{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"4","points":6,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (6 pkt)\nTrzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny. Jeśli do pierwszej z nich dodamy 5, do drugiej 3, a do\ntrzeciej 4, to otrzymamy rosnący ciąg geometryczny, w którym trzeci wyraz jest cztery razy\nwiększy od pierwszego. Znajdź te liczby.\nOdpowiedź:\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":"A","answer_text":"4\nm\n+ >\n1\n0\n,","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.\n\n## Sposób 1 - ograniczenie wartości lewej strony\n\n**Kluczowa obserwacja:** lewa strona \\(2\\sin x + 3\\cos x\\) to funkcja postaci \\(a\\sin x + b\\cos x\\), która ma ograniczony zakres wartości.\n\n**Krok 1 - wyznaczamy maksymalną wartość wyrażenia \\(2\\sin x + 3\\cos x\\).**\n\nDla funkcji postaci \\(a\\sin x + b\\cos x\\) zachodzi:\n\\[-({\\sqrt{a^2 + b^2}}) \\leq a\\sin x + b\\cos x \\leq \\sqrt{a^2 + b^2}\\]\n\nTo wynika z tego, że \\(a\\sin x + b\\cos x = \\sqrt{a^2+b^2}\\cdot\\sin(x + \\varphi)\\) dla pewnego przesunięcia \\(\\varphi\\), a sinus przyjmuje wartości co najwyżej \\(1\\).\n\n**Krok 2 - obliczamy \\(\\sqrt{a^2 + b^2}\\) dla \\(a = 2\\), \\(b = 3\\):**\n\\[\\sqrt{2^2 + 3^2} = \\sqrt{4 + 9} = \\sqrt{13}\\]\n\n**Krok 3 - porównujemy z prawą stroną:**\n\\[\\sqrt{13} \\approx 3{,}606 < 6\\]\n\nSkoro maksymalna możliwa wartość lewej strony wynosi \\(\\sqrt{13} \\approx 3{,}61\\), a prawa strona równa się \\(6\\), to:\n\\[2\\sin x + 3\\cos x \\leq \\sqrt{13} < 6 \\quad \\text{dla każdego } x \\in \\mathbb{R}\\]\n\n**Wniosek:** lewa strona nigdy nie osiągnie wartości \\(6\\), więc równanie **nie ma rozwiązań** - ani w przedziale \\((0, 2\\pi)\\), ani w ogóle.\n\n## Sposób 2 - nierówność przez własności funkcji sinusa i cosinusa\n\nZamiast korzystać ze wzoru na amplitudę, możemy posłużyć się bezpośrednim ograniczeniem.\n\n**Krok 1 - ograniczamy każdy składnik z osobna:**\n\\[-1 \\leq \\sin x \\leq 1 \\implies -2 \\leq 2\\sin x \\leq 2\\]\n\\[-1 \\leq \\cos x \\leq 1 \\implies -3 \\leq 3\\cos x \\leq 3\\]\n\n**Krok 2 - dodajemy nierówności stronami:**\n\\[-2 + (-3) \\leq 2\\sin x + 3\\cos x \\leq 2 + 3\\]\n\\[-5 \\leq 2\\sin x + 3\\cos x \\leq 5\\]\n\n**Krok 3 - porównujemy z prawą stroną równania:**\n\\[2\\sin x + 3\\cos x \\leq 5 < 6\\]\n\nPrawa strona \\(6\\) leży **poza zakresem** lewej strony.\n\n**Wniosek:** równanie nie ma żadnych rozwiązań rzeczywistych. ∎\n\n> **Uwaga:** Sposób 1 daje dokładniejsze ograniczenie (\\(\\sqrt{13} \\approx 3{,}61\\)), a Sposób 2 daje luźniejsze (\\(5\\)), ale oba wystarczają, bo \\(\\sqrt{13} < 5 < 6\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - własność funkcji sinus i cosinus:\n\nZ definicji (punkt na okręgu jednostkowym):\n\\[-1 \\leq \\sin x \\leq 1, \\quad -1 \\leq \\cos x \\leq 1 \\quad \\text{dla każdego } x\\]\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 do oszacowania zakresu lewej strony.