{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"15","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu W(x) = x³ + ax² + bx + c jest równa 0. Trzy pierwiastki tego wielomianu tworzą arytmetyczny o różnicy równej 3.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: wszystkie trzy przypadki\n\nZadanie jest otwarte - należy wyznaczyć \\(a\\), \\(b\\), \\(c\\) dla każdej możliwej konfiguracji pierwiastków.\n\n## Sposób 1 - warunek sumy współczynników + wzory Viète'a\n\n**Krok 1: Interpretacja warunku sumy współczynników**\n\nSuma wszystkich czterech współczynników wielomianu \\(W(x) = x^3 + ax^2 + bx + c\\) to:\n\\[1 + a + b + c = W(1) = 0\\]\n\nZatem \\(x = 1\\) jest pierwiastkiem wielomianu \\(W\\).\n\n**Krok 2: Oznaczenie pierwiastków arytmetycznych**\n\nPonieważ pierwiastki tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \\(3\\), możemy je zapisać jako:\n\\[r, \\quad r+3, \\quad r+6\\]\ndla pewnej liczby rzeczywistej \\(r\\).\n\nJeden z tych pierwiastków musi być równy \\(1\\). Rozważamy trzy przypadki.\n\n**Przypadek I: \\(r = 1\\) (pierwszym pierwiastkiem jest 1)**\n\nPierwiastki: \\(1,\\ 4,\\ 7\\)\n\nZe wzorów Viète'a dla \\(W(x) = x^3 + ax^2 + bx + c\\):\n\\[x_1 + x_2 + x_3 = -a \\implies 1 + 4 + 7 = 12 = -a \\implies \\boxed{a = -12}\\]\n\\[x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = b \\implies 1\\cdot4 + 1\\cdot7 + 4\\cdot7 = 4 + 7 + 28 = 39 \\implies \\boxed{b = 39}\\]\n\\[x_1 x_2 x_3 = -c \\implies 1\\cdot4\\cdot7 = 28 = -c \\implies \\boxed{c = -28}\\]\n\nSprawdzenie: \\(W(1) = 1 - 12 + 39 - 28 = 0\\) ✓\n\n**Przypadek II: \\(r + 3 = 1\\), czyli \\(r = -2\\) (środkowym pierwiastkiem jest 1)**\n\nPierwiastki: \\(-2,\\ 1,\\ 4\\)\n\n\\[(-2) + 1 + 4 = 3 = -a \\implies \\boxed{a = -3}\\]\n\\[(-2)\\cdot1 + (-2)\\cdot4 + 1\\cdot4 = -2 - 8 + 4 = -6 \\implies \\boxed{b = -6}\\]\n\\[(-2)\\cdot1\\cdot4 = -8 = -c \\implies \\boxed{c = 8}\\]\n\nSprawdzenie: \\(W(1) = 1 - 3 - 6 + 8 = 0\\) ✓\n\n**Przypadek III: \\(r + 6 = 1\\), czyli \\(r = -5\\) (ostatnim pierwiastkiem jest 1)**\n\nPierwiastki: \\(-5,\\ -2,\\ 1\\)\n\n\\[(-5) + (-2) + 1 = -6 = -a \\implies \\boxed{a = 6}\\]\n\\[(-5)\\cdot(-2) + (-5)\\cdot1 + (-2)\\cdot1 = 10 - 5 - 2 = 3 \\implies \\boxed{b = 3}\\]\n\\[(-5)\\cdot(-2)\\cdot1 = 10 = -c \\implies \\boxed{c = -10}\\]\n\nSprawdzenie: \\(W(1) = 1 + 6 + 3 - 10 = 0\\) ✓\n\n## Sposób 2 - postać iloczynowa wielomianu\n\nPonieważ wiemy, że \\(x = 1\\) jest pierwiastkiem i pierwiastki tworzą ciąg arytmetyczny \\(r,\\ r+3,\\ r+6\\), bezpośrednio zapisujemy wielomian:\n\\[W(x) = (x - r)(x - (r+3))(x - (r+6))\\]\n\nWarunek \\(W(1) = 0\\):\n\\[(1 - r)(1 - r - 3)(1 - r - 6) = 0\\]\n\\[(1 - r)(-2 - r)(-5 - r) = 0\\]\n\nStąd:\n\\[1 - r = 0 \\implies r = 1, \\quad\\text{lub}\\quad -2 - r = 0 \\implies r = -2, \\quad\\text{lub}\\quad -5 - r = 0 \\implies r = -5\\]\n\nKażdy przypadek daje inną trójkę pierwiastków - dokładnie jak w Sposobie 1. Rozkładamy wielomian:\n\n**\\(r = 1\\):** \\(W(x) = (x-1)(x-4)(x-7) = x^3 - 12x^2 + 39x - 28\\)\n\n**\\(r = -2\\):** \\(W(x) = (x+2)(x-1)(x-4) = x^3 - 3x^2 - 6x + 8\\)\n\n**\\(r = -5\\):** \\(W(x) = (x+5)(x+2)(x-1) = x^3 + 6x^2 + 3x - 10\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy do oznaczenia pierwiastków jako \\(r,\\ r+3,\\ r+6\\) (różnica \\(d = 3\\)).\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa / wielomiany, s. 7-9)** - wzory Viète'a uogólnione na wielomian stopnia 3 z \\(W(x) = x^3 + ax^2 + bx + c\\):\n\\[x_1 + x_2 + x_3 = -a, \\quad x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = b, \\quad x_1 x_2 x_3 = -c\\]\nKarta CKE zawiera wzory Viète'a dla trójmianu kwadratowego (s. 8) - analogicznie stosujemy je dla stopnia 3.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \"suma czterech współczynników = 0\" to dokładnie \\(W(1) = 0\\). Uczniowie często mylnie interpretują go jako sumę \\(a + b + c = 0\\) (zapominając o współczynniku wiodącym \\(1\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie mówi \"rozważ wszystkie możliwe przypadki\" - trzeba sprawdzić, który z trzech wyrazów ciągu równa się \\(1\\). Napisanie tylko jednego przypadku daje niepełne rozwiązanie i utratę punktów.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy znakach w wzorach Viète'a łatwo pomylić: iloczyn pierwiastków \\(= -c\\) (nie \\(+c\\)), suma \\(= -a\\) (nie \\(+a\\)). Zawsze warto zweryfikować, wstawiając \\(W(1)\\).\n\n**Wyniki:** Dwa przypadki:\n- \\(a=-3, b=-9, c=11\\) (dla pierwiastków \\(-2,1,4\\))\n- Dla pierwiastków \\(x_0-3, x_0, x_0+3\\) dających sumę = 0 w \\(W(1)=0\\), analizujemy wszystkie przypadki.\n\n### Sposób 1 - Wzory Viète'a dla wielomianu 3 stopnia\n\nOznaczmy pierwiastki: \\(x_0-3, x_0, x_0+3\\) (ciąg arytmetyczny z różnicą 3).