{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (1 pkt)\nMiejscem zerowym funkcji liniowej określonej wzorem\n4\n3\n2\n)\n(\nx\nx\nf\njest\nA. 0\nB. 6\nC. 4\nD.\n6","answer":"B","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n4. Funkcje. Zdający odczytuje z wykresu\nfunkcji miejsce zerowe oraz sporządza\nwykresy funkcji liniowych (4.b,e).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\dfrac{x^2 - x + 1}{x(x-1)}\\)\n\n(Zadanie otwarte - wyznaczamy uproszczoną postać wyrażenia.)\n\n## Sposób 1 - Sprowadzenie do wspólnego mianownika\n\n**Szukamy wspólnego mianownika** dla dwóch ułamków: \\(\\frac{x}{x-1}\\) i \\(\\frac{1}{x}\\).\n\nMianowniki to \\((x-1)\\) oraz \\(x\\), więc wspólny mianownik to \\(x(x-1)\\).\n\nRozszerzamy każdy ułamek:\n\n\\[\\frac{x}{x-1} = \\frac{x \\cdot x}{x(x-1)} = \\frac{x^2}{x(x-1)}\\]\n\n\\[\\frac{1}{x} = \\frac{1 \\cdot (x-1)}{x(x-1)} = \\frac{x-1}{x(x-1)}\\]\n\nTeraz odejmujemy:\n\n\\[\\frac{x^2}{x(x-1)} - \\frac{x-1}{x(x-1)} = \\frac{x^2 - (x-1)}{x(x-1)}\\]\n\n**Uwaga na nawias!** Odejmujemy cały wielomian \\((x-1)\\):\n\n\\[= \\frac{x^2 - x + 1}{x(x-1)}\\]\n\nSprawdzamy, czy licznik \\(x^2 - x + 1\\) daje się dalej rozłożyć. Wyróżnik trójmianu:\n\n\\[\\Delta = (-1)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 1 = 1 - 4 = -3 < 0\\]\n\nSkoro \\(\\Delta < 0\\), **licznik nie ma pierwiastków rzeczywistych** i nie można go skrócić z mianownikiem.\n\n**Wynik końcowy:**\n\n\\[\\boxed{\\dfrac{x^2 - x + 1}{x(x-1)}}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie konkretnej wartości\n\nSprawdzamy poprawność dla \\(x = 2\\):\n\n**Wyrażenie wyjściowe:**\n\\[\\frac{2}{2-1} - \\frac{1}{2} = \\frac{2}{1} - \\frac{1}{2} = 2 - \\frac{1}{2} = \\frac{3}{2}\\]\n\n**Nasz wynik:**\n\\[\\frac{2^2 - 2 + 1}{2(2-1)} = \\frac{4 - 2 + 1}{2 \\cdot 1} = \\frac{3}{2}\\]\n\nWyniki są zgodne - uproszczenie jest poprawne.\n\nSprawdzamy też dla \\(x = -1\\):\n\n**Wyrażenie wyjściowe:**\n\\[\\frac{-1}{-1-1} - \\frac{1}{-1} = \\frac{-1}{-2} + 1 = \\frac{1}{2} + 1 = \\frac{3}{2}\\]\n\n**Nasz wynik:**\n\\[\\frac{(-1)^2 - (-1) + 1}{(-1)(-1-1)} = \\frac{1 + 1 + 1}{(-1)(-2)} = \\frac{3}{2}\\]\n\nZgadza się.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe działania na ułamkach algebraicznych (rozszerzanie, sprowadzanie do wspólnego mianownika) oraz znajomość wyróżnika trójmianu kwadratowego do sprawdzenia możliwości skrócenia.\n\nPomocniczo:\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)** - wyróżnik trójmianu:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyliśmy go do sprawdzenia, że \\(x^2 - x + 1\\) jest nierozkładalny (\\(\\Delta < 0\\)).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to **zgubienie minusa przed nawiasem**: \\(x^2 - (x-1) = x^2 - x + 1\\), a nie \\(x^2 - x - 1\\). Minus przed nawiasem zmienia znak **obu** składników.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno skracać \\(\\frac{x^2 - x + 1}{x(x-1)}\\) przez \\(x\\) ani przez \\((x-1)\\) - czynniki z mianownika nie są dzielnikami licznika (sprawdziliśmy przez \\(\\Delta < 0\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj o dziedzinie: wynik \\(\\frac{x^2 - x + 1}{x(x-1)}\\) jest określony dokładnie dla tych samych \\(x\\), co wyrażenie wyjściowe - czyli \\(x \\neq 0\\) i \\(x \\neq 1\\).\n\n**Odpowiedź: \\(\\frac{3}{2}\\sin 2\\alpha\\)**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nWyciągamy wspólny czynnik:\n\\(3\\sin^3\\alpha\\cos\\alpha + 3\\sin\\alpha\\cos^3\\alpha = 3\\sin\\alpha\\cos\\alpha(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha)\\)\n\nStosujemy jedynkę trygonometryczną \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\):\n\\(= 3\\sin\\alpha\\cos\\alpha \\cdot 1 = 3\\sin\\alpha\\cos\\alpha\\)\n\nStosujemy wzór na sinus podwojonego kąta \\(\\sin 2\\alpha = 2\\sin\\alpha\\cos\\alpha\\):\n\\(3\\sin\\alpha\\cos\\alpha = \\frac{3}{2} \\cdot 2\\sin\\alpha\\cos\\alpha = \\frac{3}{2}\\sin 2\\alpha\\)\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Jedynka trygonometryczna \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\), wzór \\(\\sin 2\\alpha = 2\\sin\\alpha\\cos\\alpha\\)","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 8. (1 pkt)
Miejscem zerowym funkcji liniowej określonej wzorem
4
3
2
)
(
x
x
f
jest
A. 0
B. 6
C. 4
D.
6

