{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"12","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Funkcja \\(f\\) określona jest wzorem \\(f(x) = x^{3} - 2x^{2} + 1\\) dla każdej liczby rzeczywistej \\(x\\). Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji \\(f\\), które są równoległe do prostej o równaniu \\(y = 4x\\).","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\nWyznaczone styczne to:\n\\[y = 4x - 7 \\quad \\text{oraz} \\quad y = 4x + \\frac{67}{27}\\]\n\n## Sposób 1 - Pochodna i równanie stycznej\n\n**Krok 1: Warunek równoległości**\n\nProsta \\(y = 4x\\) ma współczynnik kierunkowy \\(a = 4\\).\n\nStyczna do wykresu \\(f\\) jest równoległa do tej prostej wtedy i tylko wtedy, gdy nachylenie stycznej (czyli wartość pochodnej) wynosi \\(4\\):\n\\[f'(x_0) = 4\\]\n\n**Krok 2: Obliczamy pochodną**\n\n\\[f(x) = x^3 - 2x^2 + 1\\]\n\\[f'(x) = 3x^2 - 4x\\]\n\n**Krok 3: Rozwiązujemy równanie \\(f'(x) = 4\\)**\n\n\\[3x^2 - 4x = 4\\]\n\\[3x^2 - 4x - 4 = 0\\]\n\nWyróżnik:\n\\[\\Delta = (-4)^2 - 4 \\cdot 3 \\cdot (-4) = 16 + 48 = 64\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta} = 8\\]\n\nPierwiastki:\n\\[x_1 = \\frac{4 + 8}{6} = \\frac{12}{6} = 2\\]\n\\[x_2 = \\frac{4 - 8}{6} = \\frac{-4}{6} = -\\frac{2}{3}\\]\n\n**Krok 4: Wyznaczamy punkty styczne**\n\nDla \\(x_1 = 2\\):\n\\[f(2) = 8 - 8 + 1 = 1 \\quad \\Rightarrow \\quad \\text{punkt } (2,\\, 1)\\]\n\nDla \\(x_2 = -\\frac{2}{3}\\):\n\\[f\\!\\left(-\\tfrac{2}{3}\\right) = \\left(-\\tfrac{2}{3}\\right)^3 - 2\\left(-\\tfrac{2}{3}\\right)^2 + 1 = -\\frac{8}{27} - \\frac{8}{9} + 1 = -\\frac{8}{27} - \\frac{24}{27} + \\frac{27}{27} = -\\frac{5}{27}\\]\n\n**Krok 5: Zapisujemy równania stycznych**\n\nWzór ogólny: \\(y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)\\)\n\nDla \\(x_0 = 2\\):\n\\[y = 4(x - 2) + 1 = 4x - 8 + 1\\]\n\\[\\boxed{y = 4x - 7}\\]\n\nDla \\(x_0 = -\\frac{2}{3}\\):\n\\[y = 4\\!\\left(x + \\tfrac{2}{3}\\right) + \\left(-\\tfrac{5}{27}\\right) = 4x + \\frac{8}{3} - \\frac{5}{27} = 4x + \\frac{72}{27} - \\frac{5}{27}\\]\n\\[\\boxed{y = 4x + \\frac{67}{27}}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, że znalezione proste faktycznie stykają się z wykresem \\(f\\).\n\n**Styczna \\(y = 4x - 7\\)** - punkt styku przy \\(x = 2\\)? Porównujemy \\(f(x) = 4x - 7\\):\n\n\\[x^3 - 2x^2 + 1 = 4x - 7\\]\n\\[x^3 - 2x^2 - 4x + 8 = 0\\]\n\\[x^2(x - 2) - 4(x - 2) = 0\\]\n\\[(x-2)(x^2 - 4) = 0\\]\n\\[(x-2)^2(x+2) = 0\\]\n\nPierwiastek \\(x = 2\\) jest podwójny - to właśnie oznacza styczność (nie secans, lecz styczna). ✓\n\n**Styczna \\(y = 4x + \\frac{67}{27}\\)** - punkt styku przy \\(x = -\\frac{2}{3}\\)? Porównujemy:\n\n\\[x^3 - 2x^2 + 1 = 4x + \\frac{67}{27}\\]\n\\[x^3 - 2x^2 - 4x + 1 - \\frac{67}{27} = 0\\]\n\\[x^3 - 2x^2 - 4x - \\frac{40}{27} = 0\\]\n\nSprawdzamy \\(x = -\\frac{2}{3}\\):\n\\[-\\frac{8}{27} - \\frac{8}{9} + \\frac{8}{3} - \\frac{40}{27} = -\\frac{8}{27} - \\frac{24}{27} + \\frac{72}{27} - \\frac{40}{27} = 0\\] ✓\n\nDzielimy wielomian przez \\(\\left(x + \\frac{2}{3}\\right)^2\\) - pierwiastek podwójny potwierdza styczność. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 16 (Pochodna funkcji, s. 32-33)** - pochodna potęgi i suma:\n\\[(x^r)' = r \\cdot x^{r-1}\\]\nUżyliśmy do obliczenia \\(f'(x) = 3x^2 - 4x\\).\n\n**Dział 16 (s. 33)** - równanie stycznej:\n\\[y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)\\]\nKluczowy wzór - zastosowany w Kroku 5 dla obu punktów stycznych.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)** - wzór kwadratowy:\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyliśmy do rozwiązania równania \\(3x^2 - 4x - 4 = 0\\) w Kroku 3.