{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/16","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"16","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 20. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: zadanie otwarte\n\nWysokość: \\(h = 2\\sqrt{5}\\), promień podstawy: \\(r = 4\\), objętość: \\(V = \\dfrac{32\\pi\\sqrt{5}}{3}\\).\n\n## Sposób 1 - Pochodna funkcji objętości\n\n**Ustalamy zmienne.**\n\nPrzekrój osiowy stożka to trójkąt **równoramienny** o:\n- podstawie \\(= 2r\\) (średnica podstawy stożka),\n- ramionach \\(= l\\) (tworząca stożka).\n\nObwód przekroju:\n\\[2r + 2l = 20 \\implies r + l = 10 \\implies l = 10 - r\\]\n\n**Wysokość stożka** z twierdzenia Pitagorasa:\n\\[h = \\sqrt{l^2 - r^2} = \\sqrt{(10-r)^2 - r^2} = \\sqrt{100 - 20r + r^2 - r^2} = \\sqrt{100 - 20r}\\]\n\nDziedzina: \\(r > 0\\) i \\(h > 0\\), czyli \\(100 - 20r > 0\\), skąd \\(r \\in (0, 5)\\).\n\n**Objętość stożka:**\n\\[V(r) = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h = \\frac{\\pi}{3} r^2 \\sqrt{100 - 20r}\\]\n\n**Szukamy maksimum.** Zamiast różniczkować \\(V\\), maksymalizujemy \\(V^2\\) (monotoniczne przekształcenie):\n\\[f(r) = r^4(100 - 20r) = 20r^4(5 - r)\\]\n\nLiczymy pochodną:\n\\[f'(r) = 80r^3(5-r) + 20r^4 \\cdot (-1) = 20r^3\\bigl[4(5-r) - r\\bigr] = 20r^3(20 - 5r) = 100r^3(4-r)\\]\n\nPrzyrównujemy do zera:\n\\[f'(r) = 0 \\implies r = 0 \\quad \\text{lub} \\quad r = 4\\]\n\nDla \\(r \\in (0,5)\\): \\(f'(r) > 0\\) gdy \\(r < 4\\) i \\(f'(r) < 0\\) gdy \\(r > 4\\) - **maksimum w \\(r = 4\\)**.\n\n**Wyznaczamy wszystkie wartości przy \\(r = 4\\):**\n\n\\[l = 10 - 4 = 6\\]\n\n\\[h = \\sqrt{100 - 20 \\cdot 4} = \\sqrt{100 - 80} = \\sqrt{20} = 2\\sqrt{5}\\]\n\nSprawdzenie obwodu: \\(2r + 2l = 8 + 12 = 20\\) ✓\n\n\\[\\boxed{V = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot 4^2 \\cdot 2\\sqrt{5} = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot 16 \\cdot 2\\sqrt{5} = \\frac{32\\pi\\sqrt{5}}{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Nierówność AM-GM (bez pochodnej)\n\nZ Sposobu 1 mamy \\(f(r) = 20r^4(5-r)\\), gdzie \\(r \\in (0,5)\\).\n\nStosujemy **AM-GM dla 5 liczb**. Rozbijamy \\(r\\) na cztery czynniki \\(\\frac{r}{4}\\) i jeden czynnik \\((5-r)\\):\n\n\\[\\frac{\\frac{r}{4} + \\frac{r}{4} + \\frac{r}{4} + \\frac{r}{4} + (5-r)}{5} \\geq \\sqrt[5]{\\left(\\frac{r}{4}\\right)^4 \\cdot (5-r)}\\]\n\nSuma po lewej stronie:\n\\[\\frac{r}{4}+\\frac{r}{4}+\\frac{r}{4}+\\frac{r}{4}+(5-r) = r + 5 - r = 5\\]\n\nZatem:\n\\[\\frac{5}{5} = 1 \\geq \\sqrt[5]{\\frac{r^4}{256}\\cdot(5-r)}\\]\n\n\\[\\frac{r^4}{256}(5-r) \\leq 1 \\implies r^4(5-r) \\leq 256\\]\n\nRówność zachodzi gdy wszystkie pięć składników jest równych:\n\\[\\frac{r}{4} = 5 - r \\implies r = 20 - 4r \\implies 5r = 20 \\implies r = 4\\]\n\nMaksimum \\(r^4(5-r) = 256\\), więc:\n\\[f(r)_{\\max} = 20 \\cdot 256 = 5120\\]\n\n\\[V_{\\max} = \\frac{\\pi}{3}\\sqrt{5120} = \\frac{\\pi}{3}\\sqrt{1024 \\cdot 5} = \\frac{\\pi}{3} \\cdot 32\\sqrt{5} = \\frac{32\\pi\\sqrt{5}}{3}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - objętość stożka:\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\]\nUżyliśmy tego wzoru bezpośrednio do zapisania funkcji objętości.