\n\n**Wzory Viète'a** dla \\(W(x)=x^3+ax^2+bx+c\\):\n\\[-a=(x_0-3)+x_0+(x_0+3)=3x_0 \\Rightarrow a=-3x_0\\]\n\\[b=(x_0-3)x_0+(x_0-3)(x_0+3)+x_0(x_0+3)=x_0^2-3x_0+x_0^2-9+x_0^2+3x_0=3x_0^2-9\\]\n\\[-c=(x_0-3)x_0(x_0+3)=x_0(x_0^2-9)=x_0^3-9x_0 \\Rightarrow c=-x_0^3+9x_0\\]\n\n**Warunek sumy współczynników:** \\(W(1)=1+a+b+c=0\\).\n\\[1-3x_0+3x_0^2-9-x_0^3+9x_0=0\\]\n\\[-x_0^3+3x_0^2+6x_0-8=0\\]\n\\[x_0^3-3x_0^2-6x_0+8=0\\]\n\nSprawdzamy pierwiastki wymierne (dzielniki 8): \\(x_0=1: 1-3-6+8=0\\). Tak! \\(x_0=1\\) jest pierwiastkiem.\n\nDzielimy: \\(x_0^3-3x_0^2-6x_0+8=(x_0-1)(x_0^2-2x_0-8)=(x_0-1)(x_0-4)(x_0+2)\\).\n\n**Pierwiastki:** \\(x_0 \\in \\{1, 4, -2\\}\\).\n\n**Przypadek \\(x_0=1\\):** pierwiastki \\(-2, 1, 4\\); \\(a=-3, b=3-9=-6, c=-1+9=8\\). Sprawdzenie: \\(1-3-6+8=0\\) ✓.\n\n**Przypadek \\(x_0=4\\):** pierwiastki \\(1, 4, 7\\); \\(a=-12, b=48-9=39, c=-64+36=-28\\). Sprawdzenie: \\(1-12+39-28=0\\) ✓.\n\n**Przypadek \\(x_0=-2\\):** pierwiastki \\(-5, -2, 1\\); \\(a=6, b=12-9=3, c=8-18=-10\\). Sprawdzenie: \\(1+6+3-10=0\\) ✓.\n\n### Sposób 2 - Bezpośrednie podstawienie \\(W(1)=0\\)\n\n\\(W(1)=0\\) oznacza, że \\(x=1\\) jest pierwiastkiem wielomianu. Zatem jeden z trzech pierwiastków to \\(1\\). Jeśli pierwiastki tworzą ciąg arytmetyczny z różnicą 3, to \\(1\\) może być pierwszym, środkowym lub ostatnim. Stąd trzy przypadki: \\((1,4,7), (-2,1,4), (-5,-2,1)\\). Reszta analogicznie jak w sposobie 1.\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1-2 pkt: zastosowanie wzorów Viète'a lub rozpoznanie, że \\(W(1)=0\\).\n- 3 pkt: wyznaczenie pierwiastka \\(x_0\\).\n- 4-5 pkt: wyznaczenie wszystkich trzech przypadków współczynników.\n- 6 pkt: kompletne rozwiązanie z weryfikacją.\n\n**Trik/Klucz:** Gdy suma współczynników wielomianu \\(=0\\), to \\(x=1\\) jest pierwiastkiem. Użyj tego jako głównego spostrzeżenia.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Użycie wzorów Viète'a i informacji o arytmetycznym ciągu pierwiastków.\nWielomian W(x) = x³ + ax² + bx + c ma pierwiastki p₁, p₂, p₃. Z treści zadania wiemy, że p₁, p₂, p₃ tworzą arytmetyczny ciąg o różnicy r = 3. Zatem p₂ = p₁ + r, p₃ = p₁ + 2r. Wzory Viète'a dla wielomianu stopnia 3 to:\n* p₁ + p₂ + p₃ = -a\n* p₁p₂ + p₁p₃ + p₂p₃ = b\n* p₁p₂p₃ = -c\n\nPonieważ p₂ = p₁ + r i p₃ = p₁ + 2r, możemy zapisać:\np₁ + (p₁ + r) + (p₁ + 2r) = 3p₁ + 3r = -a\np₁*(p₁ + r) + p₁*(p₁ + 2r) + (p₁ + r)(p₁ + 2r) = b\np₁*(p₁ + r)(p₁ + 2r) = -c\n\nZ treści zadania wiemy, że suma wszystkich czterech współczynników W(x) jest równa 0, czyli W(1) = 1 + a + b + c = 0. Ponieważ p₁, p₂, p₃ są pierwiastkami W(x), to W(x) = (x - p₁)(x - p₂)(x - p₃). W(1) = (1 - p₁)(1 - p₂)(1 - p₃) = 0. Zatem jeden z pierwiastków musi być równy 1. Załóżmy, że p₁ = 1.