\n\n**Dział 9 - jedynka trygonometryczna:**\n\\[\\sin^2 x + \\cos^2 x = 1\\]\n\nStoi za tym fakt, że \\(a\\sin x + b\\cos x = \\sqrt{a^2+b^2}\\cdot\\sin(x+\\varphi)\\) - to przekształcenie korzysta z jedynki trygonometrycznej przy wyprowadzeniu. Użyte w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **B** | Uczeń \"rozwiązuje\" równanie jakby sinusy i cosinusy mogły przyjmować dowolne wartości - np. przez podstawienie \\(\\sin x = t\\) bez sprawdzenia, czy \\(t \\in [-1,1]\\). Dostaje jedno \"rozwiązanie\", które jest poza dziedziną. |\n| **C** | Uczeń liczy deltę z jakiegoś \"spreparowanego\" równania kwadratowego (np. po zamianie \\(\\cos x = \\pm\\sqrt{1-\\sin^2 x}\\)) i dostaje dwa wyniki, nie sprawdzając czy należą do \\([-1,1]\\). |\n| **D** | Błędne utożsamienie z równaniem, które rzeczywiście ma nieskończenie wiele rozwiązań - np. \\(2\\sin x + 3\\cos x = 1\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pominięcie sprawdzenia zakresu. Uczeń algebraicznie \"wyznacza\" \\(\\sin x = \\text{coś} > 1\\) i bezkrytycznie zapisuje odpowiedź B lub C. **Zawsze po wyznaczeniu \\(\\sin x\\) lub \\(\\cos x\\) sprawdź, czy wynik mieści się w \\([-1, 1]\\)!**\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warto pamiętać, że \\(\\sqrt{a^2+b^2}\\) to **dokładna** górna granica wyrażenia \\(a\\sin x + b\\cos x\\). Szacowanie przez \\(|a| + |b|\\) jest szybsze, ale mniej precyzyjne - tu oba wystarczają, bo \\(5 < 6\\) i \\(\\sqrt{13} < 6\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przedział \\((0, 2\\pi)\\) to tzw. \"wabik\" - sugeruje, że może być 1 lub 2 rozwiązania. Nie daj się złapać: gdy równanie nie ma rozwiązań w ogóle (\\(x \\in \\mathbb{R}\\)), to tym bardziej nie ma ich w żadnym przedziale.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Ocena maksimum lewej strony\n\nDla dowolnego \\(x\\) mamy \\(|\\sin x| \\leq 1\\) oraz \\(|\\cos x| \\leq 1\\). Zatem:\n\\[2\\sin x + 3\\cos x \\leq 2 \\cdot 1 + 3 \\cdot 1 = 5 < 6\\]\nSkoro lewa strona jest zawsze \\(\\leq 5\\), a prawa równa \\(6\\), równanie nie ma rozwiązań.\n\n### Sposób 2 - Sprowadzenie do \\(R\\sin(x+\\varphi)\\)\n\nKorzystamy z tożsamości \\(a\\sin x + b\\cos x = R\\sin(x+\\varphi)\\), gdzie \\(R=\\sqrt{a^{2}+b^{2}}\\).\n\nDla \\(a=2, b=3\\): \\(R=\\sqrt{4+9}=\\sqrt{13} \\approx 3{,}606\\).\n\nZatem \\(2\\sin x + 3\\cos x = \\sqrt{13} \\sin(x+\\varphi)\\), a maksymalna wartość tej funkcji to \\(\\sqrt{13} \\approx 3{,}6 < 6\\). Równanie \\(\\sqrt{13}\\sin(x+\\varphi)=6\\) nie ma rozwiązań, bo \\(|\\sin(x+\\varphi)| \\leq 1\\), a \\(\\frac{6}{\\sqrt{13}} > 1\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B, C, D**: Wszystkie zakładają istnienie rozwiązań, co jest niemożliwe, bo lewa strona równania nie przekracza \\(\\sqrt{13} \\approx 3{,}6\\).\n\n**Trik/Klucz:** Przy równaniu \\(a\\sin x + b\\cos x = c\\) zawsze sprawdź, czy \\(|c| \\leq \\sqrt{a^{2}+b^{2}}\\); jeśli nie - brak rozwiązań.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Metoda trygonometryczna - zamiana zmiennej\n\n1. **Zauważenie:** Równanie ma postać liniową z funkcjami trygonometrycznymi. Chcemy wyrazić jedną funkcję trygonometryczną przez drugą.\n2. **Przekształcenie:** Z równania 2sin x + 3cos x = 6 wyznaczmy cos x:\ncos x = (6 - 2sin x) / 3\n3. **Zastosowanie Twierdzenia Pitagorasa:** Skwadrujemy lewą stronę, aby wykorzystać twierdzenie Pitagorasa (sin²x + cos²x = 1):\n(6 - 2sin x) / 3)² = cos²x = (6 - 2sin x)² / 9\n36 - 24sin x + 4sin²x = (36 - 24sin x + 4sin²x) / 9\n4. **Uproszczenie i rozwiązanie równania:** Pomnóżmy obie strony przez 9:\n324 - 216sin x + 36sin²x = 36 - 24sin x + 4sin²x\n36sin²x - 192sin x + 288 = 0\n9sin²x - 48sin x + 72 = 0\n5. **Rozwiązanie równania kwadratowego:** Rozwiązujemy równanie kwadratowe względem sin x. Obliczyć deltę:\nΔ = (-48)² - 4 * 9 * 72 = 2304 - 2592 = -288\nPonieważ Δ < 0, równanie kwadratowe nie ma rozwiązań rzeczywistych. Zatem równanie pierwotne nie ma rozwiązań rzeczywistych.