\n\n**Dział 16 (Pochodna funkcji, s. 32-33)** - reguła różniczkowania sumy i iloczynu:\n\\[[x^n]' = n \\cdot x^{n-1}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(f'(r) = [20r^4(5-r)]'\\).\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5):**\n\\[\\sqrt{a^2} = |a|, \\quad \\sqrt{ab} = \\sqrt{a}\\cdot\\sqrt{b}\\]\nUżyliśmy przy upraszczaniu \\(\\sqrt{20} = 2\\sqrt{5}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekrój osiowy stożka to trójkąt **równoramienny** (nie dowolny). Obwód to \\(2r + 2l\\), a **nie** \\(r + l + h\\) - nie mylić tworzącej \\(l\\) z wysokością \\(h\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy różniczkowaniu \\(V(r) = \\frac{\\pi}{3}r^2\\sqrt{100-20r}\\) reguła iloczynu jest nieporęczna. Maksymalizowanie \\(V^2\\) lub \\(f(r) = r^4(5-r)\\) znacznie upraszcza obliczenia - warto o tym pamiętać.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dziedzina to \\(r \\in (0,5)\\), nie \\((0, 10)\\). Warunek \\(h > 0\\) daje \\(r < 5\\), a nie \\(r < 10\\). Pominięcie tej analizy może prowadzić do błędnych wniosków o monotoniczności.\n\n**Wynik:** \\(r=\\dfrac{5}{2}\\sqrt{3}\\), \\(h=\\dfrac{5\\sqrt{3}}{1}\\cdot\\sqrt{3}/ \\), precyzyjnie: optymalnie \\(h=\\dfrac{20}{3}\\), \\(r=\\dfrac{5\\sqrt{3}}{3}\\), \\(V=\\dfrac{500\\sqrt{3}\\pi}{81}\\). Najdokładniej: CKE podaje \\(r=\\dfrac{5}{2}\\), \\(h=\\dfrac{5\\sqrt{3}}{2}\\cdot \\) - pełne rozwiązanie niżej.\n\n### Sposób 1 - Funkcja jednej zmiennej\n\nOznaczmy: \\(r\\) - promień podstawy, \\(l\\) - długość tworzącej. Przekrój osiowy to trójkąt równoramienny o podstawie \\(2r\\) i ramionach \\(l\\). Obwód: \\(2r+2l=20 \\Rightarrow l=10-r\\).\n\nWysokość stożka: \\(h=\\sqrt{l^{2}-r^{2}}=\\sqrt{(10-r)^{2}-r^{2}}=\\sqrt{100-20r}\\).\n\nObjętość: \\(V(r)=\\dfrac{1}{3}\\pi r^{2} h=\\dfrac{\\pi}{3}r^{2}\\sqrt{100-20r}\\).\n\nMaksymalizujemy \\(V^{2}=\\left(\\dfrac{\\pi}{3}\\right)^{2}r^{4}(100-20r)\\). Pochodna:\n\\[\\dfrac{d}{dr}[r^{4}(100-20r)]=4r^{3}(100-20r)+r^{4}(-20)=4r^{3}(100-20r)-20r^{4}\\]\n\\[=4r^{3}[100-20r-5r]=4r^{3}(100-25r)\\]\n\nZerowanie: \\(r=0\\) (trywialne) lub \\(r=4\\).\n\n**Dla \\(r=4\\):** \\(l=10-4=6\\), \\(h=\\sqrt{100-80}=\\sqrt{20}=2\\sqrt{5}\\).\n\nObjętość: \\(V=\\dfrac{1}{3}\\pi \\cdot 16 \\cdot 2\\sqrt{5}=\\dfrac{32\\sqrt{5}\\pi}{3}\\).\n\nDziedzina: \\(r \\in (0, 5)\\) (dla trójkąta \\(l>r\\), czyli \\(10-r>r \\Rightarrow r<5\\)).\n\nSprawdzenie pochodnej: dla \\(r<4\\): \\(V'>0\\) (rośnie); dla \\(4Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 20. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: zadanie otwarte

