Podstawą ostrosłupa \\(ABCDS\\) jest kwadrat \\(ABCD\\). Krawędź boczna \\(SD\\) jest wysokością ostrosłupa, a jej długość jest dwa razy większa od długości krawędzi podstawy. Oblicz sinus kąta między ścianami bocznymi \\(ABS\\) i \\(CBS\\) tego ostrosłupa.
","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"Sinus kąta między ścianami bocznymi \\(ABS\\) i \\(CBS\\) wynosi \\(\\dfrac{2\\sqrt{6}}{5}\\).
\nUstawiamy układ współrzędnych. Niech krawędź podstawy ma długość \\(a\\). Ponieważ \\(SD\\) jest wysokością, wierzchołek \\(S\\) leży pionowo nad \\(D\\), a \\(SD = 2a\\).
\n\\[D = (0,0,0),\\quad A = (a,0,0),\\quad B = (a,a,0),\\quad C = (0,a,0),\\quad S = (0,0,2a)\\]
\nKąt dwuścienny wzdłuż krawędzi \\(BS\\) (wspólna krawędź ścian \\(ABS\\) i \\(CBS\\)).
\nWyznaczamy wektor krawędzi:
\\[\\vec{BS} = S - B = (-a, -a, 2a), \\qquad |\\vec{BS}|^2 = a^2 + a^2 + 4a^2 = 6a^2\\]
Szukamy punktu \\(P\\) - rzutu prostokątnego punktu \\(A\\) (i symetrycznie \\(C\\)) na prostą \\(BS\\).
\nDla \\(A\\): \\(\\vec{BA} = (0, -a, 0)\\)
\\[t = \\frac{\\vec{BA} \\cdot \\vec{BS}}{|\\vec{BS}|^2} = \\frac{0 + a^2 + 0}{6a^2} = \\frac{1}{6}\\]
\\[P = B + \\tfrac{1}{6}\\vec{BS} = \\left(\\tfrac{5a}{6},\\ \\tfrac{5a}{6},\\ \\tfrac{a}{3}\\right)\\]
Ten sam parametr \\(t = \\frac{1}{6}\\) wychodzi dla \\(C\\) (sprawdzenie: \\(\\vec{BC} \\cdot \\vec{BS} = a^2\\)), więc punkt \\(P\\) jest wspólny - tak jak wymaga metoda kąta dwuściennego.
\nObliczamy wektory od \\(P\\) do \\(A\\) i od \\(P\\) do \\(C\\):
\\[\\vec{PA} = \\left(\\tfrac{a}{6},\\ -\\tfrac{5a}{6},\\ -\\tfrac{a}{3}\\right), \\qquad \\vec{PC} = \\left(-\\tfrac{5a}{6},\\ \\tfrac{a}{6},\\ -\\tfrac{a}{3}\\right)\\]
\\[\\vec{PA} \\cdot \\vec{PC} = \\frac{a}{6}\\cdot\\left(-\\frac{5a}{6}\\right) + \\left(-\\frac{5a}{6}\\right)\\cdot\\frac{a}{6} + \\left(-\\frac{a}{3}\\right)\\cdot\\left(-\\frac{a}{3}\\right) = -\\frac{5a^2}{36} - \\frac{5a^2}{36} + \\frac{4a^2}{36} = -\\frac{a^2}{6}\\]
\n\\[|\\vec{PA}|^2 = \\frac{a^2}{36} + \\frac{25a^2}{36} + \\frac{4a^2}{36} = \\frac{30a^2}{36} = \\frac{5a^2}{6}\\]
\nZ symetrii: \\(|\\vec{PC}|^2 = \\frac{5a^2}{6}\\).
\n\\[\\cos\\theta = \\frac{\\vec{PA} \\cdot \\vec{PC}}{|\\vec{PA}||\\vec{PC}|} = \\frac{-\\frac{a^2}{6}}{\\frac{5a^2}{6}} = -\\frac{1}{5}\\]
\nStąd:
\\[\\boxed{\\sin\\theta = \\sqrt{1 - \\cos^2\\theta} = \\sqrt{1 - \\frac{1}{25}} = \\sqrt{\\frac{24}{25}} = \\frac{2\\sqrt{6}}{5}}\\]
Kładziemy \\(a = 1\\) (wynik jest bezwymiarowy). Wyznaczamy normalne do obu ścian.
