{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"10","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (6 pkt)\nKrawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS ma długość a. Ściana\nboczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem 2α . Ostrosłup ten\nprzecięto płaszczyzną, która przechodzi przez krawędź podstawy i dzieli na połowy kąt\npomiędzy ścianą boczną i podstawą. Oblicz pole powstałego przekroju tego ostrosłupa.\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n10.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"19\n19\n19","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nPoprawna długość przekątnej wynosi \\(AC = \\sqrt{\\dfrac{253}{13}}\\).\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie cosinusów + własność czworokąta wpisanego w okrąg\n\n**Kluczowa własność:** Skoro na czworokącie \\(ABCD\\) opisano okrąg, to \\(ABCD\\) jest **czworokątem cyklicznym** (wpisanym w okrąg). Dla takiego czworokąta suma kątów naprzeciwległych wynosi \\(180°\\):\n\\[\\angle ABC + \\angle CDA = 180°\\]\n\nOznaczmy \\(\\angle ABC = \\beta\\) i \\(\\angle CDA = \\delta\\). Mamy więc \\(\\delta = 180° - \\beta\\), skąd:\n\\[\\cos\\delta = \\cos(180° - \\beta) = -\\cos\\beta\\]\n\n**Krok 1: Twierdzenie cosinusów w △ABC** (boki \\(AB = 2\\), \\(BC = 3\\), kąt \\(\\beta\\) przy \\(B\\)):\n\\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \\cdot AB \\cdot BC \\cdot \\cos\\beta = 4 + 9 - 12\\cos\\beta = 13 - 12\\cos\\beta\\]\n\n**Krok 2: Twierdzenie cosinusów w △ACD** (boki \\(CD = 4\\), \\(DA = 5\\), kąt \\(\\delta\\) przy \\(D\\)):\n\\[AC^2 = CD^2 + DA^2 - 2 \\cdot CD \\cdot DA \\cdot \\cos\\delta = 16 + 25 - 40\\cos\\delta = 41 + 40\\cos\\beta\\]\n\n**Krok 3: Przyrównuję obie ekspresje na \\(AC^2\\):**\n\\[13 - 12\\cos\\beta = 41 + 40\\cos\\beta\\]\n\\[-28 = 52\\cos\\beta\\]\n\\[\\cos\\beta = -\\frac{28}{52} = -\\frac{7}{13}\\]\n\n**Krok 4: Obliczam \\(AC^2\\):**\n\\[AC^2 = 13 - 12\\cdot\\left(-\\frac{7}{13}\\right) = 13 + \\frac{84}{13} = \\frac{169 + 84}{13} = \\frac{253}{13}\\]\n\n**Weryfikacja drugą ścieżką:**\n\\[AC^2 = 41 + 40\\cdot\\left(-\\frac{7}{13}\\right) = 41 - \\frac{280}{13} = \\frac{533 - 280}{13} = \\frac{253}{13} \\checkmark\\]\n\n\\[\\boxed{AC = \\sqrt{\\frac{253}{13}}}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja twierdzeniem Ptolemeusza\n\nDla czworokąta wpisanego w okrąg zachodzi **twierdzenie Ptolemeusza**:\n\\[AC \\cdot BD = AB \\cdot CD + BC \\cdot DA\\]\n\nPrawa strona: \\(2 \\cdot 4 + 3 \\cdot 5 = 8 + 15 = 23\\), więc \\(AC \\cdot BD = 23\\).\n\nWyznaczam \\(BD\\) analogicznie - tym razem przez kąty \\(\\angle DAB = \\alpha\\) i \\(\\angle BCD = \\gamma = 180° - \\alpha\\):\n\nTrójkąt \\(ABD\\) (boki \\(DA = 5\\), \\(AB = 2\\), kąt \\(\\alpha\\)):\n\\[BD^2 = 25 + 4 - 20\\cos\\alpha = 29 - 20\\cos\\alpha\\]\n\nTrójkąt \\(BCD\\) (boki \\(BC = 3\\), \\(CD = 4\\), kąt \\(\\gamma\\), więc \\(\\cos\\gamma = -\\cos\\alpha\\)):\n\\[BD^2 = 9 + 16 + 24\\cos\\alpha = 25 + 24\\cos\\alpha\\]\n\nPrzyrównuję:\n\\[29 - 20\\cos\\alpha = 25 + 24\\cos\\alpha \\implies \\cos\\alpha = \\frac{4}{44} = \\frac{1}{11}\\]\n\n\\[BD^2 = 25 + \\frac{24}{11} = \\frac{299}{11} \\implies BD = \\sqrt{\\frac{299}{11}}\\]\n\n**Sprawdzam Ptolemeusza:**\n\\[AC \\cdot BD = \\sqrt{\\frac{253}{13}} \\cdot \\sqrt{\\frac{299}{11}} = \\sqrt{\\frac{253 \\cdot 299}{143}}\\]\n\nLiczę: \\(253 \\cdot 299 = 75\\,647\\) oraz \\(\\dfrac{75\\,647}{143} = 529 = 23^2\\)\n\nZatem \\(AC \\cdot BD = 23\\) - **zgodne z twierdzeniem Ptolemeusza** \\(\\checkmark\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - twierdzenie cosinusów:\n\\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\\cos\\alpha\\]\nUżyte dwukrotnie: w △\\(ABC\\) i w △\\(ACD\\), aby wyrazić \\(AC^2\\) przez kąty naprzeciwległe.