = 1\\) nie mogą należeć do dziedziny.**\n\nDziedzina funkcji to:\n\\[\\mathcal{D} = \\mathbb{R} \\setminus \\{-1, 1\\}\\]\n\n## Sposób 2 - Faktoryzacja mianownika\n\nZamiast rozwiązywać równanie kwadratowe, rozkładamy mianownik korzystając ze **wzoru skróconego mnożenia**:\n\n\\[x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\\]\n\nMianownik równa się zero, gdy jeden z czynników jest równy zero:\n\\[(x - 1) = 0 \\implies x = 1\\]\n\\[(x + 1) = 0 \\implies x = -1\\]\n\nTen sam wynik - szybciej i bez liczenia delty.\n\n**Weryfikacja:** Sprawdźmy, że licznik \\(x + 4\\) nie powoduje dodatkowych wykluczeń:\n- \\(x = -4\\) daje \\(f(-4) = \\frac{0}{(-4)^2 - 1} = \\frac{0}{15} = 0\\) - wartość **dozwolona** (ułamek może mieć wartość 0)\n\n**Licznik nigdy nie wyklucza wartości z dziedziny** - tylko mianownik ma znaczenie.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):**\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 2 do faktoryzacji \\(x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\\).\n\nEwentualnie w Sposobie 1 wystarczą podstawowe własności funkcji - mianownik ≠ 0 to definicja, nie wzór z karty.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\(x = -4\\) wyklucza się dlatego, że **licznik** \\(x + 4 = 0\\) - ale zerowy licznik daje \\(f(-4) = 0\\), co jest **dozwolone**. Do wykluczenia z dziedziny liczy się tylko **mianownik**. |\n| B | Analogicznie - \\(x = -4\\) z licznika nie stanowi problemu; poprawnie wyznaczono \\(x = 1\\) z mianownika, ale nie znaleziono \\(x = -1\\). |\n| C | \\(x = 0\\) nie wyklucza: \\(f(0) = \\frac{4}{0 - 1} = -4\\) - wartość istnieje. Pominięto \\(x = -1\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kiedy **licznik** równa się zero, ułamek ma wartość \\(0\\) - to jest poprawna liczba! Wykluczamy tylko wartości, dla których **mianownik** = 0.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie \\(x^2 = 1\\) ma **dwa** rozwiązania: \\(x = 1\\) **i** \\(x = -1\\). Łatwo zapomnieć o rozwiązaniu ujemnym i wybrać odpowiedź C zamiast D.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(x^2 - 1\\) to **różnica kwadratów**, a nie \\((x-1)^2\\). Nie myl: \\((x-1)^2 = x^2 - 2x + 1\\), ale \\(x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\\) - stąd dwa różne pierwiastki.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nObliczamy wartości:\n\\(\\sin 120° = \\sin(180° - 60°) = \\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\)\n\\(\\cos 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\)\n\n\\(\\sin 120° - \\cos 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2} - \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 0\\)\n\nA \\(\\sin 0° = 0\\), więc odpowiedź to C.\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Wzory redukcyjne: \\(\\sin(180° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\); tablica wartości funkcji trygonometrycznych\n\n**Dlaczego inne błędne:**\n- A. \\(\\sin 90° = 1 \\neq 0\\)\n- B. \\(\\sin 150° = \\sin 30° = \\frac{1}{2} \\neq 0\\)\n- D. \\(\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\neq 0\\)","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 7. (1 pkt)<br>Rozwiązaniem równania<br>3<br>4<br>3<br>4<br>2<br>x<br>x<br>jest liczba<br>A.<br>0<br>x<br>B.<br>12<br>5<br>x =<br>C.<br>2<br>x =<br>D.<br>25<br>11<br>x =<br>A. wszystkich liczb rzeczywistych różnych od 0 i od 4.<br>B. wszystkich liczb rzeczywistych różnych od -4 i od 4.<br>C. wszystkich liczb rzeczywistych różnych od -4 i od 0.<br>D. wszystkich liczb rzeczywistych.</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 7. (0-1)<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Równania i nierówności. Zdający</li></ol>\n<p>rozwiązuje proste równania wymierne,<br>prowadzące do równań liniowych lub<br>kwadratowych, np.<br>1<br>2<br>3<br>x<br>x<br>,<br>1<br>2<br>x<br>x<br>x<br>(3.e).