{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"11","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (3 pkt)\nRozważmy rzut sześcioma kostkami do gry, z których każda ma inny kolor. Oblicz\nprawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że uzyskany wynik rzutu spełnia\nrównocześnie trzy warunki:\ndokładnie na dwóch kostkach otrzymano po jednym oczku;\ndokładnie na trzech kostkach otrzymano po sześć oczek;\nsuma wszystkich otrzymanych liczb oczek jest parzysta.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n11.\nMaks. liczba pkt\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\dfrac{5}{11}\\)\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym\n\n**Rozkładamy zdarzenie na dwa przypadki** - zależnie od koloru kuli wylosowanej z urny pierwszej.\n\n**Dane wyjściowe:**\n- Urna 1: \\(3\\) białe, \\(5\\) czarnych → łącznie \\(8\\) kul\n- Urna 2: \\(7\\) białych, \\(2\\) czarne → łącznie \\(9\\) kul\n\nPo wylosowaniu kuli z urny 1 i przełożeniu jej + dodaniu jeszcze \\(2\\) kul tego samego koloru - urna 2 zawsze będzie miała \\(9 + 3 = 12\\) kul.\n\n**Przypadek 1: wylosowano białą kulę z urny 1**\n\n\\[P(B_1) = \\frac{3}{8}\\]\n\nUrna 2 po operacji: \\(7 + 1 + 2 = 10\\) białych, \\(2\\) czarne → \\(12\\) kul.\n\n\\[P(\\text{obie białe} \\mid B_1) = \\frac{\\binom{10}{2}}{\\binom{12}{2}} = \\frac{45}{66} = \\frac{15}{22}\\]\n\n**Przypadek 2: wylosowano czarną kulę z urny 1**\n\n\\[P(C_1) = \\frac{5}{8}\\]\n\nUrna 2 po operacji: \\(7\\) białych, \\(2 + 1 + 2 = 5\\) czarnych → \\(12\\) kul.\n\n\\[P(\\text{obie białe} \\mid C_1) = \\frac{\\binom{7}{2}}{\\binom{12}{2}} = \\frac{21}{66} = \\frac{7}{22}\\]\n\n**Zastosowanie twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym:**\n\nZdarzenie \\(A\\) = „obie wylosowane kule z urny 2 są białe\":\n\n\\[P(A) = P(B_1) \\cdot P(A \\mid B_1) + P(C_1) \\cdot P(A \\mid C_1)\\]\n\n\\[P(A) = \\frac{3}{8} \\cdot \\frac{15}{22} + \\frac{5}{8} \\cdot \\frac{7}{22}\\]\n\n\\[P(A) = \\frac{45}{176} + \\frac{35}{176} = \\frac{80}{176} = \\boxed{\\frac{5}{11}}\\]\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednie zliczanie (ilorazy kombinacyjne krok po kroku)\n\nRozpisujemy wszystkie etapy dokładniej, pilnując jednostek.\n\n**Przestrzeń zdarzeń** jest dwuetapowa - rozbijamy na dwie gałęzie:\n\n**Gałąź 1 (wyciągnięto białą):** \\(P = \\frac{3}{8}\\)\n\nUrna 2 ma \\(10B\\), \\(2C\\), razem \\(12\\). Sposób wyboru \\(2\\) białych:\n\\[\\binom{10}{2} = \\frac{10 \\cdot 9}{2} = 45, \\qquad \\binom{12}{2} = \\frac{12 \\cdot 11}{2} = 66\\]\n\nWkład do sumy:\n\\[\\frac{3}{8} \\cdot \\frac{45}{66} = \\frac{135}{528}\\]\n\n**Gałąź 2 (wyciągnięto czarną):** \\(P = \\frac{5}{8}\\)\n\nUrna 2 ma \\(7B\\), \\(5C\\), razem \\(12\\). Sposób wyboru \\(2\\) białych:\n\\[\\binom{7}{2} = \\frac{7 \\cdot 6}{2} = 21, \\qquad \\binom{12}{2} = 66\\]\n\nWkład do sumy:\n\\[\\frac{5}{8} \\cdot \\frac{21}{66} = \\frac{105}{528}\\]\n\n**Suma:**\n\\[P(A) = \\frac{135}{528} + \\frac{105}{528} = \\frac{240}{528} = \\frac{5}{11}\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)**\n\nTwierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym (gdy zdarzenia \\(B_1, B_2\\) tworzą podział przestrzeni):\n\\[P(A) = P(A \\mid B_1) \\cdot P(B_1) + P(A \\mid B_2) \\cdot P(B_2)\\]\nUżyte w obu sposobach - to fundament całego rozwiązania.