{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"3","points":6,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (6 pkt)\nWyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie (\n)\n2\n2\n1\n0\nm\nm x\nx\nma\ndwa różne rozwiązania rzeczywiste\n1x ,\n2x takie, że\n1\n2\n1\n2\n1\n1\n1\n3\nm\nx\nx\nx\nx\n≤\n≤\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n3.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":"C","answer_text":"3\nm\n⋅\n3\n2\n(\n3\nm\n2\n1\n)\n⋅\n3\n9\nm\n2\n20\nm\n4\n0\n,","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\n\\[\\boxed{(3-2\\sqrt{3})^3 = 135 - 78\\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 1 - Wzór na sześcian różnicy\n\nKorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:\n\\[(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\\]\n\nTutaj \\(a = 3\\), \\(b = 2\\sqrt{3}\\). Liczymy każdy składnik osobno:\n\n\\[a^3 = 3^3 = 27\\]\n\n\\[3a^2b = 3 \\cdot 9 \\cdot 2\\sqrt{3} = 54\\sqrt{3}\\]\n\n\\[3ab^2 = 3 \\cdot 3 \\cdot (2\\sqrt{3})^2 = 9 \\cdot 4 \\cdot 3 = 108\\]\n\n\\[b^3 = (2\\sqrt{3})^3 = 2^3 \\cdot (\\sqrt{3})^3 = 8 \\cdot 3\\sqrt{3} = 24\\sqrt{3}\\]\n\nSkładamy razem:\n\\[(3-2\\sqrt{3})^3 = 27 - 54\\sqrt{3} + 108 - 24\\sqrt{3}\\]\n\nGrupujemy wyrazy: liczbowe osobno, te z \\(\\sqrt{3}\\) osobno:\n\\[= (27 + 108) + (-54\\sqrt{3} - 24\\sqrt{3})\\]\n\n\\[\\mathbf{= 135 - 78\\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Najpierw kwadrat, potem mnożenie\n\nZamiast stosować wzór od razu, obliczamy \\((3-2\\sqrt{3})^3 = (3-2\\sqrt{3})^2 \\cdot (3-2\\sqrt{3})\\).\n\n**Krok 1:** Liczymy kwadrat:\n\\[(3-2\\sqrt{3})^2 = 9 - 2 \\cdot 3 \\cdot 2\\sqrt{3} + (2\\sqrt{3})^2 = 9 - 12\\sqrt{3} + 12 = 21 - 12\\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 2:** Mnożymy wynik przez \\((3 - 2\\sqrt{3})\\):\n\\[(21 - 12\\sqrt{3})(3 - 2\\sqrt{3})\\]\n\nRozwijamy każdy składnik:\n\\[= 21 \\cdot 3 - 21 \\cdot 2\\sqrt{3} - 12\\sqrt{3} \\cdot 3 + 12\\sqrt{3} \\cdot 2\\sqrt{3}\\]\n\\[= 63 - 42\\sqrt{3} - 36\\sqrt{3} + 24 \\cdot 3\\]\n\\[= 63 - 78\\sqrt{3} + 72\\]\n\\[\\mathbf{= 135 - 78\\sqrt{3}}\\]\n\nWynik zgodny - odpowiedź C potwierdzona.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - wzór na sześcian różnicy:\n\\[(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\\]\nBezpośrednio użyty w Sposobie 1.\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - działania na potęgach:\n\\[(a \\cdot b)^r = a^r \\cdot b^r\\]\nUżyte przy obliczaniu \\((2\\sqrt{3})^2 = 4 \\cdot 3 = 12\\) oraz \\((2\\sqrt{3})^3 = 8 \\cdot 3\\sqrt{3} = 24\\sqrt{3}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** | Zastosowanie \"wzoru\" \\((a-b)^3 = a^3 - b^3\\) - pominięcie obu środkowych składników. Wynik: \\(27 - 24\\sqrt{3}\\). |\n| **B** | Pominięcie składnika \\(3ab^2 = 108\\) (brak wyrazu stałego) ORAZ błędny znak przy \\(b^3\\) (dodanie zamiast odjęcia): \\(27 - 54\\sqrt{3} + 24\\sqrt{3} = 27 - 30\\sqrt{3}\\). |\n| **D** | Poprawna część stała \\(135\\), ale błędny znak przy ostatnim składniku: \\(-b^3\\) zamienione na \\(+b^3\\). Wtedy \\(-54\\sqrt{3} + 24\\sqrt{3} = -30\\sqrt{3}\\), stąd \\(135 - 30\\sqrt{3}\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\((a-b)^3 \\neq a^3 - b^3\\)! Wzór na sześcian różnicy ma **cztery** składniki. Pominięcie środkowych to najczęstszy błąd w tym typie zadań.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\((2\\sqrt{3})^2\\) nie zapomnij, że \\((2\\sqrt{3})^2 = 4 \\cdot 3 = 12\\), nie \\(4\\sqrt{3}\\). Podobnie \\((2\\sqrt{3})^3 = 8 \\cdot 3\\sqrt{3} = 24\\sqrt{3}\\), nie \\(8\\sqrt{3}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Na końcu grupuj starannie wyrazy z \\(\\sqrt{3}\\) i bez \\(\\sqrt{3}\\) - łatwo się pomylić na znakach, gdy masz cztery składniki do zsumowania.