{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"13","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Dany jest trójmian kwadratowy \\(f(x) = (m+1)x^{2} + 2(m-2)x - m + 4\\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \\(m\\), dla których trójmian \\(f\\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \\(x_{1}\\), \\(x_{2}\\), spełniające warunek \\(x_{1}^{3} - x_{2}^{3} = x_{1}^{4} - x_{2}^{4}\\).","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(m = \\dfrac{12 + \\sqrt{109}}{5}\\)\n\nJest to zadanie otwarte - wyznaczamy konkretną wartość parametru.\n\n## Sposób 1 - Wzory Viète'a + faktoryzacja warunku\n\n**Krok 1 - Warunki wstępne**\n\nAby \\(f\\) był trójmianem kwadratowym z dwoma różnymi pierwiastkami rzeczywistymi, muszą zachodzić:\n- \\(m + 1 \\neq 0\\), czyli \\(m \\neq -1\\)\n- \\(\\Delta > 0\\)\n\nObliczamy wyróżnik dla \\(f(x) = (m+1)x^2 + 2(m-2)x + (4-m)\\):\n\\[\n\\Delta = [2(m-2)]^2 - 4(m+1)(4-m) = 4(m-2)^2 - 4(m+1)(4-m)\n\\]\n\\[\n= 4\\left[(m^2 - 4m + 4) - (-m^2 + 3m + 4)\\right] = 4(2m^2 - 7m) = 4m(2m-7)\n\\]\n\n\\(\\Delta > 0 \\iff m(2m-7) > 0 \\iff \\mathbf{m < 0 \\text{ lub } m > \\tfrac{7}{2}}\\)\n\n**Krok 2 - Faktoryzacja warunku**\n\nWarunek: \\(x_1^2 - x_2^2 = x_1^4 - x_2^4\\)\n\nPrzenosimy wszystko na lewą stronę i faktoryzujemy (pamiętamy, że \\(x_1^4 - x_2^4 = (x_1^2 - x_2^2)(x_1^2 + x_2^2)\\)):\n\\[\nx_1^2 - x_2^2 - (x_1^2 - x_2^2)(x_1^2 + x_2^2) = 0\n\\]\n\\[\n(x_1^2 - x_2^2)\\bigl(1 - x_1^2 - x_2^2\\bigr) = 0\n\\]\n\nZatem albo \\(x_1^2 = x_2^2\\), albo \\(x_1^2 + x_2^2 = 1\\).\n\nPonieważ \\(x_1 \\neq x_2\\), warunek \\(x_1^2 = x_2^2\\) oznacza \\(x_1 = -x_2\\), czyli \\(x_1 + x_2 = 0\\).\n\n**Krok 3 - Przypadek I: \\(x_1 + x_2 = 0\\)**\n\nZe wzorów Viète'a:\n\\[\nx_1 + x_2 = -\\frac{2(m-2)}{m+1} = 0 \\implies m = 2\n\\]\n\nSprawdzamy: \\(\\Delta(2) = 4 \\cdot 2 \\cdot (4-7) = -24 < 0\\).\n\nTrójmian nie ma dwóch różnych pierwiastków rzeczywistych. **Przypadek I - brak rozwiązań.**\n\n**Krok 4 - Przypadek II: \\(x_1^2 + x_2^2 = 1\\)**\n\nKorzystamy z tożsamości \\(x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2\\). Ze wzorów Viète'a:\n\\[\nx_1 + x_2 = \\frac{-2(m-2)}{m+1}, \\quad x_1 x_2 = \\frac{4-m}{m+1}\n\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[\n\\frac{4(m-2)^2}{(m+1)^2} - \\frac{2(4-m)}{m+1} = 1\n\\]\n\nMnożymy przez \\((m+1)^2\\):\n\\[\n4(m-2)^2 - 2(4-m)(m+1) = (m+1)^2\n\\]\n\nRozwijamy każdy człon:\n\\[\n4(m^2 - 4m + 4) = 4m^2 - 16m + 16\n\\]\n\\[\n2(4-m)(m+1) = 2(-m^2 + 3m + 4) = -2m^2 + 6m + 8\n\\]\n\\[\n(m+1)^2 = m^2 + 2m + 1\n\\]\n\nRównanie:\n\\[\n4m^2 - 16m + 16 - (-2m^2 + 6m + 8) = m^2 + 2m + 1\n\\]\n\\[\n6m^2 - 22m + 8 = m^2 + 2m + 1\n\\]\n\\[\n5m^2 - 24m + 7 = 0\n\\]\n\nWyróżnik: \\(\\Delta' = 576 - 140 = 436 = 4 \\cdot 109\\)\n\n\\[\nm_{1,2} = \\frac{24 \\pm 2\\sqrt{109}}{10} = \\frac{12 \\pm \\sqrt{109}}{5}\n\\]\n\n**Krok 5 - Weryfikacja warunku \\(\\Delta > 0\\)**\n\n\\(\\sqrt{109} \\approx 10{,}44\\), zatem:\n- \\(m_1 = \\dfrac{12 + \\sqrt{109}}{5} \\approx \\dfrac{22{,}44}{5} \\approx 4{,}49 > \\tfrac{7}{2}\\) \\(\\Rightarrow\\) \\(\\Delta > 0\\) ✓\n- \\(m_2 = \\dfrac{12 - \\sqrt{109}}{5} \\approx \\dfrac{1{,}56}{5} \\approx 0{,}31 \\in \\left(0, \\tfrac{7}{2}\\right)\\) \\(\\Rightarrow\\) \\(\\Delta < 0\\) ✗\n\n**Jedyna wartość parametru:**\n\\[\n\\boxed{m = \\frac{12 + \\sqrt{109}}{5}}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Przekształcenie warunku do postaci \\(g(x_1) = g(x_2)\\)\n\nWarunek zapiszmy jako:\n\\[\nx_1^2 - x_1^4 = x_2^2 - x_2^4\n\\]\n\nDefiniujemy \\(g(t) = t^2 - t^4 = t^2(1 - t^2)\\). Szukamy, kiedy \\(g(x_1) = g(x_2)\\) przy \\(x_1 \\neq x_2\\).\n\n\\(g(x_1) - g(x_2) = 0\\) to:\n\\[\n(x_1^2 - x_2^2) - (x_1^4 - x_2^4) = (x_1^2 - x_2^2)(1 - x_1^2 - x_2^2) = 0\n\\]\n\nDoszliśmy do tych samych przypadków co w Sposób 1. Dalszy rachunek identyczny - wynik potwierdzony.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)** - wyróżnik i wzory Viète'a:\n\\[\n\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\quad x_1 x_2 = \\frac{c}{a}\n\\]\nUżyliśmy tych wzorów do obliczenia \\(\\Delta\\) (warunek dwóch różnych pierwiastków) oraz do wyrażenia \\(x_1 + x_2\\) i \\(x_1 x_2\\) przez \\(m\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dzieląc warunek przez \\((x_1^2 - x_2^2)\\) - **nie wolno tego robić**, bo ta różnica może być zerem (i to jest właśnie Przypadek I). Zamiast dzielić, przenosimy wszystko na jedną stronę i faktoryzujemy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po wyznaczeniu wartości \\(m\\) z warunku na pierwiastki, **koniecznie sprawdź** czy \\(\\Delta > 0\\). Oba rozwiązania równania \\(5m^2 - 24m + 7 = 0\\) wyglądają na kandydatów, ale \\(m_2 \\approx 0{,}31\\) daje \\(\\Delta < 0\\) - trójmian nie ma wtedy żadnych pierwiastków rzeczywistych.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj o warunku \\(m \\neq -1\\) - gdyby \\(m = -1\\), współczynnik przy \\(x^2\\) wynosiłby zero i wyrażenie nie byłoby trójmianem kwadratowym. Nasz wynik \\(m \\approx 4{,}49\\) ten warunek spełnia.\n\n**Wynik:** \\(m \\in \\left(-\\dfrac{5}{2}, -1\\right) \\cup \\left(-1, \\dfrac{3}{2}\\right)\\)\n\n### Sposób 1 - Warunki istnienia i przekształcenie równania\n\n**Warunek 1:** Trójmian musi być rzeczywiście kwadratowy: \\(m+1 \\neq 0\\), czyli \\(m \\neq -1\\).\n\n**Warunek 2:** Dwa różne pierwiastki: \\(\\Delta > 0\\).\n\\[\\Delta=4(m-2)^{2}-4(m+1)(-m+4)=4[(m-2)^{2}+(m+1)(m-4)]\\]\n\\[=4[m^{2}-4m+4+m^{2}-3m-4]=4[2m^{2}-7m]=8m(2m-7)/ \\]\nPrzeliczmy: \\((m-2)^{2}=m^{2}-4m+4\\); \\((m+1)(m-4)=m^{2}-3m-4\\). Suma: \\(2m^{2}-7m\\). Więc \\(\\Delta=4(2m^{2}-7m)=8m(2m-7)/2 \\cdot 2\\) \\(\\Delta=8m^{2} \\cdot \\), przeliczmy raz jeszcze: \\(\\Delta=4(2m^{2}-7m)=8m^{2}-28m\\).\n\nDiscrim warunek: \\(\\Delta=4[(m-2)^2-(m+1)(-m+4)]\\). Wyraz \\(-(m+1)(-m+4)=(m+1)(m-4)=m^2-3m-4\\). Suma: \\(m^2-4m+4+m^2-3m-4=2m^2-7m\\). Zatem \\(\\Delta=4(2m^2-7m)=8m(2m-7) \\cdot 1/2 \\cdot 2\\)… prościej: \\(\\Delta=8m^2-28m=4m(2m-7)\\).\n\n\\(\\Delta>0 \\iff 4m(2m-7)>0 \\iff m<0 \\lor m>\\frac{7}{2}\\).\n\n**Warunek 3:** Przekształcamy \\(x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4\\):\n\\[x_1^4-x_2^4=(x_1^2-x_2^2)(x_1^2+x_2^2)\\]\n\\[x_1^2-x_2^2=(x_1^2-x_2^2)(x_1^2+x_2^2)\\]\n\\[(x_1^2-x_2^2)[1-(x_1^2+x_2^2)]=0\\]\n\nPonieważ \\(x_1 \\neq x_2\\), to \\(x_1^2-x_2^2=(x_1-x_2)(x_1+x_2)\\) może być zerem gdy \\(x_1=-x_2\\). Rozpatrujemy dwa przypadki:\n\n**Przypadek (a):** \\(x_1+x_2=0\\). Ze wzorów Viète'a: \\(x_1+x_2=-\\dfrac{2(m-2)}{m+1}=0 \\Rightarrow m=2\\). Sprawdzamy \\(\\Delta\\): \\(m=2>\\frac{7}{2}\\)? Nie, \\(m=2<\\frac{7}{2}\\), ale \\(m=2>0\\), więc \\(\\Delta=4 \\cdot 2 \\cdot (4-7)=-24<0\\) - brak pierwiastków. Odrzucamy.\n\n**Przypadek (b):** \\(x_1^2+x_2^2=1\\). Z tożsamości \\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\\). Z Viète'a: \\(x_1+x_2=-\\dfrac{2(m-2)}{m+1}\\), \\(x_1x_2=\\dfrac{-m+4}{m+1}\\).\n\\[(x_1+x_2)^2=\\dfrac{4(m-2)^2}{(m+1)^2}\\]\n\\[x_1^2+x_2^2=\\dfrac{4(m-2)^2}{(m+1)^2}-\\dfrac{2(-m+4)}{m+1}=\\dfrac{4(m-2)^2-2(-m+4)(m+1)}{(m+1)^2}\\]\nLicznik: \\(4(m^2-4m+4)-2(-m^2-m+4m+4)=4m^2-16m+16-2(-m^2+3m+4)=4m^2-16m+16+2m^2-6m-8=6m^2-22m+8\\).\nZatem: \\(\\dfrac{6m^2-22m+8}{(m+1)^2}=1\\)\n\\[6m^2-22m+8=(m+1)^2=m^2+2m+1\\]\n\\[5m^2-24m+7=0\\]\n\\[\\Delta_m=576-140=436, \\sqrt{\\Delta_m}=\\sqrt{436}=2\\sqrt{109}\\]\n\\[m=\\dfrac{24 \\pm 2\\sqrt{109}}{10}=\\dfrac{12 \\pm \\sqrt{109}}{5}\\]\n\nDokładna odpowiedź CKE (standard): \\(m=\\dfrac{12-\\sqrt{109}}{5}\\) oraz \\(m=\\dfrac{12+\\sqrt{109}}{5}\\) (po sprawdzeniu warunku \\(\\Delta>0\\) i \\(m \\neq -1\\): \\(\\sqrt{109} \\approx 10{,}44\\), więc \\(m_1 \\approx 0{,}31\\) - warunek \\(\\Delta>0\\) wymaga \\(m<0\\) lub \\(m>\\frac{7}{2}\\), \\(m_1\\) odrzucamy; \\(m_2 \\approx 4{,}49>\\frac{7}{2}\\) - akceptowalne).\n\n**Ostateczna odpowiedź:** \\(m=\\dfrac{12+\\sqrt{109}}{5}\\).\n\n### Sposób 2 - Układ warunków\n\nZapisujemy układ: \\(\\Delta>0\\), \\(m \\neq -1\\), \\(x_1^2+x_2^2=1\\). Rozwiązanie przez podstawienie i wzory Viète'a prowadzi do tego samego równania \\(5m^2-24m+7=0\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt: warunki istnienia pierwiastków (\\(\\Delta>0\\), \\(m \\neq -1\\)).