\n\nPrawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyte przy obliczaniu \\(P(\\text{obie białe} \\mid \\ldots)\\) - liczyliśmy sprzyjające i wszystkie kombinacje.\n\n**Dział 4 (Silnia. Współczynnik dwumianowy, s. 6)**\n\nSymbol Newtona:\n\\[\\binom{n}{k} = \\frac{n!}{k!(n-k)!}\\]\nUżyte do zliczenia sposobów wylosowania \\(2\\) kul z \\(12\\) (lub \\(10\\), lub \\(7\\)).\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Urna 2 rośnie o **3 kule**, nie o 1! Wylosowana kula **zostaje** w urnie 2, a do tego dochodzą jeszcze **2 dodatkowe**. Po przełożeniu mamy zawsze \\(9 + 3 = 12\\) kul w urnie 2 - nie \\(10\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(\\binom{10}{2}/\\binom{12}{2}\\) łatwo zapomnieć, że losujemy **bez zwracania** (bez kolejności). Nie mnożymy \\(\\frac{10}{12} \\cdot \\frac{9}{11}\\) - choć tu daje ten sam wynik, to wzór kombinacyjny jest czytelniejszy i bezpieczniejszy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy policzyć jednego przypadku (np. tylko gdy wyciągnięto białą). Musimy **zsumować oba przypadki** ważone ich prawdopodobieństwami - bez tego dostaniemy błędny wynik.\n\n**Wynik:** \\(P(A)=\\dfrac{9}{20}\\)\n\n### Sposób 1 - Prawdopodobieństwo całkowite\n\nZdarzenia: \\(B_1\\) - wylosowano białą z urny 1; \\(C_1\\) - wylosowano czarną.\n\\[P(B_1)=\\dfrac{3}{8}, \\quad P(C_1)=\\dfrac{5}{8}\\]\n\n**Przypadek \\(B_1\\):** Do urny 2 dodajemy \\(1+2=3\\) kule białe. Urna 2 ma: \\(7+3=10\\) białych, \\(2\\) czarne, łącznie \\(12\\) kul. Prawdopodobieństwo wylosowania dwóch białych (bez zwracania):\n\\[P(BB|B_1)=\\dfrac{10}{12} \\cdot \\dfrac{9}{11}=\\dfrac{90}{132}=\\dfrac{15}{22}\\]\nAlternatywnie z \\(\\binom{n}{k}\\): \\(\\dfrac{\\binom{10}{2}}{\\binom{12}{2}}=\\dfrac{45}{66}=\\dfrac{15}{22}\\).\n\n**Przypadek \\(C_1\\):** Do urny 2 dodajemy \\(1+2=3\\) kule czarne. Urna 2 ma: \\(7\\) białych, \\(2+3=5\\) czarnych, łącznie \\(12\\) kul.\n\\[P(BB|C_1)=\\dfrac{\\binom{7}{2}}{\\binom{12}{2}}=\\dfrac{21}{66}=\\dfrac{7}{22}\\]\n\nZ tw. prawdopodobieństwa całkowitego:\n\\[P(BB)=P(B_1)P(BB|B_1)+P(C_1)P(BB|C_1)\\]\n\\[=\\dfrac{3}{8} \\cdot \\dfrac{15}{22}+\\dfrac{5}{8} \\cdot \\dfrac{7}{22}\\]\n\\[=\\dfrac{45}{176}+\\dfrac{35}{176}=\\dfrac{80}{176}=\\dfrac{5}{11}\\]\n\nPonowne sprawdzenie: \\(\\frac{80}{176}=\\frac{10}{22}=\\frac{5}{11}\\). **Wynik:** \\(P=\\dfrac{5}{11}\\).\n\n### Sposób 2 - Drzewo zdarzeń\n\nDrzewo z dwiema gałęziami (biała/czarna z urny 1), każda rozgałęziająca się na wybór dwóch kul z urny 2. Mnożenie prawdopodobieństw wzdłuż gałęzi i sumowanie: identyczny wynik \\(\\dfrac{5}{11}\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt: poprawne rozróżnienie dwóch przypadków.\n- 2 pkt: obliczenie \\(P(BB|B_1)\\) i \\(P(BB|C_1)\\).\n- 3 pkt: zastosowanie wzoru na prawdopodobieństwo całkowite.\n- 4 pkt: obliczenie \\(P=\\dfrac{5}{11}\\).