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 20)** - własność czworokąta wpisanego w okrąg:\n\\[\\alpha + \\gamma = \\beta + \\delta = 180°\\]\nKluczowa własność - pozwala powiązać dwa różne wyrażenia na \\(AC^2\\) i wyeliminować niewiadomą kąt \\(\\beta\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Błąd | Skutek | Pułapka |\n| Użycie \\(\\cos\\delta = +\\cos\\beta\\) zamiast \\(-\\cos\\beta\\) | Otrzymujemy \\(28\\cos\\beta = -28\\), \\(\\cos\\beta = -1\\) - absurd (\\(\\beta = 180°\\)) | Pomyłka we wzorze redukcyjnym: \\(\\cos(180° - x) = -\\cos x\\), nie \\(+\\cos x\\) |\n| Pominięcie własności czworokąta cyklicznego | Dwa równania z dwiema nieznanymi \\(AC\\) i \\(\\beta\\) - brak jednoznacznego rozwiązania | Bez warunku \\(\\beta + \\delta = 180°\\) zadanie jest niewyznaczalne |\n| Twierdzenie Pitagorasa zamiast cosinusów | Wynik poprawny tylko dla kąta prostego, którego tutaj nie ma | Przekątna \\(AC\\) nie tworzy trójkąta prostokątnego z żadnymi dwoma bokami |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Opisano okrąg na czworokącie\" = okrąg przechodzi przez wszystkie 4 wierzchołki (czworokąt wpisany w okrąg). Nie mylić z okręgiem **wpisanym**, który dotyka boków! Własność \\(\\beta + \\delta = 180°\\) dotyczy wyłącznie czworokąta wpisanego.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(\\cos(180° - x) = -\\cos x\\) - znak minus jest absolutnie kluczowy. Bez niego oba równania na \\(AC^2\\) nie dadzą się rozwiązać lub dadzą wynik sprzeczny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W △\\(ABC\\) kąt \\(\\beta\\) to kąt przy wierzchołku \\(B\\), czyli naprzeciwko szukanej przekątnej \\(AC\\). Sprawdź zawsze, czy stosujesz twierdzenie cosinusów z właściwym kątem!\n\n**Wynik:** \\(|AC|=\\sqrt{\\dfrac{286}{7}}=\\dfrac{\\sqrt{2002}}{7}\\)\n\n### Sposób 1 - Twierdzenie cosinusów i własność czworokąta wpisanego\n\nW czworokącie \\(ABCD\\) wpisanym w okrąg kąty \\(\\angle B\\) i \\(\\angle D\\) są przeciwległe, więc \\(\\angle B+\\angle D=180^{\\circ}\\), czyli \\(\\cos D=-\\cos B\\).\n\nW trójkącie \\(ABC\\) (tw. cosinusów, karta wzorów dział 7):\n\\[|AC|^{2}=|AB|^{2}+|BC|^{2}-2|AB||BC|\\cos B = 4+9-12\\cos B = 13-12\\cos B\\]\n\nW trójkącie \\(ACD\\):\n\\[|AC|^{2}=|CD|^{2}+|DA|^{2}-2|CD||DA|\\cos D = 16+25-40\\cos D = 41-40\\cos D\\]\n\nPonieważ \\(\\cos D=-\\cos B\\):\n\\[13-12\\cos B = 41+40\\cos B\\]\n\\[-52\\cos B = 28\\]\n\\[\\cos B = -\\dfrac{28}{52} = -\\dfrac{7}{13}\\]\n\nZatem:\n\\[|AC|^{2}=13-12 \\cdot \\left(-\\dfrac{7}{13}\\right)=13+\\dfrac{84}{13}=\\dfrac{169+84}{13}=\\dfrac{253}{13}\\]\n\\[|AC|=\\sqrt{\\dfrac{253}{13}}=\\dfrac{\\sqrt{253 \\cdot 13}}{13}=\\dfrac{\\sqrt{3289}}{13}\\]\n\nSprawdzenie: \\(\\sqrt{253/13} \\approx \\sqrt{19{,}46} \\approx 4{,}41\\). **Wynik CKE:** \\(|AC|=\\sqrt{\\dfrac{253}{13}}\\).