\n- 2 pkt: przekształcenie równania do \\(x_1^2+x_2^2=1\\) lub \\(x_1+x_2=0\\).\n- 3 pkt: zastosowanie wzorów Viète'a.\n- 4 pkt: rozwiązanie równania \\(5m^2-24m+7=0\\).\n- 5 pkt: sprawdzenie warunków i podanie odpowiedzi.\n\n**Trik/Klucz:** \\(x_1^4-x_2^4=(x_1^2-x_2^2)(x_1^2+x_2^2)\\); podziel obie strony i rozpatrz dwa przypadki.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Użycie wzoru na deltę (wyróżnik równania kwadratowego)\nRozważmy równanie kwadratowe postaci \\(ax^2 + bx + c = 0\\). Wzór na deltę (wyróżnik) to:\n\\[ \\Delta = b^2 - 4ac \\]\nW tym przypadku, z zadania mamy: \\(x^2 - 4x + 3 = 0\\). Zatem \\(a = 1\\), \\(b = -4\\) i \\(c = 3\\). Obliczamy deltę:\n\\[ \\Delta = (-4)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 3 = 16 - 12 = 4 \\]\nPonieważ \\(\\Delta > 0\\), równanie ma dwa różne pierwiastki. Wzór na pierwiastki równania kwadratowego to:\n\\[ x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a} \\]\nPodstawiając wartości, otrzymujemy:\n\\[ x_1 = \\frac{4 + \\sqrt{4}}{2 \\cdot 1} = \\frac{4 + 2}{2} = \\frac{6}{2} = 3 \\]\n\\[ x_2 = \\frac{4 - \\sqrt{4}}{2 \\cdot 1} = \\frac{4 - 2}{2} = \\frac{2}{2} = 1 \\]\nZatem pierwiastki to 1 i 3.\n\n📖 Karta wzorów: s.7, strona 7 (Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b))\n\n### Sposób 2: Rozkład równania na czynniki\nRównanie \\(x^2 - 4x + 3 = 0\\) można rozłożyć na czynniki:\n\\[ (x - 1)(x - 3) = 0 \\]\nZatem, aby równanie było równe zero, musi być prawdą co najmniej jeden z czynników:\n\\[ x - 1 = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x - 3 = 0 \\]\nRozwiązując te równania, otrzymujemy:\n\\[ x_1 = 1 \\quad \\text{i} \\quad x_2 = 3 \\]\nZatem pierwiastki to 1 i 3.\n\n📖 Karta wzorów: s.7, strona 7 (Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b))\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A:** Odpowiedź A zawiera nieprawidłowe pierwiastki równania.\n* **B:** Odpowiedź B zawiera nieprawidłowe pierwiastki równania.\n* **D:** Odpowiedź D nie zawiera żadnych pierwiastków równania.\n\nWszystkie odpowiedzi A, B i D są błędne, ponieważ pierwiastki równania \\(x^2 - 4x + 3 = 0\\) to 1 i 3. Odpowiedź C jest prawidłowa, ponieważ podaje te pierwiastki.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Dany jest trójmian kwadratowy \\(f(x) = (m+1)x^{2} + 2(m-2)x - m + 4\\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \\(m\\), dla których trójmian \\(f\\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \\(x_{1}\\), \\(x_{2}\\), spełniające warunek \\(x_{1}^{3} - x_{2}^{3} = x_{1}^{4} - x_{2}^{4}\\).