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>B<br>C</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D</h4>\n<p><strong>Wartości, które nie mogą należeć do dziedziny, to \\(x = -1\\) i \\(x = 1\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 1 - Warunek na dziedzinę funkcji wymiernej</h4>\n<p>Funkcja dana wzorem:<br>\\[f(x) = \\frac{x + 4}{x^2 - 1}\\]</p>\n<p>jest <strong>funkcją wymierną</strong> - ułamek algebraiczny. Jedynym ograniczeniem dziedziny jest to, że <strong>mianownik nie może być równy zeru</strong> (dzielenie przez zero jest niedozwolone).</p>\n<p>Ustawiamy mianownik równy zero i szukamy wartości do wykluczenia:<br>\\[x^2 - 1 = 0\\]<br>\\[x^2 = 1\\]<br>\\[x = \\sqrt{1} = 1 \\quad \\text{lub} \\quad x = -\\sqrt{1} = -1\\]</p>\n<p><strong>Zatem \\(x = -1\\) i \\(x = 1\\) nie mogą należeć do dziedziny.</strong></p>\n<p>Dziedzina funkcji to:<br>\\[\\mathcal{D} = \\mathbb{R} \\setminus \\{-1, 1\\}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Faktoryzacja mianownika</h4>\n<p>Zamiast rozwiązywać równanie kwadratowe, rozkładamy mianownik korzystając ze <strong>wzoru skróconego mnożenia</strong>:</p>\n<p>\\[x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\\]</p>\n<p>Mianownik równa się zero, gdy jeden z czynników jest równy zero:<br>\\[(x - 1) = 0 \\implies x = 1\\]<br>\\[(x + 1) = 0 \\implies x = -1\\]</p>\n<p>Ten sam wynik - szybciej i bez liczenia delty.</p>\n<p><strong>Weryfikacja:</strong> Sprawdźmy, że licznik \\(x + 4\\) nie powoduje dodatkowych wykluczeń:</p>\n<ul><li>\\(x = -4\\) daje \\(f(-4) = \\frac{0}{(-4)^2 - 1} = \\frac{0}{15} = 0\\) - wartość <strong>dozwolona</strong> (ułamek może mieć wartość 0)</li></ul>\n<p><strong>Licznik nigdy nie wyklucza wartości z dziedziny</strong> - tylko mianownik ma znaczenie.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):</strong><br>\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]<br>Użyliśmy go w Sposobie 2 do faktoryzacji \\(x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\\).</p>\n<p>Ewentualnie w Sposobie 1 wystarczą podstawowe własności funkcji - mianownik ≠ 0 to definicja, nie wzór z karty.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A | \\(x = -4\\) wyklucza się dlatego, że <strong>licznik</strong> \\(x + 4 = 0\\) - ale zerowy licznik daje \\(f(-4) = 0\\), co jest <strong>dozwolone</strong>. Do wykluczenia z dziedziny liczy się tylko <strong>mianownik</strong>. |<br>| B | Analogicznie - \\(x = -4\\) z licznika nie stanowi problemu; poprawnie wyznaczono \\(x = 1\\) z mianownika, ale nie znaleziono \\(x = -1\\). |<br>| C | \\(x = 0\\) nie wyklucza: \\(f(0) = \\frac{4}{0 - 1} = -4\\) - wartość istnieje. Pominięto \\(x = -1\\). |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kiedy <strong>licznik</strong> równa się zero, ułamek ma wartość \\(0\\) - to jest poprawna liczba! Wykluczamy tylko wartości, dla których <strong>mianownik</strong> = 0.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Równanie \\(x^2 = 1\\) ma <strong>dwa</strong> rozwiązania: \\(x = 1\\) <strong>i</strong> \\(x = -1\\). Łatwo zapomnieć o rozwiązaniu ujemnym i wybrać odpowiedź C zamiast D.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(x^2 - 1\\) to <strong>różnica kwadratów</strong>, a nie \\((x-1)^2\\). Nie myl: \\((x-1)^2 = x^2 - 2x + 1\\), ale \\(x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\\) - stąd dwa różne pierwiastki.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<p><strong>Rozwiązanie:</strong></p>\n<p>Obliczamy wartości:<br>\\(\\sin 120° = \\sin(180° - 60°) = \\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\)<br>\\(\\cos 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\)</p>\n<p>\\(\\sin 120° - \\cos 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2} - \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 0\\)</p>\n<p>A \\(\\sin 0° = 0\\), więc odpowiedź to C.</p>\n<p><strong>Użyte wzory z karty CKE:</strong> Wzory redukcyjne: \\(\\sin(180° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\); tablica wartości funkcji trygonometrycznych</p>\n<p><strong>Dlaczego inne błędne:</strong></p>\n<ul><li>A. \\(\\sin 90° = 1 \\neq 0\\)</li><li>B. \\(\\sin 150° = \\sin 30° = \\frac{1}{2} \\neq 0\\)</li><li>D. \\(\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\neq 0\\)</li></ul>"}]}