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia \\((a-b)^3\\)\n\nKorzystamy ze wzoru \\((a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\\) (karta wzorów, dział 2. Wyrażenia algebraiczne).\n\nPodstawiamy \\(a=3\\), \\(b=2\\sqrt{3}\\):\n\\[(3)^{3}-3 \\cdot 3^{2} \\cdot 2\\sqrt{3}+3 \\cdot 3 \\cdot (2\\sqrt{3})^{2}-(2\\sqrt{3})^{3}\\]\n\\[=27-54\\sqrt{3}+9 \\cdot 12-8 \\cdot 3\\sqrt{3}\\]\n\\[=27-54\\sqrt{3}+108-24\\sqrt{3}\\]\n\\[=135-78\\sqrt{3}\\]\n\n### Sposób 2 - Obliczenie przez \\((3-2\\sqrt{3})^{2} \\cdot (3-2\\sqrt{3})\\)\n\nNajpierw \\((3-2\\sqrt{3})^{2}=9-12\\sqrt{3}+12=21-12\\sqrt{3}\\).\n\nTeraz \\((21-12\\sqrt{3})(3-2\\sqrt{3})=63-42\\sqrt{3}-36\\sqrt{3}+24 \\cdot 3=63-78\\sqrt{3}+72=135-78\\sqrt{3}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A** \\(27-24\\sqrt{3}\\): Błąd - zapomniane składniki \\(3a^{2}b\\) i \\(3ab^{2}\\).\n- **B** \\(27-30\\sqrt{3}\\): Błąd rachunkowy w obliczaniu współczynników.\n- **D** \\(135-30\\sqrt{3}\\): Błąd w sumowaniu współczynników przy \\(\\sqrt{3}\\) (zapomniane \\(-54\\sqrt{3}\\)).\n\n**Trik/Klucz:** Użyj wzoru \\((a-b)^{3}\\) ostrożnie - cztery składniki. Pamiętaj \\((2\\sqrt{3})^{2}=12\\) i \\((2\\sqrt{3})^{3}=8 \\cdot 3\\sqrt{3}=24\\sqrt{3}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Użycie wzoru na silnię\nRozwiń wyrażenie (3 - 2√3) i spróbuj wykorzystać wzór na silnię.\n\nKrok 1: Rozwiń wyrażenie:\n(3 - 2√3) = 3 - 2√3\n\nKrok 2: Zastosuj wzór na silnię:\n(3 - 2√3) = 3! / (1! * 2! * (3-2)) = 6 / (1 * 2 * 1) = 6 / 2 = 3\n\nKrok 3: Zatem (3 - 2√3) = 3. To jest błąd w treści zadania. Zadanie miało być: Liczba (3 - 2√3) jest równa √3. Wtedy:\n(3 - 2√3) = √3\n3 - 2√3 = √3\n3 = 3√3\n1 = √3, co jest fałszem.\n\nJeśli jednak zadanie miało być poprawne, to musimy znaleźć liczbę, która po rozłożeniu na czynniki daje 135 - 78√3. Zauważmy, że 135 = 27 * 5 i 78 = 26 * 3. Możemy spróbować rozłożyć na czynniki, aby uzyskać 135 - 78√3.\n\nKrok 4: Zauważmy, że (3 - 2√3) * (3 + 2√3) = 9 - 4 * 3 = 9 - 12 = -3. Zatem (3 - 2√3) = -3 / (3 + 2√3)\n\nKrok 5: Zatem (3 - 2√3) * (3 + 2√3) = -3. To nie prowadzi nas do rozwiązania.\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na silnię (z założeniem, że zadanie miało być poprawne)\n\nZacznijmy od założenia, że (3 - 2√3) = x. Wtedy x = 3 - 2√3. Zadanie miało być: Liczba (3 - 2√3) jest równa √3. Wtedy:\n\n(3 - 2√3) = √3\n3 - 2√3 = √3\n3 = 3√3\n1 = √3, co jest fałszem.\n\nZatem, jeśli zadanie miało być poprawne, to musimy znaleźć liczbę, która po rozłożeniu na czynniki daje 135 - 78√3.\n135 - 78√3 = 27 * 5 - 26 * 3 * √3 = 27(5 - 2√3)\n\nZatem (3 - 2√3) = 135 - 78√3 jest błędne.\n\n📖 Karta wzorów: s.15, strona 15 (Pitagoras)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. 27 - √3:** To jest po prostu liczba 27 pomniejszona o pierwiastek z 3. Nie ma to związku z wyrażeniem (3 - 2√3).\n* **B. 27 - 30√3:** Podobnie jak w przypadku A, nie ma to związku z wyrażeniem (3 - 2√3).\n* **D. 135 - 3√3:** To jest po prostu liczba 135 pomniejszona o 3 pierwiastki z 3. Nie ma to związku z wyrażeniem (3 - 2√3).\n\n**Uwaga:** Zadanie jest źle sformułowane. Prawidłowa odpowiedź (C) wynika z błędnego założenia, że (3 - 2√3) jest równa √3. W rzeczywistości (3 - 2√3) jest liczbą ujemną. Zatem, aby uzyskać 135 - 78√3, musimy rozważyć inne liczby i wzory.","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 3. (6 pkt)
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie (
)
2
2
1
0
m
m x
x
ma
dwa różne rozwiązania rzeczywiste
1x ,
2x takie, że
1
2
1
2
1
1
1
3
m
x
x
x
x
≤
≤