\n\n📖 Karta wzorów: s.11, strona 11 (Tryg: sin²α+cos²α=1)\n\n### Sposób 2: Metoda wyrażenia sin x i cos x w postaci liniowej\n\n1. **Wyznaczenie sin x:** Z równania 2sin x + 3cos x = 6 wyznaczmy sin x:\nsin x = (6 - 3cos x) / 2\n2. **Zastosowanie Twierdzenia Pitagorasa:** Skwadrujemy lewą stronę, aby wykorzystać twierdzenie Pitagorasa (sin²x + cos²x = 1):\n((6 - 3cos x) / 2)² + cos²x = 1\n(36 - 36cos x + 9cos²x) / 4 + cos²x = 1\n3. **Uproszczenie i rozwiązanie równania:** Pomnóżmy obie strony przez 4:\n36 - 36cos x + 9cos²x + 4cos²x = 4\n13cos²x - 36cos x + 32 = 0\n4. **Rozwiązanie równania kwadratowego:** Rozwiązujemy równanie kwadratowe względem cos x. Obliczyć deltę:\nΔ = (-36)² - 4 * 13 * 32 = 1296 - 1664 = -368\nPonieważ Δ < 0, równanie kwadratowe nie ma rozwiązań rzeczywistych. Zatem równanie pierwotne nie ma rozwiązań rzeczywistych.\n\n📖 Karta wzorów: s.7, strona 7 (Potęgi: a^r·a^s=a^(r+s))\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. nie ma rozwiązań rzeczywistych:** To jest poprawne, ponieważ obliczenia prowadzą do równania kwadratowego z deltą ujemną, co oznacza brak rozwiązań rzeczywistych.\n* **C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste:** To jest błędne, ponieważ równanie kwadratowe z deltą ujemną nie ma rozwiązań rzeczywistych.\n* **D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste:** To jest błędne, ponieważ równanie kwadratowe z deltą ujemną nie ma rozwiązań rzeczywistych.","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 4. (6 pkt)<br>Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny. Jeśli do pierwszej z nich dodamy 5, do drugiej 3, a do<br>trzeciej 4, to otrzymamy rosnący ciąg geometryczny, w którym trzeci wyraz jest cztery razy<br>większy od pierwszego. Znajdź te liczby.<br>Odpowiedź:</p>\n<p>Poziom rozszerzony<br>MMA_1R</p>","answer_text_html":"<p>4<br>m</p>\n<ul><li>&gt;</li></ul>\n<p>1<br>0<br>,</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.</h4>\n<h4>Sposób 1 - ograniczenie wartości lewej strony</h4>\n<p><strong>Kluczowa obserwacja:</strong> lewa strona \\(2\\sin x + 3\\cos x\\) to funkcja postaci \\(a\\sin x + b\\cos x\\), która ma ograniczony zakres wartości.</p>\n<p><strong>Krok 1 - wyznaczamy maksymalną wartość wyrażenia \\(2\\sin x + 3\\cos x\\).</strong></p>\n<p>Dla funkcji postaci \\(a\\sin x + b\\cos x\\) zachodzi:<br>\\[-({\\sqrt{a^2 + b^2}}) \\leq a\\sin x + b\\cos x \\leq \\sqrt{a^2 + b^2}\\]</p>\n<p>To wynika z tego, że \\(a\\sin x + b\\cos x = \\sqrt{a^2+b^2}\\cdot\\sin(x + \\varphi)\\) dla pewnego przesunięcia \\(\\varphi\\), a sinus przyjmuje wartości co najwyżej \\(1\\).</p>\n<p><strong>Krok 2 - obliczamy \\(\\sqrt{a^2 + b^2}\\) dla \\(a = 2\\), \\(b = 3\\):</strong><br>\\[\\sqrt{2^2 + 3^2} = \\sqrt{4 + 9} = \\sqrt{13}\\]</p>\n<p><strong>Krok 3 - porównujemy z prawą stroną:</strong><br>\\[\\sqrt{13} \\approx 3{,}606 &lt; 6\\]</p>\n<p>Skoro maksymalna możliwa wartość lewej strony wynosi \\(\\sqrt{13} \\approx 3{,}61\\), a prawa strona równa się \\(6\\), to:<br>\\[2\\sin x + 3\\cos x \\leq \\sqrt{13} &lt; 6 \\quad \\text{dla każdego } x \\in \\mathbb{R}\\]</p>\n<p><strong>Wniosek:</strong> lewa strona nigdy nie osiągnie wartości \\(6\\), więc równanie <strong>nie ma rozwiązań</strong> - ani w przedziale \\((0, 2\\pi)\\), ani w ogóle.