\n\nWtedy:\n3p₁ + 3r = 3(1) + 3r = -a => 3 + 3r = -a\np₁*(p₁ + r) + p₁*(p₁ + 2r) + (p₁ + r)(p₁ + 2r) = b\n1*(1+r) + 1*(1+2r) + (1+r)(1+2r) = b\n1 + r + 1 + 2r + 1 + 2r + r + 2r² = b\n3 + 6r + 2r² = b\n\np₁p₂p₃ = -c\n1*(1+r)(1+2r) = -c\n(1+r)(1+2r) = -c\n\n📖 Karta wzorów: Wzory Viète'a, strona 7\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie informacji o sumie współczynników i arytmetycznym ciągu pierwiastków.\nSuma współczynników W(x) = 1 + a + b + c = 0. Zatem c = -(1 + a + b).\nPonieważ p₁, p₂, p₃ tworzą arytmetyczny ciąg o różnicy r, to pierwiastki są równe: p₁ = x, p₂ = x+r, p₃ = x+2r.\nWtedy W(x) = (x - x)(x - (x+r))(x - (x+2r)) = 0. To nie jest poprawny wielomian. Musimy użyć wzorów Viète'a.\nWzory Viète'a są:\np₁ + p₂ + p₃ = -a\np₁p₂ + p₁p₃ + p₂p₃ = b\np₁p₂p₃ = -c\n\nW naszym przypadku:\nx + (x+r) + (x+2r) = 3x + 3r = -a\nx(x+r) + x(x+2r) + (x+r)(x+2r) = x² + rx + x² + 2rx + x² + 3rx + 2r² = 3x² + 6rx + 2r² = b\nx(x+r)(x+2r) = x(x² + 3rx + 2r²) = x³ + 3rx² + 2r²x = -c\n\nPonieważ W(1) = 0, to 1 + a + b + c = 0. Podstawiamy wartości z wzorów Viète'a:\n1 + (-3x - 3r) + (3x² + 6rx + 2r²) + (-x³ - 3rx² - 2r²x) = 0\n-x³ + (3x² - 3x² - 2r²)x + (-3x - 3r + 6rx + 2r²) + 1 = 0\n-x³ + (-2r² - 3x + 6rx) + 1 = 0\n\nPonieważ W(1) = 0, to 1 + a + b + c = 0. Zatem 1 + (-3x - 3r) + (3x² + 6rx + 2r²) + (-x³ - 3rx² - 2r²x) = 0.\nRozwiązując to równanie, otrzymujemy, że x = -1 jest pierwiastkiem. Wtedy p₁ = -1.\nWtedy a = -3(-1) - 3r = 3 - 3r\nb = 3(-1)² + 6(-1)r + 2r² = 3 - 6r + 2r²\nc = -(-1)(-1+r)(-1+2r) = - (1+r)(1+2r) = -(1+3r+2r²)\n\n📖 Karta wzorów: Wzory Viète'a, strona 7\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\nOpcje B, C i D są nieprawidłowe, ponieważ nie wykorzystują informacji o arytmetycznym ciągu pierwiastków ani wzorów Viète'a. Nie można po prostu przypisać wartości współczynników bez użycia tych narzędzi. Wzory Viète'a są kluczowe do rozwiązania tego typu zadania.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu W(x) = x³ + ax² + bx + c jest równa 0. Trzy pierwiastki tego wielomianu tworzą arytmetyczny o różnicy równej 3.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: wszystkie trzy przypadki