\n

Poziom rozszerzony
MMA_1R
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
3.
Maks. liczba pkt
6
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom rozszerzony
MMA_1R

","answer_text_html":"

3
m
⋅
3
2
(
3
m
2
1
)
⋅
3
9
m
2
20
m
4
0
,

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C

\n

\\[\\boxed{(3-2\\sqrt{3})^3 = 135 - 78\\sqrt{3}}\\]

\n

Sposób 1 - Wzór na sześcian różnicy

\n

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:
\\[(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\\]

\n

Tutaj \\(a = 3\\), \\(b = 2\\sqrt{3}\\). Liczymy każdy składnik osobno:

\n

\\[a^3 = 3^3 = 27\\]

\n

\\[3a^2b = 3 \\cdot 9 \\cdot 2\\sqrt{3} = 54\\sqrt{3}\\]

\n

\\[3ab^2 = 3 \\cdot 3 \\cdot (2\\sqrt{3})^2 = 9 \\cdot 4 \\cdot 3 = 108\\]

\n

\\[b^3 = (2\\sqrt{3})^3 = 2^3 \\cdot (\\sqrt{3})^3 = 8 \\cdot 3\\sqrt{3} = 24\\sqrt{3}\\]

\n

Składamy razem:
\\[(3-2\\sqrt{3})^3 = 27 - 54\\sqrt{3} + 108 - 24\\sqrt{3}\\]

\n

Grupujemy wyrazy: liczbowe osobno, te z \\(\\sqrt{3}\\) osobno:
\\[= (27 + 108) + (-54\\sqrt{3} - 24\\sqrt{3})\\]

\n

\\[\\mathbf{= 135 - 78\\sqrt{3}}\\]

\n

Sposób 2 - Najpierw kwadrat, potem mnożenie

\n

Zamiast stosować wzór od razu, obliczamy \\((3-2\\sqrt{3})^3 = (3-2\\sqrt{3})^2 \\cdot (3-2\\sqrt{3})\\).

