{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (1 pkt)\nPunkt\n1 , 3\n2\nM\n\n\n= \n\n\n\nnależy\ndo\nwykresu\nfunkcji\nliniowej\nokreślonej\nwzorem\n(\n)\n( )\n3\n2\n2\nf x\na x\n. Wtedy\nA.\n1\n2\na = -\nB.\n2\na =\nC.\n1\n2\na =\nD.\n2\na = -","answer":"C","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający wyznacza wzór funkcji\nliniowej (4.f).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - 6\n\n## Sposób 1 - Zamiana podstawy logarytmu\n\nZaczynamy od obliczenia \\(\\log_4 2\\).\n\nZauważamy, że \\(2 = \\sqrt{4} = 4^{\\frac{1}{2}}\\), więc korzystamy z definicji logarytmu:\n\\[\\log_4 2 = \\log_4 4^{\\frac{1}{2}} = \\frac{1}{2}\\]\n\nTeraz podstawiamy do wyrażenia:\n\\[8\\log_4 2 + 2 = 8 \\cdot \\frac{1}{2} + 2 = 4 + 2 = \\mathbf{6}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez zmianę podstawy na logarytm dziesiętny\n\nKorzystamy z wzoru na zmianę podstawy:\n\\[\\log_4 2 = \\frac{\\log 2}{\\log 4} = \\frac{\\log 2}{\\log 2^2} = \\frac{\\log 2}{2 \\log 2} = \\frac{1}{2}\\]\n\nWynik jak poprzednio:\n\\[8 \\cdot \\frac{1}{2} + 2 = 4 + 2 = \\mathbf{6}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)** - definicja logarytmu i własność potęgi:\n\\[\\log_a b = c \\iff a^c = b\\]\n\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]\nUżyliśmy tego, żeby zapisać \\(\\log_4 2 = \\log_4 4^{\\frac{1}{2}} = \\frac{1}{2}\\).\n\n**Dział 3 - zmiana podstawy (s. 5-6)**:\n\\[\\log_b c = \\frac{\\log_a c}{\\log_a b}\\]\nUżyte w Sposobie 2 do sprowadzenia logarytmu do postaci ułamkowej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A - 8 | Uczeń przyjął \\(\\log_4 2 = 1\\) (jakby \\(4 = 2\\)), przez co \\(8 \\cdot 1 + 2 = 10\\)… albo pominął dodawanie \\(+2\\) i wynik \\(8 \\cdot 1 = 8\\) |\n| C - 4 | Uczeń obliczył poprawnie \\(8 \\cdot \\frac{1}{2} = 4\\), ale **zapomniał dodać \\(+2\\)** |\n| D - 3,5 | Uczeń pomylił \\(\\log_4 2\\) z \\(\\log_2 4 = 2\\), więc obliczył \\(\\frac{8}{2} + 2 = 4 + 2\\)… nie, lub inaczej: przyjął \\(8 \\div 4 + \\frac{1}{4} = 2 + 1{,}5\\)? Możliwe też, że zamienił argumenty: \\(\\log_2 4 = 2\\), wtedy \\(\\frac{8}{2} - \\frac{1}{2} = 3{,}5\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to **zapomnienie o +2** - uczeń liczy logarytm prawidłowo (\\(\\frac{1}{2}\\)), mnoży \\(8 \\cdot \\frac{1}{2} = 4\\) i wybiera C, nie dokańczając zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\log_4 2 \\neq \\log_2 4\\)! Kolejność zapisu ma znaczenie: \\(\\log_4 2 = \\frac{1}{2}\\), natomiast \\(\\log_2 4 = 2\\). To dwa różne logarytmy!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdzaj, czy podstawa \\(4\\) jest potęgą argumentu \\(2\\) - tu \\(4 = 2^2\\), więc \\(2 = 4^{1/2}\\), co od razu daje wynik bez długich obliczeń.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nProsta przechodzi przez punkty \\((0, -2)\\) i \\((6, 2)\\).\n\nWspółczynnik kierunkowy:\n\\(a = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \\frac{2 - (-2)}{6 - 0} = \\frac{4}{6} = \\frac{2}{3}\\)\n\nWyraz wolny: prosta przechodzi przez \\((0, -2)\\), więc \\(b = -2\\).\n\nOdpowiedź: \\(a = \\frac{2}{3},\\ b = -2\\)\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Równanie kierunkowe prostej \\(y = ax + b\\)\n\n**Dlaczego inne błędne:**\n- B. \\(a = 3\\) - odwrócony ułamek\n- C. \\(b = 2\\) - prosta przechodzi przez \\((0, -2)\\), nie \\((0, 2)\\)\n- D. \\(a = -3, b = 2\\) - oba współczynniki błędne","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 9. (1 pkt)<br>Punkt<br>1 , 3<br>2<br>M<br><br><br>= <br><br><br><br>należy<br>do<br>wykresu<br>funkcji<br>liniowej<br>określonej<br>wzorem<br>(<br>)<br>( )<br>3<br>2<br>2<br>f x<br>a x<br>. Wtedy<br>A.