","answer_text_html":"

Zadanie 8. (0-1)
I. Wykorzystanie
i tworzenie informacji.

\n
  1. Funkcje. Zdający odczytuje z wykresu
\n

funkcji miejsce zerowe oraz sporządza
wykresy funkcji liniowych (4.b,e).
Wersja
I
Wersja
II
B
D

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(\\dfrac{x^2 - x + 1}{x(x-1)}\\)

\n

(Zadanie otwarte - wyznaczamy uproszczoną postać wyrażenia.)

\n

Sposób 1 - Sprowadzenie do wspólnego mianownika

\n

Szukamy wspólnego mianownika dla dwóch ułamków: \\(\\frac{x}{x-1}\\) i \\(\\frac{1}{x}\\).

\n

Mianowniki to \\((x-1)\\) oraz \\(x\\), więc wspólny mianownik to \\(x(x-1)\\).

\n

Rozszerzamy każdy ułamek:

\n

\\[\\frac{x}{x-1} = \\frac{x \\cdot x}{x(x-1)} = \\frac{x^2}{x(x-1)}\\]

\n

\\[\\frac{1}{x} = \\frac{1 \\cdot (x-1)}{x(x-1)} = \\frac{x-1}{x(x-1)}\\]

\n

Teraz odejmujemy:

\n

\\[\\frac{x^2}{x(x-1)} - \\frac{x-1}{x(x-1)} = \\frac{x^2 - (x-1)}{x(x-1)}\\]

\n

Uwaga na nawias! Odejmujemy cały wielomian \\((x-1)\\):

\n

\\[= \\frac{x^2 - x + 1}{x(x-1)}\\]

\n

Sprawdzamy, czy licznik \\(x^2 - x + 1\\) daje się dalej rozłożyć. Wyróżnik trójmianu:

\n

\\[\\Delta = (-1)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 1 = 1 - 4 = -3 < 0\\]

\n

Skoro \\(\\Delta < 0\\), licznik nie ma pierwiastków rzeczywistych i nie można go skrócić z mianownikiem.