\n\n**Trik/Klucz:** Gdy liczba kul się zmienia po pierwszym kroku, zastosuj prawdopodobieństwo całkowite: suma \\(P(\\text{warunek}) \\cdot P(\\text{wynik}|\\text{warunek})\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Metoda prawdopodobieństwa warunkowego\n\n1. **Obliczenie prawdopodobieństwa wylosowania pierwszej białej kuli:** W pierwszej urnie jest 3 białe i 5 czarnych kul, łącznie 8. Prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli wynosi \\(P(B_1) = \\frac{3}{8}\\).\n2. **Obliczenie prawdopodobieństwa wylosowania drugiej białej kuli, gdy wylosowano już jedną białą kulę:** Po wylosowaniu jednej białej kuli z pierwszej urny, w drugiej urnie mamy 8 kul (7 białych i 2 czarne). Prawdopodobieństwo wylosowania kolejnej białej kuli wynosi \\(P(B_2 | B_1) = \\frac{7}{8}\\).\n3. **Obliczenie całkowitego prawdopodobieństwa:** Prawdopodobieństwo, że obie kule będą białe, to iloczyn prawdopodobieństw: \\(P(B_1 \\cap B_2) = P(B_1) \\cdot P(B_2 | B_1) = \\frac{3}{8} \\cdot \\frac{7}{8} = \\frac{21}{64}\\).\n\n📖 Karta wzorów: Prawdop, s.29, strona 3\n\n### Sposób 2: Metoda z uwzględnieniem wszystkich możliwych konfiguracji\n\n1. **Obliczenie liczby wszystkich możliwych wyników:** Najpierw losujemy jedną kulę z pierwszej urny. Mamy 8 możliwości. Następnie losujemy jedną kulę z drugiej urny, do której dodajemy kulę z pierwszej urny. W drugiej urnie jest 8 kul, więc mamy 8 możliwości. Zatem liczba wszystkich możliwych wyników to 8 * 8 = 64.\n2. **Obliczenie liczby korzystnych wyników:** Chcemy, aby obie kule były białe.\n* Najpierw losujemy białą kulę z pierwszej urny (3 możliwości).\n* Następnie losujemy białą kulę z drugiej urny (7 możliwości).\n* Zatem liczba korzystnych wyników to 3 * 7 = 21.\n3. **Obliczenie prawdopodobieństwa:** Prawdopodobieństwo, że obie kule będą białe, to iloraz liczby korzystnych wyników na liczbę wszystkich możliwych wyników: \\(P = \\frac{21}{64}\\).\n\n📖 Karta wzorów: Prawdop, s.29, strona 3\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **B:** Ta odpowiedź sugeruje obliczenie prawdopodobieństwa wylosowania białej kuli z drugiej urny, co jest nieprawidłowe, ponieważ musimy uwzględnić dodanie kuli do drugiej urny.\n* **C:** Ta odpowiedź nie uwzględnia warunku dodania kuli tego samego koloru do drugiej urny, co jest kluczowe dla zadania.\n* **D:** Ta odpowiedź jest niepoprawna, ponieważ nie uwzględnia warunku dodania kuli tego samego koloru do drugiej urny.\n\n**Krótko o błędach innych odpowiedzi:** Błędy w innych odpowiedziach wynikają z pominięcia warunku dodawania kuli tego samego koloru do drugiej urny, co znacząco wpływa na obliczenie prawdopodobieństwa. Niektóre odpowiedzi nie uwzględniają również poprawnego sposobu obliczania prawdopodobieństwa warunkowego.","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 11. (3 pkt)
Rozważmy rzut sześcioma kostkami do gry, z których każda ma inny kolor. Oblicz
prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że uzyskany wynik rzutu spełnia
równocześnie trzy warunki:
dokładnie na dwóch kostkach otrzymano po jednym oczku;
dokładnie na trzech kostkach otrzymano po sześć oczek;
suma wszystkich otrzymanych liczb oczek jest parzysta.
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
11.
Maks. liczba pkt
3
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom rozszerzony
MMA_1R
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(\\dfrac{5}{11}\\)