\n\n### Sposób 2 - Twierdzenie Ptolemeusza\n\nDla czworokąta wpisanego \\(ABCD\\): \\(|AC| \\cdot |BD|=|AB| \\cdot |CD|+|BC| \\cdot |DA|=2 \\cdot 4+3 \\cdot 5=23\\). To daje relację między przekątnymi, ale potrzebna jest druga. Stosując tw. cosinusów w trójkątach \\(ABD\\) i \\(BCD\\) na przekątnej \\(BD\\) (analogicznie jak wyżej), uzyskuje się układ równań z \\(|AC|\\) i \\(|BD|\\). Rozwiązanie: \\(|AC|=\\sqrt{\\dfrac{253}{13}}\\), \\(|BD|=\\dfrac{23}{|AC|}=\\dfrac{23 \\cdot \\sqrt{13}}{\\sqrt{253}}=\\sqrt{\\dfrac{529 \\cdot 13}{253}}=\\sqrt{\\dfrac{6877}{253}}\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt: zastosowanie tw. cosinusów w obu trójkątach.\n- 2 pkt: wykorzystanie \\(\\cos D = -\\cos B\\).\n- 3 pkt: poprawne obliczenie \\(\\cos B\\).\n- 4 pkt: obliczenie \\(|AC|=\\sqrt{\\dfrac{253}{13}}\\).\n\n**Trik/Klucz:** W czworokącie wpisanym kąty przeciwległe sumują się do \\(180^{\\circ}\\), więc cosinusy są przeciwne. Tw. cosinusów + ta obserwacja = równanie na przekątną.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Twierdzenie Pytagoras w trójkącie prostokątnym\nTen czworokąt jest w rzeczywistości rombem, ponieważ wszystkie jego boki są równe. Możemy obliczyć długość przekątnej AC, korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ABC:\n\n\\[AB^2 + BC^2 = AC^2\\]\n\\[2^2 + 3^2 = AC^2\\]\n\\[4 + 9 = AC^2\\]\n\\[AC^2 = 13\\]\n\\[AC = \\sqrt{13}\\]\n\n📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r, strona 4\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie twierdzenia cosinusów\nMożemy również obliczyć długość przekątnej AC, korzystając z twierdzenia cosinusów w trójkącie ABC:\n\n\\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \\cdot AB \\cdot BC \\cdot \\cos(\\angle ABC)\\]\nPonieważ nie znamy kąta ABC, możemy założyć, że czworokąt jest wpisany w okrąg, co oznacza, że suma jego kątów wynosi 360 stopni. Jednakże, z dostępnych danych, nie możemy bezpośrednio obliczyć kąta ABC. Zatem, korzystając z twierdzenia cosinusów jest to metoda bardziej skomplikowana i mniej bezpośrednia. W tym przypadku, metoda z twierdzeniem Pitagorasa jest znacznie prostsza i bardziej efektywna.\n\n📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras: a²+b²=c², tw.cosinusów a²=b²+c²-2bc·cosα, strona 15-16\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A:** Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r - ta sekcja karty wzorów nie jest związana z obliczaniem długości przekątnej.\n* **B:** Potęgi: a^r·a^s=a^(r+s), (a^r)^s=a^(rs), √(a²)=|a| - ta sekcja karty wzorów dotyczy potęg, a nie obliczania długości przekątnej.\n* **D:** Długości boków: |AB|=2, |BC|=3, |CD|=4, |DA|=5 - ta sekcja karty wzorów zawiera informacje o długościach boków, ale nie służy do obliczania przekątnej.\n\nW tym przypadku, ponieważ czworokąt jest wpisany w okrąg, a boki są równe, najprostszym i najszybszym rozwiązaniem jest zastosowanie twierdzenia Pitagorasa.","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 10. (6 pkt)
Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS ma długość a. Ściana
boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem 2α . Ostrosłup ten
przecięto płaszczyzną, która przechodzi przez krawędź podstawy i dzieli na połowy kąt
pomiędzy ścianą boczną i podstawą. Oblicz pole powstałego przekroju tego ostrosłupa.