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek równoległości to \\(f'(x_0) = 4\\), **nie** \\(f'(x_0) = 0\\). Mamy szukać stycznych o danym nachyleniu, nie poziomych stycznych!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie \\(3x^2 - 4x = 4\\) **trzeba** przekształcić do postaci \\(3x^2 - 4x - 4 = 0\\), przenosząc \\(4\\) na lewą stronę - częsty błąd to liczenie delty dla \\(3x^2 - 4x\\) bez przesunięcia czwórki.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Są **dwie** styczne - łatwo zatrzymać się po znalezieniu \\(x_1 = 2\\) i pominąć \\(x_2 = -\\frac{2}{3}\\). Zawsze sprawdzaj wszystkie pierwiastki równania \\(f'(x) = a\\).\n\n**Wynik:** Styczne: \\(y=4x-5\\) oraz \\(y=4x+\\dfrac{67}{27}\\)\n\n### Sposób 1 - Pochodna i warunek równoległości\n\nStyczna do wykresu \\(f\\) w punkcie \\(x_0\\) ma współczynnik kierunkowy \\(f'(x_0)\\). Prosta \\(y=4x\\) ma współczynnik \\(4\\), więc szukamy \\(x_0\\) takich, że \\(f'(x_0)=4\\).\n\n\\[f'(x)=3x^{2}-4x\\]\n\\[3x^{2}-4x=4\\]\n\\[3x^{2}-4x-4=0\\]\n\\[\\Delta=16+48=64, \\sqrt{\\Delta}=8\\]\n\\[x_0=\\dfrac{4 \\pm 8}{6}\\]\nStąd \\(x_0=2\\) lub \\(x_0=-\\dfrac{2}{3}\\).\n\n**Dla \\(x_0=2\\):** \\(f(2)=8-8+1=1\\). Równanie stycznej: \\(y-1=4(x-2)\\), czyli \\(y=4x-7\\).\n\nSprawdzenie: \\(f(2)=1\\), \\(y(2)=4 \\cdot 2-7=1\\). OK.\n\n**Dla \\(x_0=-\\dfrac{2}{3}\\):** \\(f(-\\frac{2}{3})=-\\frac{8}{27}-2 \\cdot \\frac{4}{9}+1=-\\frac{8}{27}-\\frac{8}{9}+1=-\\frac{8}{27}-\\frac{24}{27}+\\frac{27}{27}=-\\frac{5}{27}\\). Równanie: \\(y+\\frac{5}{27}=4(x+\\frac{2}{3})\\), \\(y=4x+\\frac{8}{3}-\\frac{5}{27}=4x+\\frac{72-5}{27}=4x+\\frac{67}{27}\\).\n\n### Sposób 2 - Zapis kanoniczny stycznej\n\nRówanie stycznej w punkcie \\((x_0, f(x_0))\\): \\(y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\\). Rozwiązujemy \\(f'(x_0)=4\\) i otrzymujemy \\(x_0 \\in \\{2, -\\frac{2}{3}\\}\\). Dalej jak w sposobie 1.\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt: obliczenie pochodnej \\(f'(x)=3x^{2}-4x\\).\n- 2 pkt: rozwiązanie równania \\(f'(x)=4\\).\n- 3 pkt: wyznaczenie punktów styczności.\n- 4 pkt: zapisanie równań obu stycznych.\n\n**Trik/Klucz:** Styczna równoległa do \\(y=mx+n\\) ma współczynnik \\(m\\). Wyznacz \\(x_0\\) z \\(f'(x_0)=m\\), potem \\(y-f(x_0)=m(x-x_0)\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Użycie wzoru na silnię\nRozważmy wzór: n!=1·2·3 n. To jest definicja silni. Zatem, silnia n (oznaczana jako n!) jest równa 1·2·3 n.\n\n\\[n! = 1 \\cdot 2 \\cdot 3 \\cdot \\cdot n\\]\n📖 Karta wzorów: Silnia n!=1·2 n, strona 6\n\n### Sposób 2: Rozpisanie silni\nMożemy również rozwinąć silnię, aby pokazać, że jest to iloczyn wszystkich liczb naturalnych od 1 do n. Silnia n to n razy n-1 razy n-2 1.\n\n\\[n! = n \\cdot (n-1) \\cdot (n-2) \\cdot \\cdot 1\\]\n📖 Karta wzorów: Silnia n!=1·2 n, strona 6\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n**B.** \"log(xy)=logx+logy\" - To jest wzór na logarytm iloczynu, ale nie jest to definicja silni.\n**C.** \"Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r\" - To są wzory dotyczące wartości bezwzględnej i nierówności, a nie definicja silni.\n**D.** \"Potęgi: a^r·a^s=a^(r+s), (a^r)^s=a^(rs), √(a²)=|a|\" - To są wzory dotyczące potęg, a nie definicja silni.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Funkcja \\(f\\) określona jest wzorem \\(f(x) = x^{3} - 2x^{2} + 1\\) dla każdej liczby rzeczywistej \\(x\\). Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji \\(f\\), które są równoległe do prostej o równaniu \\(y = 4x\\).