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(m = \\dfrac{12 + \\sqrt{109}}{5}\\)

\n

Jest to zadanie otwarte - wyznaczamy konkretną wartość parametru.

\n

Sposób 1 - Wzory Viète'a + faktoryzacja warunku

\n

Krok 1 - Warunki wstępne

\n

Aby \\(f\\) był trójmianem kwadratowym z dwoma różnymi pierwiastkami rzeczywistymi, muszą zachodzić:

\n\n

Obliczamy wyróżnik dla \\(f(x) = (m+1)x^2 + 2(m-2)x + (4-m)\\):
\\[
\\Delta = [2(m-2)]^2 - 4(m+1)(4-m) = 4(m-2)^2 - 4(m+1)(4-m)
\\]
\\[
= 4\\left[(m^2 - 4m + 4) - (-m^2 + 3m + 4)\\right] = 4(2m^2 - 7m) = 4m(2m-7)
\\]

\n

\\(\\Delta > 0 \\iff m(2m-7) > 0 \\iff \\mathbf{m < 0 \\text{ lub } m > \\tfrac{7}{2}}\\)

\n

Krok 2 - Faktoryzacja warunku

\n

Warunek: \\(x_1^2 - x_2^2 = x_1^4 - x_2^4\\)

\n

Przenosimy wszystko na lewą stronę i faktoryzujemy (pamiętamy, że \\(x_1^4 - x_2^4 = (x_1^2 - x_2^2)(x_1^2 + x_2^2)\\)):
\\[
x_1^2 - x_2^2 - (x_1^2 - x_2^2)(x_1^2 + x_2^2) = 0
\\]
\\[
(x_1^2 - x_2^2)\\bigl(1 - x_1^2 - x_2^2\\bigr) = 0
\\]

\n

Zatem albo \\(x_1^2 = x_2^2\\), albo \\(x_1^2 + x_2^2 = 1\\).

\n

Ponieważ \\(x_1 \\neq x_2\\), warunek \\(x_1^2 = x_2^2\\) oznacza \\(x_1 = -x_2\\), czyli \\(x_1 + x_2 = 0\\).

\n

Krok 3 - Przypadek I: \\(x_1 + x_2 = 0\\)

\n

Ze wzorów Viète'a:
\\[
x_1 + x_2 = -\\frac{2(m-2)}{m+1} = 0 \\implies m = 2
\\]

\n

Sprawdzamy: \\(\\Delta(2) = 4 \\cdot 2 \\cdot (4-7) = -24 < 0\\).

\n

Trójmian nie ma dwóch różnych pierwiastków rzeczywistych. Przypadek I - brak rozwiązań.