\n

Krok 1: Liczymy kwadrat:
\\[(3-2\\sqrt{3})^2 = 9 - 2 \\cdot 3 \\cdot 2\\sqrt{3} + (2\\sqrt{3})^2 = 9 - 12\\sqrt{3} + 12 = 21 - 12\\sqrt{3}\\]

\n

Krok 2: Mnożymy wynik przez \\((3 - 2\\sqrt{3})\\):
\\[(21 - 12\\sqrt{3})(3 - 2\\sqrt{3})\\]

\n

Rozwijamy każdy składnik:
\\[= 21 \\cdot 3 - 21 \\cdot 2\\sqrt{3} - 12\\sqrt{3} \\cdot 3 + 12\\sqrt{3} \\cdot 2\\sqrt{3}\\]
\\[= 63 - 42\\sqrt{3} - 36\\sqrt{3} + 24 \\cdot 3\\]
\\[= 63 - 78\\sqrt{3} + 72\\]
\\[\\mathbf{= 135 - 78\\sqrt{3}}\\]

\n

Wynik zgodny - odpowiedź C potwierdzona.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7) - wzór na sześcian różnicy:
\\[(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\\]
Bezpośrednio użyty w Sposobie 1.

\n

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5) - działania na potęgach:
\\[(a \\cdot b)^r = a^r \\cdot b^r\\]
Użyte przy obliczaniu \\((2\\sqrt{3})^2 = 4 \\cdot 3 = 12\\) oraz \\((2\\sqrt{3})^3 = 8 \\cdot 3\\sqrt{3} = 24\\sqrt{3}\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A | Zastosowanie "wzoru" \\((a-b)^3 = a^3 - b^3\\) - pominięcie obu środkowych składników. Wynik: \\(27 - 24\\sqrt{3}\\). |
| B | Pominięcie składnika \\(3ab^2 = 108\\) (brak wyrazu stałego) ORAZ błędny znak przy \\(b^3\\) (dodanie zamiast odjęcia): \\(27 - 54\\sqrt{3} + 24\\sqrt{3} = 27 - 30\\sqrt{3}\\). |
| D | Poprawna część stała \\(135\\), ale błędny znak przy ostatnim składniku: \\(-b^3\\) zamienione na \\(+b^3\\). Wtedy \\(-54\\sqrt{3} + 24\\sqrt{3} = -30\\sqrt{3}\\), stąd \\(135 - 30\\sqrt{3}\\). |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: \\((a-b)^3 \\neq a^3 - b^3\\)! Wzór na sześcian różnicy ma cztery składniki. Pominięcie środkowych to najczęstszy błąd w tym typie zadań.
\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu \\((2\\sqrt{3})^2\\) nie zapomnij, że \\((2\\sqrt{3})^2 = 4 \\cdot 3 = 12\\), nie \\(4\\sqrt{3}\\). Podobnie \\((2\\sqrt{3})^3 = 8 \\cdot 3\\sqrt{3} = 24\\sqrt{3}\\), nie \\(8\\sqrt{3}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Na końcu grupuj starannie wyrazy z \\(\\sqrt{3}\\) i bez \\(\\sqrt{3}\\) - łatwo się pomylić na znakach, gdy masz cztery składniki do zsumowania.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia \\((a-b)^3\\)
\n

Korzystamy ze wzoru \\((a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\\) (karta wzorów, dział 2. Wyrażenia algebraiczne).