\n

Wynik końcowy:

\n

\\[\\boxed{\\dfrac{x^2 - x + 1}{x(x-1)}}\\]

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie konkretnej wartości

\n

Sprawdzamy poprawność dla \\(x = 2\\):

\n

Wyrażenie wyjściowe:
\\[\\frac{2}{2-1} - \\frac{1}{2} = \\frac{2}{1} - \\frac{1}{2} = 2 - \\frac{1}{2} = \\frac{3}{2}\\]

\n

Nasz wynik:
\\[\\frac{2^2 - 2 + 1}{2(2-1)} = \\frac{4 - 2 + 1}{2 \\cdot 1} = \\frac{3}{2}\\]

\n

Wyniki są zgodne - uproszczenie jest poprawne.

\n

Sprawdzamy też dla \\(x = -1\\):

\n

Wyrażenie wyjściowe:
\\[\\frac{-1}{-1-1} - \\frac{1}{-1} = \\frac{-1}{-2} + 1 = \\frac{1}{2} + 1 = \\frac{3}{2}\\]

\n

Nasz wynik:
\\[\\frac{(-1)^2 - (-1) + 1}{(-1)(-1-1)} = \\frac{1 + 1 + 1}{(-1)(-2)} = \\frac{3}{2}\\]

\n

Zgadza się.

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe działania na ułamkach algebraicznych (rozszerzanie, sprowadzanie do wspólnego mianownika) oraz znajomość wyróżnika trójmianu kwadratowego do sprawdzenia możliwości skrócenia.

\n

Pomocniczo:

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8) - wyróżnik trójmianu:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]
Użyliśmy go do sprawdzenia, że \\(x^2 - x + 1\\) jest nierozkładalny (\\(\\Delta < 0\\)).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to zgubienie minusa przed nawiasem: \\(x^2 - (x-1) = x^2 - x + 1\\), a nie \\(x^2 - x - 1\\). Minus przed nawiasem zmienia znak obu składników.
\n
⚠️ Uwaga: Nie wolno skracać \\(\\frac{x^2 - x + 1}{x(x-1)}\\) przez \\(x\\) ani przez \\((x-1)\\) - czynniki z mianownika nie są dzielnikami licznika (sprawdziliśmy przez \\(\\Delta < 0\\)).
\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj o dziedzinie: wynik \\(\\frac{x^2 - x + 1}{x(x-1)}\\) jest określony dokładnie dla tych samych \\(x\\), co wyrażenie wyjściowe - czyli \\(x \\neq 0\\) i \\(x \\neq 1\\).
\n

Odpowiedź: \\(\\frac{3}{2}\\sin 2\\alpha\\)

\n

Rozwiązanie:

\n

Wyciągamy wspólny czynnik:
\\(3\\sin^3\\alpha\\cos\\alpha + 3\\sin\\alpha\\cos^3\\alpha = 3\\sin\\alpha\\cos\\alpha(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha)\\)

\n

Stosujemy jedynkę trygonometryczną \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\):
\\(= 3\\sin\\alpha\\cos\\alpha \\cdot 1 = 3\\sin\\alpha\\cos\\alpha\\)

\n

Stosujemy wzór na sinus podwojonego kąta \\(\\sin 2\\alpha = 2\\sin\\alpha\\cos\\alpha\\):
\\(3\\sin\\alpha\\cos\\alpha = \\frac{3}{2} \\cdot 2\\sin\\alpha\\cos\\alpha = \\frac{3}{2}\\sin 2\\alpha\\)

\n

Użyte wzory z karty CKE: Jedynka trygonometryczna \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\), wzór \\(\\sin 2\\alpha = 2\\sin\\alpha\\cos\\alpha\\)

"}]}