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A

\n

Wyznaczone styczne to:
\\[y = 4x - 7 \\quad \\text{oraz} \\quad y = 4x + \\frac{67}{27}\\]

\n

Sposób 1 - Pochodna i równanie stycznej

\n

Krok 1: Warunek równoległości

\n

Prosta \\(y = 4x\\) ma współczynnik kierunkowy \\(a = 4\\).

\n

Styczna do wykresu \\(f\\) jest równoległa do tej prostej wtedy i tylko wtedy, gdy nachylenie stycznej (czyli wartość pochodnej) wynosi \\(4\\):
\\[f'(x_0) = 4\\]

\n

Krok 2: Obliczamy pochodną

\n

\\[f(x) = x^3 - 2x^2 + 1\\]
\\[f'(x) = 3x^2 - 4x\\]

\n

Krok 3: Rozwiązujemy równanie \\(f'(x) = 4\\)

\n

\\[3x^2 - 4x = 4\\]
\\[3x^2 - 4x - 4 = 0\\]

\n

Wyróżnik:
\\[\\Delta = (-4)^2 - 4 \\cdot 3 \\cdot (-4) = 16 + 48 = 64\\]
\\[\\sqrt{\\Delta} = 8\\]

\n

Pierwiastki:
\\[x_1 = \\frac{4 + 8}{6} = \\frac{12}{6} = 2\\]
\\[x_2 = \\frac{4 - 8}{6} = \\frac{-4}{6} = -\\frac{2}{3}\\]

\n

Krok 4: Wyznaczamy punkty styczne

\n

Dla \\(x_1 = 2\\):
\\[f(2) = 8 - 8 + 1 = 1 \\quad \\Rightarrow \\quad \\text{punkt } (2,\\, 1)\\]