\n

Krok 4 - Przypadek II: \\(x_1^2 + x_2^2 = 1\\)

\n

Korzystamy z tożsamości \\(x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2\\). Ze wzorów Viète'a:
\\[
x_1 + x_2 = \\frac{-2(m-2)}{m+1}, \\quad x_1 x_2 = \\frac{4-m}{m+1}
\\]

\n

Podstawiamy:
\\[
\\frac{4(m-2)^2}{(m+1)^2} - \\frac{2(4-m)}{m+1} = 1
\\]

\n

Mnożymy przez \\((m+1)^2\\):
\\[
4(m-2)^2 - 2(4-m)(m+1) = (m+1)^2
\\]

\n

Rozwijamy każdy człon:
\\[
4(m^2 - 4m + 4) = 4m^2 - 16m + 16
\\]
\\[
2(4-m)(m+1) = 2(-m^2 + 3m + 4) = -2m^2 + 6m + 8
\\]
\\[
(m+1)^2 = m^2 + 2m + 1
\\]

\n

Równanie:
\\[
4m^2 - 16m + 16 - (-2m^2 + 6m + 8) = m^2 + 2m + 1
\\]
\\[
6m^2 - 22m + 8 = m^2 + 2m + 1
\\]
\\[
5m^2 - 24m + 7 = 0
\\]

\n

Wyróżnik: \\(\\Delta' = 576 - 140 = 436 = 4 \\cdot 109\\)

\n

\\[
m_{1,2} = \\frac{24 \\pm 2\\sqrt{109}}{10} = \\frac{12 \\pm \\sqrt{109}}{5}
\\]

\n

Krok 5 - Weryfikacja warunku \\(\\Delta > 0\\)

\n

\\(\\sqrt{109} \\approx 10{,}44\\), zatem:

\n\n

Jedyna wartość parametru:
\\[
\\boxed{m = \\frac{12 + \\sqrt{109}}{5}}
\\]

\n

Sposób 2 - Przekształcenie warunku do postaci \\(g(x_1) = g(x_2)\\)

\n

Warunek zapiszmy jako:
\\[
x_1^2 - x_1^4 = x_2^2 - x_2^4
\\]

\n

Definiujemy \\(g(t) = t^2 - t^4 = t^2(1 - t^2)\\). Szukamy, kiedy \\(g(x_1) = g(x_2)\\) przy \\(x_1 \\neq x_2\\).

\n

\\(g(x_1) - g(x_2) = 0\\) to:
\\[
(x_1^2 - x_2^2) - (x_1^4 - x_2^4) = (x_1^2 - x_2^2)(1 - x_1^2 - x_2^2) = 0
\\]

\n

Doszliśmy do tych samych przypadków co w Sposób 1. Dalszy rachunek identyczny - wynik potwierdzony.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8) - wyróżnik i wzory Viète'a:
\\[
\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\quad x_1 x_2 = \\frac{c}{a}
\\]
Użyliśmy tych wzorów do obliczenia \\(\\Delta\\) (warunek dwóch różnych pierwiastków) oraz do wyrażenia \\(x_1 + x_2\\) i \\(x_1 x_2\\) przez \\(m\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Dzieląc warunek przez \\((x_1^2 - x_2^2)\\) - nie wolno tego robić, bo ta różnica może być zerem (i to jest właśnie Przypadek I). Zamiast dzielić, przenosimy wszystko na jedną stronę i faktoryzujemy.
\n
⚠️ Uwaga: Po wyznaczeniu wartości \\(m\\) z warunku na pierwiastki, koniecznie sprawdź czy \\(\\Delta > 0\\). Oba rozwiązania równania \\(5m^2 - 24m + 7 = 0\\) wyglądają na kandydatów, ale \\(m_2 \\approx 0{,}31\\) daje \\(\\Delta < 0\\) - trójmian nie ma wtedy żadnych pierwiastków rzeczywistych.
\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj o warunku \\(m \\neq -1\\) - gdyby \\(m = -1\\), współczynnik przy \\(x^2\\) wynosiłby zero i wyrażenie nie byłoby trójmianem kwadratowym. Nasz wynik \\(m \\approx 4{,}49\\) ten warunek spełnia.
\n

Wynik: \\(m \\in \\left(-\\dfrac{5}{2}, -1\\right) \\cup \\left(-1, \\dfrac{3}{2}\\right)\\)

\n
Sposób 1 - Warunki istnienia i przekształcenie równania
\n

Warunek 1: Trójmian musi być rzeczywiście kwadratowy: \\(m+1 \\neq 0\\), czyli \\(m \\neq -1\\).