\n

Zadanie jest otwarte - należy wyznaczyć \\(a\\), \\(b\\), \\(c\\) dla każdej możliwej konfiguracji pierwiastków.

\n

Sposób 1 - warunek sumy współczynników + wzory Viète'a

\n

Krok 1: Interpretacja warunku sumy współczynników

\n

Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu \\(W(x) = x^3 + ax^2 + bx + c\\) to:
\\[1 + a + b + c = W(1) = 0\\]

\n

Zatem \\(x = 1\\) jest pierwiastkiem wielomianu \\(W\\).

\n

Krok 2: Oznaczenie pierwiastków arytmetycznych

\n

Ponieważ pierwiastki tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \\(3\\), możemy je zapisać jako:
\\[r, \\quad r+3, \\quad r+6\\]
dla pewnej liczby rzeczywistej \\(r\\).

\n

Jeden z tych pierwiastków musi być równy \\(1\\). Rozważamy trzy przypadki.

\n

Przypadek I: \\(r = 1\\) (pierwszym pierwiastkiem jest 1)

\n

Pierwiastki: \\(1,\\ 4,\\ 7\\)

\n

Ze wzorów Viète'a dla \\(W(x) = x^3 + ax^2 + bx + c\\):
\\[x_1 + x_2 + x_3 = -a \\implies 1 + 4 + 7 = 12 = -a \\implies \\boxed{a = -12}\\]
\\[x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = b \\implies 1\\cdot4 + 1\\cdot7 + 4\\cdot7 = 4 + 7 + 28 = 39 \\implies \\boxed{b = 39}\\]
\\[x_1 x_2 x_3 = -c \\implies 1\\cdot4\\cdot7 = 28 = -c \\implies \\boxed{c = -28}\\]

\n

Sprawdzenie: \\(W(1) = 1 - 12 + 39 - 28 = 0\\) ✓

\n

Przypadek II: \\(r + 3 = 1\\), czyli \\(r = -2\\) (środkowym pierwiastkiem jest 1)

\n

Pierwiastki: \\(-2,\\ 1,\\ 4\\)

\n

\\[(-2) + 1 + 4 = 3 = -a \\implies \\boxed{a = -3}\\]
\\[(-2)\\cdot1 + (-2)\\cdot4 + 1\\cdot4 = -2 - 8 + 4 = -6 \\implies \\boxed{b = -6}\\]
\\[(-2)\\cdot1\\cdot4 = -8 = -c \\implies \\boxed{c = 8}\\]

\n

Sprawdzenie: \\(W(1) = 1 - 3 - 6 + 8 = 0\\) ✓

\n

Przypadek III: \\(r + 6 = 1\\), czyli \\(r = -5\\) (ostatnim pierwiastkiem jest 1)

\n

Pierwiastki: \\(-5,\\ -2,\\ 1\\)

\n

\\[(-5) + (-2) + 1 = -6 = -a \\implies \\boxed{a = 6}\\]
\\[(-5)\\cdot(-2) + (-5)\\cdot1 + (-2)\\cdot1 = 10 - 5 - 2 = 3 \\implies \\boxed{b = 3}\\]
\\[(-5)\\cdot(-2)\\cdot1 = 10 = -c \\implies \\boxed{c = -10}\\]

\n

Sprawdzenie: \\(W(1) = 1 + 6 + 3 - 10 = 0\\) ✓

\n

Sposób 2 - postać iloczynowa wielomianu

\n

Ponieważ wiemy, że \\(x = 1\\) jest pierwiastkiem i pierwiastki tworzą ciąg arytmetyczny \\(r,\\ r+3,\\ r+6\\), bezpośrednio zapisujemy wielomian:
\\[W(x) = (x - r)(x - (r+3))(x - (r+6))\\]

\n

Warunek \\(W(1) = 0\\):
\\[(1 - r)(1 - r - 3)(1 - r - 6) = 0\\]
\\[(1 - r)(-2 - r)(-5 - r) = 0\\]

\n

Stąd:
\\[1 - r = 0 \\implies r = 1, \\quad\\text{lub}\\quad -2 - r = 0 \\implies r = -2, \\quad\\text{lub}\\quad -5 - r = 0 \\implies r = -5\\]

\n

Każdy przypadek daje inną trójkę pierwiastków - dokładnie jak w Sposobie 1. Rozkładamy wielomian:

\n

\\(r = 1\\): \\(W(x) = (x-1)(x-4)(x-7) = x^3 - 12x^2 + 39x - 28\\)

\n

\\(r = -2\\): \\(W(x) = (x+2)(x-1)(x-4) = x^3 - 3x^2 - 6x + 8\\)

\n

\\(r = -5\\): \\(W(x) = (x+5)(x+2)(x-1) = x^3 + 6x^2 + 3x - 10\\)

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - własność ciągu arytmetycznego:
\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]
Użyliśmy do oznaczenia pierwiastków jako \\(r,\\ r+3,\\ r+6\\) (różnica \\(d = 3\\)).

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa / wielomiany, s. 7-9) - wzory Viète'a uogólnione na wielomian stopnia 3 z \\(W(x) = x^3 + ax^2 + bx + c\\):
\\[x_1 + x_2 + x_3 = -a, \\quad x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = b, \\quad x_1 x_2 x_3 = -c\\]
Karta CKE zawiera wzory Viète'a dla trójmianu kwadratowego (s. 8) - analogicznie stosujemy je dla stopnia 3.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Warunek "suma czterech współczynników = 0" to dokładnie \\(W(1) = 0\\). Uczniowie często mylnie interpretują go jako sumę \\(a + b + c = 0\\) (zapominając o współczynniku wiodącym \\(1\\)).
\n
⚠️ Uwaga: Zadanie mówi "rozważ wszystkie możliwe przypadki" - trzeba sprawdzić, który z trzech wyrazów ciągu równa się \\(1\\). Napisanie tylko jednego przypadku daje niepełne rozwiązanie i utratę punktów.
\n
⚠️ Uwaga: Przy znakach w wzorach Viète'a łatwo pomylić: iloczyn pierwiastków \\(= -c\\) (nie \\(+c\\)), suma \\(= -a\\) (nie \\(+a\\)). Zawsze warto zweryfikować, wstawiając \\(W(1)\\).
\n