\n

Poziom rozszerzony
MMA_1R
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
10.
Maks. liczba pkt
6
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom rozszerzony
MMA_1R

","answer_text_html":"

19
19
19

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C

\n

Poprawna długość przekątnej wynosi \\(AC = \\sqrt{\\dfrac{253}{13}}\\).

\n

Sposób 1 - Twierdzenie cosinusów + własność czworokąta wpisanego w okrąg

\n

Kluczowa własność: Skoro na czworokącie \\(ABCD\\) opisano okrąg, to \\(ABCD\\) jest czworokątem cyklicznym (wpisanym w okrąg). Dla takiego czworokąta suma kątów naprzeciwległych wynosi \\(180°\\):
\\[\\angle ABC + \\angle CDA = 180°\\]

\n

Oznaczmy \\(\\angle ABC = \\beta\\) i \\(\\angle CDA = \\delta\\). Mamy więc \\(\\delta = 180° - \\beta\\), skąd:
\\[\\cos\\delta = \\cos(180° - \\beta) = -\\cos\\beta\\]

\n

Krok 1: Twierdzenie cosinusów w △ABC (boki \\(AB = 2\\), \\(BC = 3\\), kąt \\(\\beta\\) przy \\(B\\)):
\\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \\cdot AB \\cdot BC \\cdot \\cos\\beta = 4 + 9 - 12\\cos\\beta = 13 - 12\\cos\\beta\\]

\n

Krok 2: Twierdzenie cosinusów w △ACD (boki \\(CD = 4\\), \\(DA = 5\\), kąt \\(\\delta\\) przy \\(D\\)):
\\[AC^2 = CD^2 + DA^2 - 2 \\cdot CD \\cdot DA \\cdot \\cos\\delta = 16 + 25 - 40\\cos\\delta = 41 + 40\\cos\\beta\\]

\n

Krok 3: Przyrównuję obie ekspresje na \\(AC^2\\):
\\[13 - 12\\cos\\beta = 41 + 40\\cos\\beta\\]
\\[-28 = 52\\cos\\beta\\]
\\[\\cos\\beta = -\\frac{28}{52} = -\\frac{7}{13}\\]

\n

Krok 4: Obliczam \\(AC^2\\):
\\[AC^2 = 13 - 12\\cdot\\left(-\\frac{7}{13}\\right) = 13 + \\frac{84}{13} = \\frac{169 + 84}{13} = \\frac{253}{13}\\]

\n

Weryfikacja drugą ścieżką:
\\[AC^2 = 41 + 40\\cdot\\left(-\\frac{7}{13}\\right) = 41 - \\frac{280}{13} = \\frac{533 - 280}{13} = \\frac{253}{13} \\checkmark\\]

\n

\\[\\boxed{AC = \\sqrt{\\frac{253}{13}}}\\]

\n

Sposób 2 - Weryfikacja twierdzeniem Ptolemeusza

\n

Dla czworokąta wpisanego w okrąg zachodzi twierdzenie Ptolemeusza:
\\[AC \\cdot BD = AB \\cdot CD + BC \\cdot DA\\]

\n

Prawa strona: \\(2 \\cdot 4 + 3 \\cdot 5 = 8 + 15 = 23\\), więc \\(AC \\cdot BD = 23\\).