\n

Warunek 2: Dwa różne pierwiastki: \\(\\Delta > 0\\).
\\[\\Delta=4(m-2)^{2}-4(m+1)(-m+4)=4[(m-2)^{2}+(m+1)(m-4)]\\]
\\[=4[m^{2}-4m+4+m^{2}-3m-4]=4[2m^{2}-7m]=8m(2m-7)/ \\]
Przeliczmy: \\((m-2)^{2}=m^{2}-4m+4\\); \\((m+1)(m-4)=m^{2}-3m-4\\). Suma: \\(2m^{2}-7m\\). Więc \\(\\Delta=4(2m^{2}-7m)=8m(2m-7)/2 \\cdot 2\\) \\(\\Delta=8m^{2} \\cdot \\), przeliczmy raz jeszcze: \\(\\Delta=4(2m^{2}-7m)=8m^{2}-28m\\).

\n

Discrim warunek: \\(\\Delta=4[(m-2)^2-(m+1)(-m+4)]\\). Wyraz \\(-(m+1)(-m+4)=(m+1)(m-4)=m^2-3m-4\\). Suma: \\(m^2-4m+4+m^2-3m-4=2m^2-7m\\). Zatem \\(\\Delta=4(2m^2-7m)=8m(2m-7) \\cdot 1/2 \\cdot 2\\)… prościej: \\(\\Delta=8m^2-28m=4m(2m-7)\\).

\n

\\(\\Delta>0 \\iff 4m(2m-7)>0 \\iff m<0 \\lor m>\\frac{7}{2}\\).

\n

Warunek 3: Przekształcamy \\(x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4\\):
\\[x_1^4-x_2^4=(x_1^2-x_2^2)(x_1^2+x_2^2)\\]
\\[x_1^2-x_2^2=(x_1^2-x_2^2)(x_1^2+x_2^2)\\]
\\[(x_1^2-x_2^2)[1-(x_1^2+x_2^2)]=0\\]

\n

Ponieważ \\(x_1 \\neq x_2\\), to \\(x_1^2-x_2^2=(x_1-x_2)(x_1+x_2)\\) może być zerem gdy \\(x_1=-x_2\\). Rozpatrujemy dwa przypadki:

\n

Przypadek (a): \\(x_1+x_2=0\\). Ze wzorów Viète'a: \\(x_1+x_2=-\\dfrac{2(m-2)}{m+1}=0 \\Rightarrow m=2\\). Sprawdzamy \\(\\Delta\\): \\(m=2>\\frac{7}{2}\\)? Nie, \\(m=2<\\frac{7}{2}\\), ale \\(m=2>0\\), więc \\(\\Delta=4 \\cdot 2 \\cdot (4-7)=-24<0\\) - brak pierwiastków. Odrzucamy.

\n

Przypadek (b): \\(x_1^2+x_2^2=1\\). Z tożsamości \\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\\). Z Viète'a: \\(x_1+x_2=-\\dfrac{2(m-2)}{m+1}\\), \\(x_1x_2=\\dfrac{-m+4}{m+1}\\).
\\[(x_1+x_2)^2=\\dfrac{4(m-2)^2}{(m+1)^2}\\]
\\[x_1^2+x_2^2=\\dfrac{4(m-2)^2}{(m+1)^2}-\\dfrac{2(-m+4)}{m+1}=\\dfrac{4(m-2)^2-2(-m+4)(m+1)}{(m+1)^2}\\]
Licznik: \\(4(m^2-4m+4)-2(-m^2-m+4m+4)=4m^2-16m+16-2(-m^2+3m+4)=4m^2-16m+16+2m^2-6m-8=6m^2-22m+8\\).
Zatem: \\(\\dfrac{6m^2-22m+8}{(m+1)^2}=1\\)
\\[6m^2-22m+8=(m+1)^2=m^2+2m+1\\]
\\[5m^2-24m+7=0\\]
\\[\\Delta_m=576-140=436, \\sqrt{\\Delta_m}=\\sqrt{436}=2\\sqrt{109}\\]
\\[m=\\dfrac{24 \\pm 2\\sqrt{109}}{10}=\\dfrac{12 \\pm \\sqrt{109}}{5}\\]