\n

Sposób 1 - Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym

\n

Rozkładamy zdarzenie na dwa przypadki - zależnie od koloru kuli wylosowanej z urny pierwszej.

\n

Dane wyjściowe:

\n\n

Po wylosowaniu kuli z urny 1 i przełożeniu jej + dodaniu jeszcze \\(2\\) kul tego samego koloru - urna 2 zawsze będzie miała \\(9 + 3 = 12\\) kul.

\n

Przypadek 1: wylosowano białą kulę z urny 1

\n

\\[P(B_1) = \\frac{3}{8}\\]

\n

Urna 2 po operacji: \\(7 + 1 + 2 = 10\\) białych, \\(2\\) czarne → \\(12\\) kul.

\n

\\[P(\\text{obie białe} \\mid B_1) = \\frac{\\binom{10}{2}}{\\binom{12}{2}} = \\frac{45}{66} = \\frac{15}{22}\\]

\n

Przypadek 2: wylosowano czarną kulę z urny 1

\n

\\[P(C_1) = \\frac{5}{8}\\]

\n

Urna 2 po operacji: \\(7\\) białych, \\(2 + 1 + 2 = 5\\) czarnych → \\(12\\) kul.

\n

\\[P(\\text{obie białe} \\mid C_1) = \\frac{\\binom{7}{2}}{\\binom{12}{2}} = \\frac{21}{66} = \\frac{7}{22}\\]

\n

Zastosowanie twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym:

\n

Zdarzenie \\(A\\) = „obie wylosowane kule z urny 2 są białe":

\n

\\[P(A) = P(B_1) \\cdot P(A \\mid B_1) + P(C_1) \\cdot P(A \\mid C_1)\\]

\n

\\[P(A) = \\frac{3}{8} \\cdot \\frac{15}{22} + \\frac{5}{8} \\cdot \\frac{7}{22}\\]

\n

\\[P(A) = \\frac{45}{176} + \\frac{35}{176} = \\frac{80}{176} = \\boxed{\\frac{5}{11}}\\]

\n

Sposób 2 - Bezpośrednie zliczanie (ilorazy kombinacyjne krok po kroku)

\n

Rozpisujemy wszystkie etapy dokładniej, pilnując jednostek.

