Zadanie 1. (3 pkt)
Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej x różnej od 1 oraz dla każdej dodatniej
liczby rzeczywistej y różnej od 1 prawdziwa jest równość
(
)
(
)
log
log
log
log
x
y
y
x
y
y
xy
xy
x
x
⋅
⋅
Poziom rozszerzony
MMA_1R
x
y
log
y
x
log
y
x
⋅
log
x
y
Rozwiązujemy nierówność \\(|2x - 8| \\leq 10\\), by wyznaczyć granice zbioru zaznaczonego na osi liczbowej. Na rysunku widać, że lewa granica to \\(-1\\), a prawa to szukane \\(k\\).
\nKorzystamy z definicji wartości bezwzględnej: \\(|A| \\leq r \\iff -r \\leq A \\leq r\\):
\n\\[|2x - 8| \\leq 10\\]
\\[-10 \\leq 2x - 8 \\leq 10\\]
Dodajemy \\(8\\) do każdej części:
\n\\[-10 + 8 \\leq 2x \\leq 10 + 8\\]
\\[-2 \\leq 2x \\leq 18\\]
Dzielimy każdą część przez \\(2\\):
\n\\[-1 \\leq x \\leq 9\\]
\nZbiór rozwiązań to \\(\\langle -1,\\ 9 \\rangle\\). Lewa granica to \\(-1\\) (zgodna z rysunkiem), prawa to \\(\\mathbf{k = 9}\\).
\nPrzepisujemy nierówność w postaci sugerującej odległość od punktu:
\n\\[|2x - 8| \\leq 10 \\implies 2|x - 4| \\leq 10 \\implies |x - 4| \\leq 5\\]
\nInterpretacja: szukamy liczb \\(x\\), których odległość od \\(4\\) na osi liczbowej jest co najwyżej \\(5\\).
\nKorzystamy ze wzoru \\(|x - a| \\leq r \\iff \\langle a - r,\\ a + r \\rangle\\):
\n\\[x \\in \\langle 4 - 5,\\ 4 + 5 \\rangle = \\langle -1,\\ 9 \\rangle\\]
\nPrawa granica to środek \\(+\\) promień \\(= 4 + 5 = \\mathbf{9}\\), zatem \\(\\mathbf{k = 9}\\). ✓
\nDział 1 (Wartość bezwzględna, s. 4) - nierówność z wartością bezwzględną:
\\[|x - a| \\leq r \\iff a - r \\leq x \\leq a + r\\]
Użyliśmy tego w obu sposobach - w Sposobie 1 bezpośrednio, w Sposobie 2 po uproszczeniu do postaci \\(|x - 4| \\leq 5\\).
| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A: \\(k = 2\\) | Uczeń myli \\(k\\) z połową zakresu: \\(\\frac{18}{2} = 9\\), ale myśląc, że \\(k\\) to promień (\\(5\\)), myli się o \\(2\\). Błąd bez sensu algebraicznego. |
| B: \\(k = 4\\) | Uczeń wyznacza środek przedziału: \\(\\frac{-b}{2a} = \\frac{8}{2} = 4\\), ale to wierzchołek, nie prawa granica. |
| C: \\(k = 5\\) | Uczeń bierze samą prawą stronę nierówności \\(10\\) i dzieli przez \\(2\\): \\(\\frac{10}{2} = 5\\) - pomija stałą \\(-8\\) w środku wartości bezwzględnej. |
⚠️ Uwaga: Przy \\(|2x - 8| \\leq 10\\) - nie zapomnij podzielić całej nierówności przez \\(2\\)! Wielu uczniów wyciąga \\(-8\\) z wartości bezwzględnej bez uprzedniego pomnożenia lub zapomina podzielić przez 2 po wyciągnięciu.\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj, że \\(|2x - 8| = 2|x - 4|\\) - wyciąganie czynnika \\(2\\) przed wartość bezwzględną jest dozwolone tylko gdy jest on nieujemny (tutaj \\(2 > 0\\), więc OK).\n
⚠️ Uwaga: Na osi liczbowej zawsze sprawdź obie granice - lewą i prawą. Tu lewa granica \\(-1\\) jest dana przez rysunek i służy jako weryfikacja poprawności rachunków.\n
Poprawna odpowiedź: D
\nNierówność \\(|2x-8| \\leq 10\\) jest równoważna podwójnej nierówności:
\\[-10 \\leq 2x - 8 \\leq 10\\]
Dodajemy 8 do wszystkich części:
\\[-2 \\leq 2x \\leq 18\\]
Dzielimy przez 2:
\\[-1 \\leq x \\leq 9\\]
Zatem zbiorem rozwiązań jest przedział \\(\\langle -1, 9 \\rangle\\). Z rysunku widać, że lewy koniec to \\(-1\\), więc prawy koniec \\(k = 9\\).
Nierówność \\(|2x-8| \\leq 10\\) można zapisać jako \\(|x-4| \\leq 5\\) (dzieląc obie strony przez 2). Oznacza to, że odległość \\(x\\) od punktu \\(4\\) jest nie większa niż \\(5\\). Środek przedziału to \\(x=4\\), promień \\(5\\), więc końce: \\(4-5=-1\\) oraz \\(4+5=9\\). Stąd \\(k=9\\).
\nTrik/Klucz: Przy \\(|ax+b| \\leq c\\) rozpisz jako \\(-c \\leq ax+b \\leq c\\) lub podziel przez \\(a\\) by dostać \\(|x-x_0| \\leq r\\) (interpretacja jako odległość).
\nPoprawna odpowiedź: C
\nMusimy rozwiązać nierówność \\(2x - 8 \\leq 10\\).
Dodajemy 8 do obu stron:
\\(2x \\leq 18\\)
Dzielimy obie strony przez 2:
\\(x \\leq 9\\)
Oznacza to, że wszystkie liczby rzeczywiste spełniające nierówność są takie, które są mniejsze lub równe 9.
Wykres przedstawia zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających \\(x \\leq 9\\). Z wykresu widzimy, że zbiór ten obejmuje liczby od -1 do k (włącznie) oraz wszystkie liczby większe niż k. Ponieważ \\(x \\leq 9\\), to k musi być mniejsze lub równe 9.
\nZ wykresu wynika, że \\(k = 9\\).
\n📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r
\nOś na wykresie reprezentuje wartości x. Z wykresu widzimy, że lewa granica zbioru to -1, a prawa granica to k. Ponieważ \\(x \\leq 9\\), to k musi być mniejsze lub równe 9.
\nZ wykresu widać, że \\(k = 9\\).
\nZatem, \\(k = 9\\).
\n📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r
\nW obu sposobach rozwiązania, z wykresu wynika, że \\(k = 9\\). Wykres pokazuje, że zbiór liczb spełniających nierówność jest przedziałem od -1 do 9 (włącznie).
"}]}