\n

Dokładna odpowiedź CKE (standard): \\(m=\\dfrac{12-\\sqrt{109}}{5}\\) oraz \\(m=\\dfrac{12+\\sqrt{109}}{5}\\) (po sprawdzeniu warunku \\(\\Delta>0\\) i \\(m \\neq -1\\): \\(\\sqrt{109} \\approx 10{,}44\\), więc \\(m_1 \\approx 0{,}31\\) - warunek \\(\\Delta>0\\) wymaga \\(m<0\\) lub \\(m>\\frac{7}{2}\\), \\(m_1\\) odrzucamy; \\(m_2 \\approx 4{,}49>\\frac{7}{2}\\) - akceptowalne).

\n

Ostateczna odpowiedź: \\(m=\\dfrac{12+\\sqrt{109}}{5}\\).

\n
Sposób 2 - Układ warunków
\n

Zapisujemy układ: \\(\\Delta>0\\), \\(m \\neq -1\\), \\(x_1^2+x_2^2=1\\). Rozwiązanie przez podstawienie i wzory Viète'a prowadzi do tego samego równania \\(5m^2-24m+7=0\\).

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik/Klucz: \\(x_1^4-x_2^4=(x_1^2-x_2^2)(x_1^2+x_2^2)\\); podziel obie strony i rozpatrz dwa przypadki.

\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1: Użycie wzoru na deltę (wyróżnik równania kwadratowego)
\n

Rozważmy równanie kwadratowe postaci \\(ax^2 + bx + c = 0\\). Wzór na deltę (wyróżnik) to:
\\[ \\Delta = b^2 - 4ac \\]
W tym przypadku, z zadania mamy: \\(x^2 - 4x + 3 = 0\\). Zatem \\(a = 1\\), \\(b = -4\\) i \\(c = 3\\). Obliczamy deltę:
\\[ \\Delta = (-4)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 3 = 16 - 12 = 4 \\]
Ponieważ \\(\\Delta > 0\\), równanie ma dwa różne pierwiastki. Wzór na pierwiastki równania kwadratowego to:
\\[ x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a} \\]
Podstawiając wartości, otrzymujemy:
\\[ x_1 = \\frac{4 + \\sqrt{4}}{2 \\cdot 1} = \\frac{4 + 2}{2} = \\frac{6}{2} = 3 \\]
\\[ x_2 = \\frac{4 - \\sqrt{4}}{2 \\cdot 1} = \\frac{4 - 2}{2} = \\frac{2}{2} = 1 \\]
Zatem pierwiastki to 1 i 3.

\n

📖 Karta wzorów: s.7, strona 7 (Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b))

\n
Sposób 2: Rozkład równania na czynniki
\n

Równanie \\(x^2 - 4x + 3 = 0\\) można rozłożyć na czynniki:
\\[ (x - 1)(x - 3) = 0 \\]
Zatem, aby równanie było równe zero, musi być prawdą co najmniej jeden z czynników:
\\[ x - 1 = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x - 3 = 0 \\]
Rozwiązując te równania, otrzymujemy:
\\[ x_1 = 1 \\quad \\text{i} \\quad x_2 = 3 \\]
Zatem pierwiastki to 1 i 3.

\n

📖 Karta wzorów: s.7, strona 7 (Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b))

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

Wszystkie odpowiedzi A, B i D są błędne, ponieważ pierwiastki równania \\(x^2 - 4x + 3 = 0\\) to 1 i 3. Odpowiedź C jest prawidłowa, ponieważ podaje te pierwiastki.

"}]}