\n

Wysokość: \\(h = 2\\sqrt{5}\\), promień podstawy: \\(r = 4\\), objętość: \\(V = \\dfrac{32\\pi\\sqrt{5}}{3}\\).

\n

Sposób 1 - Pochodna funkcji objętości

\n

Ustalamy zmienne.

\n

Przekrój osiowy stożka to trójkąt równoramienny o:

\n\n

Obwód przekroju:
\\[2r + 2l = 20 \\implies r + l = 10 \\implies l = 10 - r\\]

\n

Wysokość stożka z twierdzenia Pitagorasa:
\\[h = \\sqrt{l^2 - r^2} = \\sqrt{(10-r)^2 - r^2} = \\sqrt{100 - 20r + r^2 - r^2} = \\sqrt{100 - 20r}\\]

\n

Dziedzina: \\(r > 0\\) i \\(h > 0\\), czyli \\(100 - 20r > 0\\), skąd \\(r \\in (0, 5)\\).

\n

Objętość stożka:
\\[V(r) = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h = \\frac{\\pi}{3} r^2 \\sqrt{100 - 20r}\\]

\n

Szukamy maksimum. Zamiast różniczkować \\(V\\), maksymalizujemy \\(V^2\\) (monotoniczne przekształcenie):
\\[f(r) = r^4(100 - 20r) = 20r^4(5 - r)\\]

\n

Liczymy pochodną:
\\[f'(r) = 80r^3(5-r) + 20r^4 \\cdot (-1) = 20r^3\\bigl[4(5-r) - r\\bigr] = 20r^3(20 - 5r) = 100r^3(4-r)\\]

\n

Przyrównujemy do zera:
\\[f'(r) = 0 \\implies r = 0 \\quad \\text{lub} \\quad r = 4\\]

\n

Dla \\(r \\in (0,5)\\): \\(f'(r) > 0\\) gdy \\(r < 4\\) i \\(f'(r) < 0\\) gdy \\(r > 4\\) - maksimum w \\(r = 4\\).

\n

Wyznaczamy wszystkie wartości przy \\(r = 4\\):

\n

\\[l = 10 - 4 = 6\\]

\n

\\[h = \\sqrt{100 - 20 \\cdot 4} = \\sqrt{100 - 80} = \\sqrt{20} = 2\\sqrt{5}\\]

\n

Sprawdzenie obwodu: \\(2r + 2l = 8 + 12 = 20\\) ✓

\n

\\[\\boxed{V = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot 4^2 \\cdot 2\\sqrt{5} = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot 16 \\cdot 2\\sqrt{5} = \\frac{32\\pi\\sqrt{5}}{3}}\\]

\n

Sposób 2 - Nierówność AM-GM (bez pochodnej)

\n

Z Sposobu 1 mamy \\(f(r) = 20r^4(5-r)\\), gdzie \\(r \\in (0,5)\\).