\n

Wyznaczam \\(BD\\) analogicznie - tym razem przez kąty \\(\\angle DAB = \\alpha\\) i \\(\\angle BCD = \\gamma = 180° - \\alpha\\):

\n

Trójkąt \\(ABD\\) (boki \\(DA = 5\\), \\(AB = 2\\), kąt \\(\\alpha\\)):
\\[BD^2 = 25 + 4 - 20\\cos\\alpha = 29 - 20\\cos\\alpha\\]

\n

Trójkąt \\(BCD\\) (boki \\(BC = 3\\), \\(CD = 4\\), kąt \\(\\gamma\\), więc \\(\\cos\\gamma = -\\cos\\alpha\\)):
\\[BD^2 = 9 + 16 + 24\\cos\\alpha = 25 + 24\\cos\\alpha\\]

\n

Przyrównuję:
\\[29 - 20\\cos\\alpha = 25 + 24\\cos\\alpha \\implies \\cos\\alpha = \\frac{4}{44} = \\frac{1}{11}\\]

\n

\\[BD^2 = 25 + \\frac{24}{11} = \\frac{299}{11} \\implies BD = \\sqrt{\\frac{299}{11}}\\]

\n

Sprawdzam Ptolemeusza:
\\[AC \\cdot BD = \\sqrt{\\frac{253}{13}} \\cdot \\sqrt{\\frac{299}{11}} = \\sqrt{\\frac{253 \\cdot 299}{143}}\\]

\n

Liczę: \\(253 \\cdot 299 = 75\\,647\\) oraz \\(\\dfrac{75\\,647}{143} = 529 = 23^2\\)

\n

Zatem \\(AC \\cdot BD = 23\\) - zgodne z twierdzeniem Ptolemeusza \\(\\checkmark\\)

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15-16) - twierdzenie cosinusów:
\\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\\cos\\alpha\\]
Użyte dwukrotnie: w △\\(ABC\\) i w △\\(ACD\\), aby wyrazić \\(AC^2\\) przez kąty naprzeciwległe.

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 20) - własność czworokąta wpisanego w okrąg:
\\[\\alpha + \\gamma = \\beta + \\delta = 180°\\]
Kluczowa własność - pozwala powiązać dwa różne wyrażenia na \\(AC^2\\) i wyeliminować niewiadomą kąt \\(\\beta\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Błąd | Skutek | Pułapka |
| Użycie \\(\\cos\\delta = +\\cos\\beta\\) zamiast \\(-\\cos\\beta\\) | Otrzymujemy \\(28\\cos\\beta = -28\\), \\(\\cos\\beta = -1\\) - absurd (\\(\\beta = 180°\\)) | Pomyłka we wzorze redukcyjnym: \\(\\cos(180° - x) = -\\cos x\\), nie \\(+\\cos x\\) |
| Pominięcie własności czworokąta cyklicznego | Dwa równania z dwiema nieznanymi \\(AC\\) i \\(\\beta\\) - brak jednoznacznego rozwiązania | Bez warunku \\(\\beta + \\delta = 180°\\) zadanie jest niewyznaczalne |
| Twierdzenie Pitagorasa zamiast cosinusów | Wynik poprawny tylko dla kąta prostego, którego tutaj nie ma | Przekątna \\(AC\\) nie tworzy trójkąta prostokątnego z żadnymi dwoma bokami |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: "Opisano okrąg na czworokącie" = okrąg przechodzi przez wszystkie 4 wierzchołki (czworokąt wpisany w okrąg). Nie mylić z okręgiem wpisanym, który dotyka boków! Własność \\(\\beta + \\delta = 180°\\) dotyczy wyłącznie czworokąta wpisanego.
\n
⚠️ Uwaga: Wzór \\(\\cos(180° - x) = -\\cos x\\) - znak minus jest absolutnie kluczowy. Bez niego oba równania na \\(AC^2\\) nie dadzą się rozwiązać lub dadzą wynik sprzeczny.
\n
⚠️ Uwaga: W △\\(ABC\\) kąt \\(\\beta\\) to kąt przy wierzchołku \\(B\\), czyli naprzeciwko szukanej przekątnej \\(AC\\). Sprawdź zawsze, czy stosujesz twierdzenie cosinusów z właściwym kątem!
\n

Wynik: \\(|AC|=\\sqrt{\\dfrac{286}{7}}=\\dfrac{\\sqrt{2002}}{7}\\)

\n
Sposób 1 - Twierdzenie cosinusów i własność czworokąta wpisanego
\n

W czworokącie \\(ABCD\\) wpisanym w okrąg kąty \\(\\angle B\\) i \\(\\angle D\\) są przeciwległe, więc \\(\\angle B+\\angle D=180^{\\circ}\\), czyli \\(\\cos D=-\\cos B\\).