\n

Przestrzeń zdarzeń jest dwuetapowa - rozbijamy na dwie gałęzie:

\n

Gałąź 1 (wyciągnięto białą): \\(P = \\frac{3}{8}\\)

\n

Urna 2 ma \\(10B\\), \\(2C\\), razem \\(12\\). Sposób wyboru \\(2\\) białych:
\\[\\binom{10}{2} = \\frac{10 \\cdot 9}{2} = 45, \\qquad \\binom{12}{2} = \\frac{12 \\cdot 11}{2} = 66\\]

\n

Wkład do sumy:
\\[\\frac{3}{8} \\cdot \\frac{45}{66} = \\frac{135}{528}\\]

\n

Gałąź 2 (wyciągnięto czarną): \\(P = \\frac{5}{8}\\)

\n

Urna 2 ma \\(7B\\), \\(5C\\), razem \\(12\\). Sposób wyboru \\(2\\) białych:
\\[\\binom{7}{2} = \\frac{7 \\cdot 6}{2} = 21, \\qquad \\binom{12}{2} = 66\\]

\n

Wkład do sumy:
\\[\\frac{5}{8} \\cdot \\frac{21}{66} = \\frac{105}{528}\\]

\n

Suma:
\\[P(A) = \\frac{135}{528} + \\frac{105}{528} = \\frac{240}{528} = \\frac{5}{11}\\]

\n

Wynik zgodny z Metodą 1. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)

\n

Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym (gdy zdarzenia \\(B_1, B_2\\) tworzą podział przestrzeni):
\\[P(A) = P(A \\mid B_1) \\cdot P(B_1) + P(A \\mid B_2) \\cdot P(B_2)\\]
Użyte w obu sposobach - to fundament całego rozwiązania.

\n

Prawdopodobieństwo klasyczne:
\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]
Użyte przy obliczaniu \\(P(\\text{obie białe} \\mid \\ldots)\\) - liczyliśmy sprzyjające i wszystkie kombinacje.

\n

Dział 4 (Silnia. Współczynnik dwumianowy, s. 6)

\n

Symbol Newtona:
\\[\\binom{n}{k} = \\frac{n!}{k!(n-k)!}\\]
Użyte do zliczenia sposobów wylosowania \\(2\\) kul z \\(12\\) (lub \\(10\\), lub \\(7\\)).

\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: Urna 2 rośnie o 3 kule, nie o 1! Wylosowana kula zostaje w urnie 2, a do tego dochodzą jeszcze 2 dodatkowe. Po przełożeniu mamy zawsze \\(9 + 3 = 12\\) kul w urnie 2 - nie \\(10\\).
\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu \\(\\binom{10}{2}/\\binom{12}{2}\\) łatwo zapomnieć, że losujemy bez zwracania (bez kolejności). Nie mnożymy \\(\\frac{10}{12} \\cdot \\frac{9}{11}\\) - choć tu daje ten sam wynik, to wzór kombinacyjny jest czytelniejszy i bezpieczniejszy.
\n
⚠️ Uwaga: Nie wystarczy policzyć jednego przypadku (np. tylko gdy wyciągnięto białą). Musimy zsumować oba przypadki ważone ich prawdopodobieństwami - bez tego dostaniemy błędny wynik.
\n

Wynik: \\(P(A)=\\dfrac{9}{20}\\)

\n
Sposób 1 - Prawdopodobieństwo całkowite
\n

Zdarzenia: \\(B_1\\) - wylosowano białą z urny 1; \\(C_1\\) - wylosowano czarną.
\\[P(B_1)=\\dfrac{3}{8}, \\quad P(C_1)=\\dfrac{5}{8}\\]

\n

Przypadek \\(B_1\\): Do urny 2 dodajemy \\(1+2=3\\) kule białe. Urna 2 ma: \\(7+3=10\\) białych, \\(2\\) czarne, łącznie \\(12\\) kul. Prawdopodobieństwo wylosowania dwóch białych (bez zwracania):
\\[P(BB|B_1)=\\dfrac{10}{12} \\cdot \\dfrac{9}{11}=\\dfrac{90}{132}=\\dfrac{15}{22}\\]
Alternatywnie z \\(\\binom{n}{k}\\): \\(\\dfrac{\\binom{10}{2}}{\\binom{12}{2}}=\\dfrac{45}{66}=\\dfrac{15}{22}\\).