Wyniki: Dwa przypadki:

\n\n
Sposób 1 - Wzory Viète'a dla wielomianu 3 stopnia
\n

Oznaczmy pierwiastki: \\(x_0-3, x_0, x_0+3\\) (ciąg arytmetyczny z różnicą 3).

\n

Wzory Viète'a dla \\(W(x)=x^3+ax^2+bx+c\\):
\\[-a=(x_0-3)+x_0+(x_0+3)=3x_0 \\Rightarrow a=-3x_0\\]
\\[b=(x_0-3)x_0+(x_0-3)(x_0+3)+x_0(x_0+3)=x_0^2-3x_0+x_0^2-9+x_0^2+3x_0=3x_0^2-9\\]
\\[-c=(x_0-3)x_0(x_0+3)=x_0(x_0^2-9)=x_0^3-9x_0 \\Rightarrow c=-x_0^3+9x_0\\]

\n

Warunek sumy współczynników: \\(W(1)=1+a+b+c=0\\).
\\[1-3x_0+3x_0^2-9-x_0^3+9x_0=0\\]
\\[-x_0^3+3x_0^2+6x_0-8=0\\]
\\[x_0^3-3x_0^2-6x_0+8=0\\]

\n

Sprawdzamy pierwiastki wymierne (dzielniki 8): \\(x_0=1: 1-3-6+8=0\\). Tak! \\(x_0=1\\) jest pierwiastkiem.

\n

Dzielimy: \\(x_0^3-3x_0^2-6x_0+8=(x_0-1)(x_0^2-2x_0-8)=(x_0-1)(x_0-4)(x_0+2)\\).

\n

Pierwiastki: \\(x_0 \\in \\{1, 4, -2\\}\\).

\n

Przypadek \\(x_0=1\\): pierwiastki \\(-2, 1, 4\\); \\(a=-3, b=3-9=-6, c=-1+9=8\\). Sprawdzenie: \\(1-3-6+8=0\\) ✓.

\n

Przypadek \\(x_0=4\\): pierwiastki \\(1, 4, 7\\); \\(a=-12, b=48-9=39, c=-64+36=-28\\). Sprawdzenie: \\(1-12+39-28=0\\) ✓.

\n

Przypadek \\(x_0=-2\\): pierwiastki \\(-5, -2, 1\\); \\(a=6, b=12-9=3, c=8-18=-10\\). Sprawdzenie: \\(1+6+3-10=0\\) ✓.

\n
Sposób 2 - Bezpośrednie podstawienie \\(W(1)=0\\)
\n

\\(W(1)=0\\) oznacza, że \\(x=1\\) jest pierwiastkiem wielomianu. Zatem jeden z trzech pierwiastków to \\(1\\). Jeśli pierwiastki tworzą ciąg arytmetyczny z różnicą 3, to \\(1\\) może być pierwszym, środkowym lub ostatnim. Stąd trzy przypadki: \\((1,4,7), (-2,1,4), (-5,-2,1)\\). Reszta analogicznie jak w sposobie 1.

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik/Klucz: Gdy suma współczynników wielomianu \\(=0\\), to \\(x=1\\) jest pierwiastkiem. Użyj tego jako głównego spostrzeżenia.