\n

Podstawiamy \\(a=3\\), \\(b=2\\sqrt{3}\\):
\\[(3)^{3}-3 \\cdot 3^{2} \\cdot 2\\sqrt{3}+3 \\cdot 3 \\cdot (2\\sqrt{3})^{2}-(2\\sqrt{3})^{3}\\]
\\[=27-54\\sqrt{3}+9 \\cdot 12-8 \\cdot 3\\sqrt{3}\\]
\\[=27-54\\sqrt{3}+108-24\\sqrt{3}\\]
\\[=135-78\\sqrt{3}\\]

\n
Sposób 2 - Obliczenie przez \\((3-2\\sqrt{3})^{2} \\cdot (3-2\\sqrt{3})\\)
\n

Najpierw \\((3-2\\sqrt{3})^{2}=9-12\\sqrt{3}+12=21-12\\sqrt{3}\\).

\n

Teraz \\((21-12\\sqrt{3})(3-2\\sqrt{3})=63-42\\sqrt{3}-36\\sqrt{3}+24 \\cdot 3=63-78\\sqrt{3}+72=135-78\\sqrt{3}\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik/Klucz: Użyj wzoru \\((a-b)^{3}\\) ostrożnie - cztery składniki. Pamiętaj \\((2\\sqrt{3})^{2}=12\\) i \\((2\\sqrt{3})^{3}=8 \\cdot 3\\sqrt{3}=24\\sqrt{3}\\).

\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1: Użycie wzoru na silnię
\n

Rozwiń wyrażenie (3 - 2√3) i spróbuj wykorzystać wzór na silnię.

\n

Krok 1: Rozwiń wyrażenie:
(3 - 2√3) = 3 - 2√3

\n

Krok 2: Zastosuj wzór na silnię:
(3 - 2√3) = 3! / (1! * 2! * (3-2)) = 6 / (1 * 2 * 1) = 6 / 2 = 3

\n

Krok 3: Zatem (3 - 2√3) = 3. To jest błąd w treści zadania. Zadanie miało być: Liczba (3 - 2√3) jest równa √3. Wtedy:
(3 - 2√3) = √3
3 - 2√3 = √3
3 = 3√3
1 = √3, co jest fałszem.

\n

Jeśli jednak zadanie miało być poprawne, to musimy znaleźć liczbę, która po rozłożeniu na czynniki daje 135 - 78√3. Zauważmy, że 135 = 27 * 5 i 78 = 26 * 3. Możemy spróbować rozłożyć na czynniki, aby uzyskać 135 - 78√3.

\n

Krok 4: Zauważmy, że (3 - 2√3) * (3 + 2√3) = 9 - 4 * 3 = 9 - 12 = -3. Zatem (3 - 2√3) = -3 / (3 + 2√3)

\n

Krok 5: Zatem (3 - 2√3) * (3 + 2√3) = -3. To nie prowadzi nas do rozwiązania.

\n
Sposób 2: Użycie wzoru na silnię (z założeniem, że zadanie miało być poprawne)
\n

Zacznijmy od założenia, że (3 - 2√3) = x. Wtedy x = 3 - 2√3. Zadanie miało być: Liczba (3 - 2√3) jest równa √3. Wtedy:

\n

(3 - 2√3) = √3
3 - 2√3 = √3
3 = 3√3
1 = √3, co jest fałszem.

\n

Zatem, jeśli zadanie miało być poprawne, to musimy znaleźć liczbę, która po rozłożeniu na czynniki daje 135 - 78√3.
135 - 78√3 = 27 * 5 - 26 * 3 * √3 = 27(5 - 2√3)

\n

Zatem (3 - 2√3) = 135 - 78√3 jest błędne.

\n

📖 Karta wzorów: s.15, strona 15 (Pitagoras)

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

Uwaga: Zadanie jest źle sformułowane. Prawidłowa odpowiedź (C) wynika z błędnego założenia, że (3 - 2√3) jest równa √3. W rzeczywistości (3 - 2√3) jest liczbą ujemną. Zatem, aby uzyskać 135 - 78√3, musimy rozważyć inne liczby i wzory.

"}]}