<br>1<br>2<br>a = -<br>B.<br>2<br>a =<br>C.<br>1<br>2<br>a =<br>D.<br>2<br>a = -</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 9. (0-1)<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Funkcje. Zdający wyznacza wzór funkcji</li></ol>\n<p>liniowej (4.f).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>C<br>B</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - 6</h4>\n<h4>Sposób 1 - Zamiana podstawy logarytmu</h4>\n<p>Zaczynamy od obliczenia \\(\\log_4 2\\).</p>\n<p>Zauważamy, że \\(2 = \\sqrt{4} = 4^{\\frac{1}{2}}\\), więc korzystamy z definicji logarytmu:<br>\\[\\log_4 2 = \\log_4 4^{\\frac{1}{2}} = \\frac{1}{2}\\]</p>\n<p>Teraz podstawiamy do wyrażenia:<br>\\[8\\log_4 2 + 2 = 8 \\cdot \\frac{1}{2} + 2 = 4 + 2 = \\mathbf{6}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Przez zmianę podstawy na logarytm dziesiętny</h4>\n<p>Korzystamy z wzoru na zmianę podstawy:<br>\\[\\log_4 2 = \\frac{\\log 2}{\\log 4} = \\frac{\\log 2}{\\log 2^2} = \\frac{\\log 2}{2 \\log 2} = \\frac{1}{2}\\]</p>\n<p>Wynik jak poprzednio:<br>\\[8 \\cdot \\frac{1}{2} + 2 = 4 + 2 = \\mathbf{6}\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)</strong> - definicja logarytmu i własność potęgi:<br>\\[\\log_a b = c \\iff a^c = b\\]<br>\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]<br>Użyliśmy tego, żeby zapisać \\(\\log_4 2 = \\log_4 4^{\\frac{1}{2}} = \\frac{1}{2}\\).</p>\n<p><strong>Dział 3 - zmiana podstawy (s. 5-6)</strong>:<br>\\[\\log_b c = \\frac{\\log_a c}{\\log_a b}\\]<br>Użyte w Sposobie 2 do sprowadzenia logarytmu do postaci ułamkowej.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A - 8 | Uczeń przyjął \\(\\log_4 2 = 1\\) (jakby \\(4 = 2\\)), przez co \\(8 \\cdot 1 + 2 = 10\\)… albo pominął dodawanie \\(+2\\) i wynik \\(8 \\cdot 1 = 8\\) |<br>| C - 4 | Uczeń obliczył poprawnie \\(8 \\cdot \\frac{1}{2} = 4\\), ale <strong>zapomniał dodać \\(+2\\)</strong> |<br>| D - 3,5 | Uczeń pomylił \\(\\log_4 2\\) z \\(\\log_2 4 = 2\\), więc obliczył \\(\\frac{8}{2} + 2 = 4 + 2\\)… nie, lub inaczej: przyjął \\(8 \\div 4 + \\frac{1}{4} = 2 + 1{,}5\\)? Możliwe też, że zamienił argumenty: \\(\\log_2 4 = 2\\), wtedy \\(\\frac{8}{2} - \\frac{1}{2} = 3{,}5\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd to <strong>zapomnienie o +2</strong> - uczeń liczy logarytm prawidłowo (\\(\\frac{1}{2}\\)), mnoży \\(8 \\cdot \\frac{1}{2} = 4\\) i wybiera C, nie dokańczając zadania.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(\\log_4 2 \\neq \\log_2 4\\)! Kolejność zapisu ma znaczenie: \\(\\log_4 2 = \\frac{1}{2}\\), natomiast \\(\\log_2 4 = 2\\). To dwa różne logarytmy!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zawsze sprawdzaj, czy podstawa \\(4\\) jest potęgą argumentu \\(2\\) - tu \\(4 = 2^2\\), więc \\(2 = 4^{1/2}\\), co od razu daje wynik bez długich obliczeń.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<p><strong>Rozwiązanie:</strong></p>\n<p>Prosta przechodzi przez punkty \\((0, -2)\\) i \\((6, 2)\\).</p>\n<p>Współczynnik kierunkowy:<br>\\(a = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \\frac{2 - (-2)}{6 - 0} = \\frac{4}{6} = \\frac{2}{3}\\)</p>\n<p>Wyraz wolny: prosta przechodzi przez \\((0, -2)\\), więc \\(b = -2\\).</p>\n<p>Odpowiedź: \\(a = \\frac{2}{3},\\ b = -2\\)</p>\n<p><strong>Użyte wzory z karty CKE:</strong> Równanie kierunkowe prostej \\(y = ax + b\\)</p>\n<p><strong>Dlaczego inne błędne:</strong></p>\n<ul><li>B. \\(a = 3\\) - odwrócony ułamek</li><li>C. \\(b = 2\\) - prosta przechodzi przez \\((0, -2)\\), nie \\((0, 2)\\)</li><li>D. \\(a = -3, b = 2\\) - oba współczynniki błędne</li></ul>"}]}