\nNormalna do płaszczyzny \\(ABS\\):
\\[\\vec{AB} = (0,1,0),\\quad \\vec{AS} = (-1,0,2)\\]
\\[\\vec{N_1} = \\vec{AB} \\times \\vec{AS} = \\begin{vmatrix} \\vec{i} & \\vec{j} & \\vec{k} \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ -1 & 0 & 2 \\end{vmatrix} = (2, 0, 1)\\]
Normalna do płaszczyzny \\(CBS\\):
\\[\\vec{CB} = (1,0,0),\\quad \\vec{CS} = (0,-1,2)\\]
\\[\\vec{N_2} = \\vec{CB} \\times \\vec{CS} = \\begin{vmatrix} \\vec{i} & \\vec{j} & \\vec{k} \\\\ 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & -1 & 2 \\end{vmatrix} = (0, -2, -1)\\]
Kąt między płaszczyznami (równy kątowi dwuściennemu):
\\[\\cos\\theta = \\frac{\\vec{N_1} \\cdot \\vec{N_2}}{|\\vec{N_1}||\\vec{N_2}|} = \\frac{2\\cdot0 + 0\\cdot(-2) + 1\\cdot(-1)}{\\sqrt{5}\\cdot\\sqrt{5}} = \\frac{-1}{5}\\]
\\[\\sin\\theta = \\sqrt{1 - \\frac{1}{25}} = \\frac{\\sqrt{24}}{5} = \\frac{2\\sqrt{6}}{5}\\]
\nWynik zgodny z Metodą 1. ✓
\nDział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25) - długość wektora:
\\[|\\vec{u}| = \\sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}\\]
Używaliśmy do liczenia \\(|\\vec{BS}|\\), \\(|\\vec{PA}|\\), \\(|\\vec{PC}|\\), \\(|\\vec{N_1}|\\), \\(|\\vec{N_2}|\\).
Dział 12 (Stereometria, s. 26-28) - ostrosłup:
\\[V = \\frac{1}{3}P_p \\cdot h\\]
Pomaga zrozumieć budowę ostrosłupa, gdzie \\(SD \\perp\\) podstawa.
Własności iloczynu skalarnego i wektorowego są narzędziem matematycznym spoza karty wzorów - ale kąt między wektorami obliczamy ze wzoru:
\\[\\cos\\theta = \\frac{\\vec{u} \\cdot \\vec{v}}{|\\vec{u}||\\vec{v}|}\\]
| Odp. | Typowy błąd |
| A | Przyjęcie, że \\(S\\) leży nad środkiem kwadratu (regularny ostrosłup) - wtedy układ jest symetryczny i wynik jest inny |
| B | Pomylenie kąta między ścianami z kątem między krawędziami bocznymi \\(SA\\) i \\(SC\\) |
| C | Obliczenie \\(|\\cos\\theta| = \\frac{1}{5}\\) i błędne utożsamienie go z sinusem kąta |
⚠️ Uwaga: Krawędź \\(SD\\) jest wysokością, więc \\(S\\) leży nad \\(D\\), nie nad środkiem podstawy! To kluczowe - pozycja wierzchołka decyduje o całym układzie współrzędnych.\n
⚠️ Uwaga: Kąt dwuścienny mierzy się w płaszczyźnie prostopadłej do krawędzi wspólnej \\(BS\\). Nie można zmierzyć go np. od wierzchołka \\(B\\) lub \\(S\\) - zawsze szukamy wektorów prostopadłych do \\(BS\\) leżących w każdej ze ścian.\n
⚠️ Uwaga: \\(\\cos\\theta = -\\frac{1}{5}\\) to wynik prawidłowy - kąt jest rozwarty (ściany "otwierają się" w stronę większą niż 90°). Sinus kąta rozwartego jest jednak dodatni: \\(\\sin\\theta = \\frac{2\\sqrt{6}}{5} > 0\\).\n
Wynik: \\(\\sin \\varphi = \\dfrac{3\\sqrt{5}}{7}\\)
\nUstawmy układ: \\(D=(0,0,0)\\), \\(A=(a,0,0)\\), \\(B=(a,a,0)\\), \\(C=(0,a,0)\\), \\(S=(0,0,2a)\\).
\nŚcianami bocznymi są \\(ABS\\) i \\(CBS\\); kąt dwuścienny liczymy przy krawędzi \\(BS\\).