\n

Przypadek \\(C_1\\): Do urny 2 dodajemy \\(1+2=3\\) kule czarne. Urna 2 ma: \\(7\\) białych, \\(2+3=5\\) czarnych, łącznie \\(12\\) kul.
\\[P(BB|C_1)=\\dfrac{\\binom{7}{2}}{\\binom{12}{2}}=\\dfrac{21}{66}=\\dfrac{7}{22}\\]

\n

Z tw. prawdopodobieństwa całkowitego:
\\[P(BB)=P(B_1)P(BB|B_1)+P(C_1)P(BB|C_1)\\]
\\[=\\dfrac{3}{8} \\cdot \\dfrac{15}{22}+\\dfrac{5}{8} \\cdot \\dfrac{7}{22}\\]
\\[=\\dfrac{45}{176}+\\dfrac{35}{176}=\\dfrac{80}{176}=\\dfrac{5}{11}\\]

\n

Ponowne sprawdzenie: \\(\\frac{80}{176}=\\frac{10}{22}=\\frac{5}{11}\\). Wynik: \\(P=\\dfrac{5}{11}\\).

\n
Sposób 2 - Drzewo zdarzeń
\n

Drzewo z dwiema gałęziami (biała/czarna z urny 1), każda rozgałęziająca się na wybór dwóch kul z urny 2. Mnożenie prawdopodobieństw wzdłuż gałęzi i sumowanie: identyczny wynik \\(\\dfrac{5}{11}\\).

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik/Klucz: Gdy liczba kul się zmienia po pierwszym kroku, zastosuj prawdopodobieństwo całkowite: suma \\(P(\\text{warunek}) \\cdot P(\\text{wynik}|\\text{warunek})\\).

\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1: Metoda prawdopodobieństwa warunkowego
\n
  1. Obliczenie prawdopodobieństwa wylosowania pierwszej białej kuli: W pierwszej urnie jest 3 białe i 5 czarnych kul, łącznie 8. Prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli wynosi \\(P(B_1) = \\frac{3}{8}\\).
  2. Obliczenie prawdopodobieństwa wylosowania drugiej białej kuli, gdy wylosowano już jedną białą kulę: Po wylosowaniu jednej białej kuli z pierwszej urny, w drugiej urnie mamy 8 kul (7 białych i 2 czarne). Prawdopodobieństwo wylosowania kolejnej białej kuli wynosi \\(P(B_2 | B_1) = \\frac{7}{8}\\).
  3. Obliczenie całkowitego prawdopodobieństwa: Prawdopodobieństwo, że obie kule będą białe, to iloczyn prawdopodobieństw: \\(P(B_1 \\cap B_2) = P(B_1) \\cdot P(B_2 | B_1) = \\frac{3}{8} \\cdot \\frac{7}{8} = \\frac{21}{64}\\).
\n

📖 Karta wzorów: Prawdop, s.29, strona 3

\n
Sposób 2: Metoda z uwzględnieniem wszystkich możliwych konfiguracji
\n
  1. Obliczenie liczby wszystkich możliwych wyników: Najpierw losujemy jedną kulę z pierwszej urny. Mamy 8 możliwości. Następnie losujemy jedną kulę z drugiej urny, do której dodajemy kulę z pierwszej urny. W drugiej urnie jest 8 kul, więc mamy 8 możliwości. Zatem liczba wszystkich możliwych wyników to 8 * 8 = 64.
  2. Obliczenie liczby korzystnych wyników: Chcemy, aby obie kule były białe.
\n\n
  1. Obliczenie prawdopodobieństwa: Prawdopodobieństwo, że obie kule będą białe, to iloraz liczby korzystnych wyników na liczbę wszystkich możliwych wyników: \\(P = \\frac{21}{64}\\).
\n

📖 Karta wzorów: Prawdop, s.29, strona 3

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

Krótko o błędach innych odpowiedzi: Błędy w innych odpowiedziach wynikają z pominięcia warunku dodawania kuli tego samego koloru do drugiej urny, co znacząco wpływa na obliczenie prawdopodobieństwa. Niektóre odpowiedzi nie uwzględniają również poprawnego sposobu obliczania prawdopodobieństwa warunkowego.

"}]}