\n

Dla \\(x_2 = -\\frac{2}{3}\\):
\\[f\\!\\left(-\\tfrac{2}{3}\\right) = \\left(-\\tfrac{2}{3}\\right)^3 - 2\\left(-\\tfrac{2}{3}\\right)^2 + 1 = -\\frac{8}{27} - \\frac{8}{9} + 1 = -\\frac{8}{27} - \\frac{24}{27} + \\frac{27}{27} = -\\frac{5}{27}\\]

\n

Krok 5: Zapisujemy równania stycznych

\n

Wzór ogólny: \\(y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)\\)

\n

Dla \\(x_0 = 2\\):
\\[y = 4(x - 2) + 1 = 4x - 8 + 1\\]
\\[\\boxed{y = 4x - 7}\\]

\n

Dla \\(x_0 = -\\frac{2}{3}\\):
\\[y = 4\\!\\left(x + \\tfrac{2}{3}\\right) + \\left(-\\tfrac{5}{27}\\right) = 4x + \\frac{8}{3} - \\frac{5}{27} = 4x + \\frac{72}{27} - \\frac{5}{27}\\]
\\[\\boxed{y = 4x + \\frac{67}{27}}\\]

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie

\n

Sprawdzamy, że znalezione proste faktycznie stykają się z wykresem \\(f\\).

\n

Styczna \\(y = 4x - 7\\) - punkt styku przy \\(x = 2\\)? Porównujemy \\(f(x) = 4x - 7\\):

\n

\\[x^3 - 2x^2 + 1 = 4x - 7\\]
\\[x^3 - 2x^2 - 4x + 8 = 0\\]
\\[x^2(x - 2) - 4(x - 2) = 0\\]
\\[(x-2)(x^2 - 4) = 0\\]
\\[(x-2)^2(x+2) = 0\\]

\n

Pierwiastek \\(x = 2\\) jest podwójny - to właśnie oznacza styczność (nie secans, lecz styczna). ✓

\n

Styczna \\(y = 4x + \\frac{67}{27}\\) - punkt styku przy \\(x = -\\frac{2}{3}\\)? Porównujemy:

\n

\\[x^3 - 2x^2 + 1 = 4x + \\frac{67}{27}\\]
\\[x^3 - 2x^2 - 4x + 1 - \\frac{67}{27} = 0\\]
\\[x^3 - 2x^2 - 4x - \\frac{40}{27} = 0\\]

\n

Sprawdzamy \\(x = -\\frac{2}{3}\\):
\\[-\\frac{8}{27} - \\frac{8}{9} + \\frac{8}{3} - \\frac{40}{27} = -\\frac{8}{27} - \\frac{24}{27} + \\frac{72}{27} - \\frac{40}{27} = 0\\] ✓

\n

Dzielimy wielomian przez \\(\\left(x + \\frac{2}{3}\\right)^2\\) - pierwiastek podwójny potwierdza styczność. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 16 (Pochodna funkcji, s. 32-33) - pochodna potęgi i suma:
\\[(x^r)' = r \\cdot x^{r-1}\\]
Użyliśmy do obliczenia \\(f'(x) = 3x^2 - 4x\\).

\n

Dział 16 (s. 33) - równanie stycznej:
\\[y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)\\]
Kluczowy wzór - zastosowany w Kroku 5 dla obu punktów stycznych.

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8) - wzór kwadratowy:
\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]
Użyliśmy do rozwiązania równania \\(3x^2 - 4x - 4 = 0\\) w Kroku 3.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Warunek równoległości to \\(f'(x_0) = 4\\), nie \\(f'(x_0) = 0\\). Mamy szukać stycznych o danym nachyleniu, nie poziomych stycznych!
\n
⚠️ Uwaga: Równanie \\(3x^2 - 4x = 4\\) trzeba przekształcić do postaci \\(3x^2 - 4x - 4 = 0\\), przenosząc \\(4\\) na lewą stronę - częsty błąd to liczenie delty dla \\(3x^2 - 4x\\) bez przesunięcia czwórki.
\n
⚠️ Uwaga: Są dwie styczne - łatwo zatrzymać się po znalezieniu \\(x_1 = 2\\) i pominąć \\(x_2 = -\\frac{2}{3}\\). Zawsze sprawdzaj wszystkie pierwiastki równania \\(f'(x) = a\\).
\n