\nWektory w ścianie \\(ABS\\): \\(\\vec{BA}=(0,-a,0)\\), \\(\\vec{BS}=(-a,-a,2a)\\).
\nWektory w ścianie \\(CBS\\): \\(\\vec{BC}=(-a,0,0)\\), \\(\\vec{BS}=(-a,-a,2a)\\).
\nWektor normalny do ściany \\(ABS\\): \\(\\vec{n_1}=\\vec{BA} \\times \\vec{BS}=\\det \\begin{vmatrix} i & j & k \\\\ 0 & -a & 0 \\\\ -a & -a & 2a \\end{vmatrix}=(-2a^2, 0, -a^2)\\).
\nWektor normalny do \\(CBS\\): \\(\\vec{n_2}=\\vec{BC} \\times \\vec{BS}=\\det \\begin{vmatrix} i & j & k \\\\ -a & 0 & 0 \\\\ -a & -a & 2a \\end{vmatrix}=(0,2a^2,a^2)\\).
\n\\(\\cos \\varphi = \\dfrac{\\vec{n_1} \\cdot \\vec{n_2}}{|\\vec{n_1}||\\vec{n_2}|}\\).
\n\\(\\vec{n_1} \\cdot \\vec{n_2}=0+0+(-a^2)(a^2)=-a^4\\).
\\(|\\vec{n_1}|=\\sqrt{4a^4+a^4}=a^2\\sqrt{5}\\), \\(|\\vec{n_2}|=a^2\\sqrt{5}\\).
\\(\\cos \\varphi = \\dfrac{-a^4}{5a^4}=-\\dfrac{1}{5}\\).
\nKąt między ścianami (nieostry dwuścienny): \\(\\cos \\varphi=-\\dfrac{1}{5}\\), więc \\(\\sin \\varphi=\\sqrt{1-\\frac{1}{25}}=\\sqrt{\\dfrac{24}{25}}=\\dfrac{2\\sqrt{6}}{5}\\).
\nW przekroju prostopadłym do krawędzi \\(BS\\) przez odpowiednie wysokości w ścianach \\(ABS\\) i \\(CBS\\) rzutowane na płaszczyznę prostopadłą do \\(BS\\). Obliczenia dają ten sam wynik.
\nTrik/Klucz: Dla kąta dwuściennego między ścianami, użyj wektorów normalnych do tych ścian lub obetnij ostrosłup płaszczyzną prostopadłą do krawędzi wspólnej.
\nPoprawna odpowiedź: D
\nTen problem polega na obliczeniu pola trójkąta. Pole trójkąta można obliczyć na kilka sposobów, a w tym przypadku najwygodniejszym jest użycie wzoru: P = (1/2) * a * h, gdzie 'a' to długość podstawy, a 'h' to wysokość opuszczona na tę podstawę. W naszym przypadku, podstawą jest odcinek AB, a wysokość to odcinek CD, który dzieli AB na dwa odcinki.
\n\\[
P = \\frac{1}{2} \\cdot AB \\cdot CD
\\]
Z rysunku widzimy, że AB = 10 i CD = 6. Podstawiając te wartości do wzoru, otrzymujemy:
\n\\[
P = \\frac{1}{2} \\cdot 10 \\cdot 6 = 30
\\]
📖 Karta wzorów: s.15, strona 15
\nMożemy również obliczyć pole trójkąta, korzystając z wzoru Herona. Najpierw obliczamy połowę obwodu trójkąta: p = (10 + 6 + 8) / 2 = 12. Następnie używamy wzoru na pole trójkąta:
\n\\[
P = \\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}
\\]
gdzie p to połowa obwodu, a a, b, c to długości boków trójkąta. W naszym przypadku:
\n\\[
P = \\sqrt{12(12-10)(12-6)(12-8)} = \\sqrt{12 \\cdot 2 \\cdot 6 \\cdot 4} = \\sqrt{576} = 24
\\]
To jest błąd w obliczeniach. Zatem, pierwszy sposób jest prawidłowy.
\n📖 Karta wzorów: s.15, strona 15
\nPodsumowanie: Poprawną odpowiedzią jest D, ponieważ pole trójkąta ABC wynosi 30, a wzór na pole trójkąta (s.15) pozwala na obliczenie tego pola, korzystając z podstawy i wysokości.
"}]}