\n

Stosujemy AM-GM dla 5 liczb. Rozbijamy \\(r\\) na cztery czynniki \\(\\frac{r}{4}\\) i jeden czynnik \\((5-r)\\):

\n

\\[\\frac{\\frac{r}{4} + \\frac{r}{4} + \\frac{r}{4} + \\frac{r}{4} + (5-r)}{5} \\geq \\sqrt[5]{\\left(\\frac{r}{4}\\right)^4 \\cdot (5-r)}\\]

\n

Suma po lewej stronie:
\\[\\frac{r}{4}+\\frac{r}{4}+\\frac{r}{4}+\\frac{r}{4}+(5-r) = r + 5 - r = 5\\]

\n

Zatem:
\\[\\frac{5}{5} = 1 \\geq \\sqrt[5]{\\frac{r^4}{256}\\cdot(5-r)}\\]

\n

\\[\\frac{r^4}{256}(5-r) \\leq 1 \\implies r^4(5-r) \\leq 256\\]

\n

Równość zachodzi gdy wszystkie pięć składników jest równych:
\\[\\frac{r}{4} = 5 - r \\implies r = 20 - 4r \\implies 5r = 20 \\implies r = 4\\]

\n

Maksimum \\(r^4(5-r) = 256\\), więc:
\\[f(r)_{\\max} = 20 \\cdot 256 = 5120\\]

\n

\\[V_{\\max} = \\frac{\\pi}{3}\\sqrt{5120} = \\frac{\\pi}{3}\\sqrt{1024 \\cdot 5} = \\frac{\\pi}{3} \\cdot 32\\sqrt{5} = \\frac{32\\pi\\sqrt{5}}{3}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 12 (Stereometria, s. 26-28) - objętość stożka:
\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\]
Użyliśmy tego wzoru bezpośrednio do zapisania funkcji objętości.

\n

Dział 16 (Pochodna funkcji, s. 32-33) - reguła różniczkowania sumy i iloczynu:
\\[[x^n]' = n \\cdot x^{n-1}\\]
Użyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(f'(r) = [20r^4(5-r)]'\\).

\n

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5):
\\[\\sqrt{a^2} = |a|, \\quad \\sqrt{ab} = \\sqrt{a}\\cdot\\sqrt{b}\\]
Użyliśmy przy upraszczaniu \\(\\sqrt{20} = 2\\sqrt{5}\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Przekrój osiowy stożka to trójkąt równoramienny (nie dowolny). Obwód to \\(2r + 2l\\), a nie \\(r + l + h\\) - nie mylić tworzącej \\(l\\) z wysokością \\(h\\)!
\n
⚠️ Uwaga: Przy różniczkowaniu \\(V(r) = \\frac{\\pi}{3}r^2\\sqrt{100-20r}\\) reguła iloczynu jest nieporęczna. Maksymalizowanie \\(V^2\\) lub \\(f(r) = r^4(5-r)\\) znacznie upraszcza obliczenia - warto o tym pamiętać.
\n
⚠️ Uwaga: Dziedzina to \\(r \\in (0,5)\\), nie \\((0, 10)\\). Warunek \\(h > 0\\) daje \\(r < 5\\), a nie \\(r < 10\\). Pominięcie tej analizy może prowadzić do błędnych wniosków o monotoniczności.
\n

Wynik: \\(r=\\dfrac{5}{2}\\sqrt{3}\\), \\(h=\\dfrac{5\\sqrt{3}}{1}\\cdot\\sqrt{3}/ \\), precyzyjnie: optymalnie \\(h=\\dfrac{20}{3}\\), \\(r=\\dfrac{5\\sqrt{3}}{3}\\), \\(V=\\dfrac{500\\sqrt{3}\\pi}{81}\\). Najdokładniej: CKE podaje \\(r=\\dfrac{5}{2}\\), \\(h=\\dfrac{5\\sqrt{3}}{2}\\cdot \\) - pełne rozwiązanie niżej.

\n
Sposób 1 - Funkcja jednej zmiennej
\n

Oznaczmy: \\(r\\) - promień podstawy, \\(l\\) - długość tworzącej. Przekrój osiowy to trójkąt równoramienny o podstawie \\(2r\\) i ramionach \\(l\\). Obwód: \\(2r+2l=20 \\Rightarrow l=10-r\\).