\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1: Użycie wzorów Viète'a i informacji o arytmetycznym ciągu pierwiastków.
\n

Wielomian W(x) = x³ + ax² + bx + c ma pierwiastki p₁, p₂, p₃. Z treści zadania wiemy, że p₁, p₂, p₃ tworzą arytmetyczny ciąg o różnicy r = 3. Zatem p₂ = p₁ + r, p₃ = p₁ + 2r. Wzory Viète'a dla wielomianu stopnia 3 to:

\n\n

Ponieważ p₂ = p₁ + r i p₃ = p₁ + 2r, możemy zapisać:
p₁ + (p₁ + r) + (p₁ + 2r) = 3p₁ + 3r = -a
p₁(p₁ + r) + p₁(p₁ + 2r) + (p₁ + r)(p₁ + 2r) = b
p₁*(p₁ + r)(p₁ + 2r) = -c

\n

Z treści zadania wiemy, że suma wszystkich czterech współczynników W(x) jest równa 0, czyli W(1) = 1 + a + b + c = 0. Ponieważ p₁, p₂, p₃ są pierwiastkami W(x), to W(x) = (x - p₁)(x - p₂)(x - p₃). W(1) = (1 - p₁)(1 - p₂)(1 - p₃) = 0. Zatem jeden z pierwiastków musi być równy 1. Załóżmy, że p₁ = 1.

\n

Wtedy:
3p₁ + 3r = 3(1) + 3r = -a => 3 + 3r = -a
p₁(p₁ + r) + p₁(p₁ + 2r) + (p₁ + r)(p₁ + 2r) = b
1(1+r) + 1(1+2r) + (1+r)(1+2r) = b
1 + r + 1 + 2r + 1 + 2r + r + 2r² = b
3 + 6r + 2r² = b

\n

p₁p₂p₃ = -c
1*(1+r)(1+2r) = -c
(1+r)(1+2r) = -c

\n

📖 Karta wzorów: Wzory Viète'a, strona 7

\n
Sposób 2: Wykorzystanie informacji o sumie współczynników i arytmetycznym ciągu pierwiastków.
\n

Suma współczynników W(x) = 1 + a + b + c = 0. Zatem c = -(1 + a + b).
Ponieważ p₁, p₂, p₃ tworzą arytmetyczny ciąg o różnicy r, to pierwiastki są równe: p₁ = x, p₂ = x+r, p₃ = x+2r.
Wtedy W(x) = (x - x)(x - (x+r))(x - (x+2r)) = 0. To nie jest poprawny wielomian. Musimy użyć wzorów Viète'a.
Wzory Viète'a są:
p₁ + p₂ + p₃ = -a
p₁p₂ + p₁p₃ + p₂p₃ = b
p₁p₂p₃ = -c

\n

W naszym przypadku:
x + (x+r) + (x+2r) = 3x + 3r = -a
x(x+r) + x(x+2r) + (x+r)(x+2r) = x² + rx + x² + 2rx + x² + 3rx + 2r² = 3x² + 6rx + 2r² = b
x(x+r)(x+2r) = x(x² + 3rx + 2r²) = x³ + 3rx² + 2r²x = -c

\n

Ponieważ W(1) = 0, to 1 + a + b + c = 0. Podstawiamy wartości z wzorów Viète'a:
1 + (-3x - 3r) + (3x² + 6rx + 2r²) + (-x³ - 3rx² - 2r²x) = 0
-x³ + (3x² - 3x² - 2r²)x + (-3x - 3r + 6rx + 2r²) + 1 = 0
-x³ + (-2r² - 3x + 6rx) + 1 = 0

\n

Ponieważ W(1) = 0, to 1 + a + b + c = 0. Zatem 1 + (-3x - 3r) + (3x² + 6rx + 2r²) + (-x³ - 3rx² - 2r²x) = 0.
Rozwiązując to równanie, otrzymujemy, że x = -1 jest pierwiastkiem. Wtedy p₁ = -1.
Wtedy a = -3(-1) - 3r = 3 - 3r
b = 3(-1)² + 6(-1)r + 2r² = 3 - 6r + 2r²
c = -(-1)(-1+r)(-1+2r) = - (1+r)(1+2r) = -(1+3r+2r²)

\n

📖 Karta wzorów: Wzory Viète'a, strona 7

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n

Opcje B, C i D są nieprawidłowe, ponieważ nie wykorzystują informacji o arytmetycznym ciągu pierwiastków ani wzorów Viète'a. Nie można po prostu przypisać wartości współczynników bez użycia tych narzędzi. Wzory Viète'a są kluczowe do rozwiązania tego typu zadania.

"}]}