Wynik: Styczne: \\(y=4x-5\\) oraz \\(y=4x+\\dfrac{67}{27}\\)

\n
Sposób 1 - Pochodna i warunek równoległości
\n

Styczna do wykresu \\(f\\) w punkcie \\(x_0\\) ma współczynnik kierunkowy \\(f'(x_0)\\). Prosta \\(y=4x\\) ma współczynnik \\(4\\), więc szukamy \\(x_0\\) takich, że \\(f'(x_0)=4\\).

\n

\\[f'(x)=3x^{2}-4x\\]
\\[3x^{2}-4x=4\\]
\\[3x^{2}-4x-4=0\\]
\\[\\Delta=16+48=64, \\sqrt{\\Delta}=8\\]
\\[x_0=\\dfrac{4 \\pm 8}{6}\\]
Stąd \\(x_0=2\\) lub \\(x_0=-\\dfrac{2}{3}\\).

\n

Dla \\(x_0=2\\): \\(f(2)=8-8+1=1\\). Równanie stycznej: \\(y-1=4(x-2)\\), czyli \\(y=4x-7\\).

\n

Sprawdzenie: \\(f(2)=1\\), \\(y(2)=4 \\cdot 2-7=1\\). OK.

\n

Dla \\(x_0=-\\dfrac{2}{3}\\): \\(f(-\\frac{2}{3})=-\\frac{8}{27}-2 \\cdot \\frac{4}{9}+1=-\\frac{8}{27}-\\frac{8}{9}+1=-\\frac{8}{27}-\\frac{24}{27}+\\frac{27}{27}=-\\frac{5}{27}\\). Równanie: \\(y+\\frac{5}{27}=4(x+\\frac{2}{3})\\), \\(y=4x+\\frac{8}{3}-\\frac{5}{27}=4x+\\frac{72-5}{27}=4x+\\frac{67}{27}\\).

\n
Sposób 2 - Zapis kanoniczny stycznej
\n

Rówanie stycznej w punkcie \\((x_0, f(x_0))\\): \\(y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\\). Rozwiązujemy \\(f'(x_0)=4\\) i otrzymujemy \\(x_0 \\in \\{2, -\\frac{2}{3}\\}\\). Dalej jak w sposobie 1.

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik/Klucz: Styczna równoległa do \\(y=mx+n\\) ma współczynnik \\(m\\). Wyznacz \\(x_0\\) z \\(f'(x_0)=m\\), potem \\(y-f(x_0)=m(x-x_0)\\).

\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1: Użycie wzoru na silnię
\n

Rozważmy wzór: n!=1·2·3 n. To jest definicja silni. Zatem, silnia n (oznaczana jako n!) jest równa 1·2·3 n.

\n

\\[n! = 1 \\cdot 2 \\cdot 3 \\cdot \\cdot n\\]
📖 Karta wzorów: Silnia n!=1·2 n, strona 6

\n
Sposób 2: Rozpisanie silni
\n

Możemy również rozwinąć silnię, aby pokazać, że jest to iloczyn wszystkich liczb naturalnych od 1 do n. Silnia n to n razy n-1 razy n-2 1.

\n

\\[n! = n \\cdot (n-1) \\cdot (n-2) \\cdot \\cdot 1\\]
📖 Karta wzorów: Silnia n!=1·2 n, strona 6

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n

B. "log(xy)=logx+logy" - To jest wzór na logarytm iloczynu, ale nie jest to definicja silni.
C. "Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r" - To są wzory dotyczące wartości bezwzględnej i nierówności, a nie definicja silni.
D. "Potęgi: a^r·a^s=a^(r+s), (a^r)^s=a^(rs), √(a²)=|a|" - To są wzory dotyczące potęg, a nie definicja silni.

"}]}