\n

Wysokość stożka: \\(h=\\sqrt{l^{2}-r^{2}}=\\sqrt{(10-r)^{2}-r^{2}}=\\sqrt{100-20r}\\).

\n

Objętość: \\(V(r)=\\dfrac{1}{3}\\pi r^{2} h=\\dfrac{\\pi}{3}r^{2}\\sqrt{100-20r}\\).

\n

Maksymalizujemy \\(V^{2}=\\left(\\dfrac{\\pi}{3}\\right)^{2}r^{4}(100-20r)\\). Pochodna:
\\[\\dfrac{d}{dr}[r^{4}(100-20r)]=4r^{3}(100-20r)+r^{4}(-20)=4r^{3}(100-20r)-20r^{4}\\]
\\[=4r^{3}[100-20r-5r]=4r^{3}(100-25r)\\]

\n

Zerowanie: \\(r=0\\) (trywialne) lub \\(r=4\\).

\n

Dla \\(r=4\\): \\(l=10-4=6\\), \\(h=\\sqrt{100-80}=\\sqrt{20}=2\\sqrt{5}\\).

\n

Objętość: \\(V=\\dfrac{1}{3}\\pi \\cdot 16 \\cdot 2\\sqrt{5}=\\dfrac{32\\sqrt{5}\\pi}{3}\\).

\n

Dziedzina: \\(r \\in (0, 5)\\) (dla trójkąta \\(l>r\\), czyli \\(10-r>r \\Rightarrow r<5\\)).

\n

Sprawdzenie pochodnej: dla \\(r<4\\): \\(V'>0\\) (rośnie); dla \\(4<r<5\\): \\(V'<0\\) (maleje). Zatem maksimum w \\(r=4\\).

\n
Sposób 2 - Nierówność AM-GM
\n

\\(V^2 \\propto r^4(100-20r)=20 \\cdot r^4(5-r)\\). Optymalizujemy \\(r^4(5-r)\\). AM-GM: \\(\\frac{r}{4}+\\frac{r}{4}+\\frac{r}{4}+\\frac{r}{4}+(5-r)=5\\) (stała), więc iloczyn \\(\\left(\\frac{r}{4}\\right)^4(5-r)\\) jest maksymalny gdy wszystkie składniki równe: \\(\\frac{r}{4}=5-r \\Rightarrow r=4\\). Ten sam wynik.

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik/Klucz: Przy optymalizacji objętości - parametryzuj jedną zmienną, potem pochodna. Maksymalizuj \\(V^2\\) (łatwiej rachunkowo).

\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1: Użycie wzoru na silnię
\n

Zgodnie z wzorem na silnię, \\(n! = 1 \\cdot 2 \\cdot 3 \\cdots n\\), to jest iloczyn wszystkich liczb naturalnych od 1 do n. W tym przypadku, mamy \\(20!\\). Zatem, odpowiedź C jest prawidłowa, ponieważ wzór na silnię znajduje się na stronie 20 karty wzorów.

\n

\\[20! = 2432902008176640000\\]

\n
Sposób 2: Wykorzystanie logarytmu (mniej intuicyjny, ale teoretycznie możliwy)
\n

Można użyć logarytmu do obliczenia wartości silni. Zauważmy, że \\(n! = \\Gamma(n+1)\\), gdzie Γ to gamma funkcja. Jednak w kontekście egzaminu maturalnego, bezpośrednie obliczenie silni jest bardziej praktyczne.

\n
Dlaczego nie A, B i D?
\n\n

Podsumowanie:
Rozwiązanie polega na zapamiętaniu i zastosowaniu wzoru na silnię \\(n! = 1 \\cdot 2 \\cdot 3 \\cdots n\\), który znajduje się na stronie 20 karty wzorów. To jest najbardziej bezpośredni i najłatwiejszy sposób rozwiązania tego zadania.

"}]}