\n

W trójkącie \\(ABC\\) (tw. cosinusów, karta wzorów dział 7):
\\[|AC|^{2}=|AB|^{2}+|BC|^{2}-2|AB||BC|\\cos B = 4+9-12\\cos B = 13-12\\cos B\\]

\n

W trójkącie \\(ACD\\):
\\[|AC|^{2}=|CD|^{2}+|DA|^{2}-2|CD||DA|\\cos D = 16+25-40\\cos D = 41-40\\cos D\\]

\n

Ponieważ \\(\\cos D=-\\cos B\\):
\\[13-12\\cos B = 41+40\\cos B\\]
\\[-52\\cos B = 28\\]
\\[\\cos B = -\\dfrac{28}{52} = -\\dfrac{7}{13}\\]

\n

Zatem:
\\[|AC|^{2}=13-12 \\cdot \\left(-\\dfrac{7}{13}\\right)=13+\\dfrac{84}{13}=\\dfrac{169+84}{13}=\\dfrac{253}{13}\\]
\\[|AC|=\\sqrt{\\dfrac{253}{13}}=\\dfrac{\\sqrt{253 \\cdot 13}}{13}=\\dfrac{\\sqrt{3289}}{13}\\]

\n

Sprawdzenie: \\(\\sqrt{253/13} \\approx \\sqrt{19{,}46} \\approx 4{,}41\\). Wynik CKE: \\(|AC|=\\sqrt{\\dfrac{253}{13}}\\).

\n
Sposób 2 - Twierdzenie Ptolemeusza
\n

Dla czworokąta wpisanego \\(ABCD\\): \\(|AC| \\cdot |BD|=|AB| \\cdot |CD|+|BC| \\cdot |DA|=2 \\cdot 4+3 \\cdot 5=23\\). To daje relację między przekątnymi, ale potrzebna jest druga. Stosując tw. cosinusów w trójkątach \\(ABD\\) i \\(BCD\\) na przekątnej \\(BD\\) (analogicznie jak wyżej), uzyskuje się układ równań z \\(|AC|\\) i \\(|BD|\\). Rozwiązanie: \\(|AC|=\\sqrt{\\dfrac{253}{13}}\\), \\(|BD|=\\dfrac{23}{|AC|}=\\dfrac{23 \\cdot \\sqrt{13}}{\\sqrt{253}}=\\sqrt{\\dfrac{529 \\cdot 13}{253}}=\\sqrt{\\dfrac{6877}{253}}\\).

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik/Klucz: W czworokącie wpisanym kąty przeciwległe sumują się do \\(180^{\\circ}\\), więc cosinusy są przeciwne. Tw. cosinusów + ta obserwacja = równanie na przekątną.

\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1: Twierdzenie Pytagoras w trójkącie prostokątnym
\n

Ten czworokąt jest w rzeczywistości rombem, ponieważ wszystkie jego boki są równe. Możemy obliczyć długość przekątnej AC, korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ABC:

\n

\\[AB^2 + BC^2 = AC^2\\]
\\[2^2 + 3^2 = AC^2\\]
\\[4 + 9 = AC^2\\]
\\[AC^2 = 13\\]
\\[AC = \\sqrt{13}\\]

\n

📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r, strona 4

\n
Sposób 2: Wykorzystanie twierdzenia cosinusów
\n

Możemy również obliczyć długość przekątnej AC, korzystając z twierdzenia cosinusów w trójkącie ABC:

\n

\\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \\cdot AB \\cdot BC \\cdot \\cos(\\angle ABC)\\]
Ponieważ nie znamy kąta ABC, możemy założyć, że czworokąt jest wpisany w okrąg, co oznacza, że suma jego kątów wynosi 360 stopni. Jednakże, z dostępnych danych, nie możemy bezpośrednio obliczyć kąta ABC. Zatem, korzystając z twierdzenia cosinusów jest to metoda bardziej skomplikowana i mniej bezpośrednia. W tym przypadku, metoda z twierdzeniem Pitagorasa jest znacznie prostsza i bardziej efektywna.

\n

📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras: a²+b²=c², tw.cosinusów a²=b²+c²-2bc·cosα, strona 15-16

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

W tym przypadku, ponieważ czworokąt jest wpisany w okrąg, a boki są równe, najprostszym i najszybszym rozwiązaniem jest zastosowanie twierdzenia Pitagorasa.

"}]}