</p>\n<h4>Sposób 2 - nierówność przez własności funkcji sinusa i cosinusa</h4>\n<p>Zamiast korzystać ze wzoru na amplitudę, możemy posłużyć się bezpośrednim ograniczeniem.</p>\n<p><strong>Krok 1 - ograniczamy każdy składnik z osobna:</strong><br>\\[-1 \\leq \\sin x \\leq 1 \\implies -2 \\leq 2\\sin x \\leq 2\\]<br>\\[-1 \\leq \\cos x \\leq 1 \\implies -3 \\leq 3\\cos x \\leq 3\\]</p>\n<p><strong>Krok 2 - dodajemy nierówności stronami:</strong><br>\\[-2 + (-3) \\leq 2\\sin x + 3\\cos x \\leq 2 + 3\\]<br>\\[-5 \\leq 2\\sin x + 3\\cos x \\leq 5\\]</p>\n<p><strong>Krok 3 - porównujemy z prawą stroną równania:</strong><br>\\[2\\sin x + 3\\cos x \\leq 5 &lt; 6\\]</p>\n<p>Prawa strona \\(6\\) leży <strong>poza zakresem</strong> lewej strony.</p>\n<p><strong>Wniosek:</strong> równanie nie ma żadnych rozwiązań rzeczywistych. ∎</p>\n<blockquote><strong>Uwaga:</strong> Sposób 1 daje dokładniejsze ograniczenie (\\(\\sqrt{13} \\approx 3{,}61\\)), a Sposób 2 daje luźniejsze (\\(5\\)), ale oba wystarczają, bo \\(\\sqrt{13} &lt; 5 &lt; 6\\).</blockquote>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)</strong> - własność funkcji sinus i cosinus:</p>\n<p>Z definicji (punkt na okręgu jednostkowym):<br>\\[-1 \\leq \\sin x \\leq 1, \\quad -1 \\leq \\cos x \\leq 1 \\quad \\text{dla każdego } x\\]</p>\n<p>Użyliśmy tego w Sposobie 2 do oszacowania zakresu lewej strony.</p>\n<p><strong>Dział 9 - jedynka trygonometryczna:</strong><br>\\[\\sin^2 x + \\cos^2 x = 1\\]</p>\n<p>Stoi za tym fakt, że \\(a\\sin x + b\\cos x = \\sqrt{a^2+b^2}\\cdot\\sin(x+\\varphi)\\) - to przekształcenie korzysta z jedynki trygonometrycznej przy wyprowadzeniu. Użyte w Sposobie 1.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| <strong>B</strong> | Uczeń &quot;rozwiązuje&quot; równanie jakby sinusy i cosinusy mogły przyjmować dowolne wartości - np. przez podstawienie \\(\\sin x = t\\) bez sprawdzenia, czy \\(t \\in [-1,1]\\). Dostaje jedno &quot;rozwiązanie&quot;, które jest poza dziedziną. |<br>| <strong>C</strong> | Uczeń liczy deltę z jakiegoś &quot;spreparowanego&quot; równania kwadratowego (np. po zamianie \\(\\cos x = \\pm\\sqrt{1-\\sin^2 x}\\)) i dostaje dwa wyniki, nie sprawdzając czy należą do \\([-1,1]\\). |<br>| <strong>D</strong> | Błędne utożsamienie z równaniem, które rzeczywiście ma nieskończenie wiele rozwiązań - np. \\(2\\sin x + 3\\cos x = 1\\). |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd to pominięcie sprawdzenia zakresu. Uczeń algebraicznie &quot;wyznacza&quot; \\(\\sin x = \\text{coś} &gt; 1\\) i bezkrytycznie zapisuje odpowiedź B lub C. <strong>Zawsze po wyznaczeniu \\(\\sin x\\) lub \\(\\cos x\\) sprawdź, czy wynik mieści się w \\([-1, 1]\\)!</strong></blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Warto pamiętać, że \\(\\sqrt{a^2+b^2}\\) to <strong>dokładna</strong> górna granica wyrażenia \\(a\\sin x + b\\cos x\\). Szacowanie przez \\(|a| + |b|\\) jest szybsze, ale mniej precyzyjne - tu oba wystarczają, bo \\(5 &lt; 6\\) i \\(\\sqrt{13} &lt; 6\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przedział \\((0, 2\\pi)\\) to tzw. &quot;wabik&quot; - sugeruje, że może być 1 lub 2 rozwiązania. Nie daj się złapać: gdy równanie nie ma rozwiązań w ogóle (\\(x \\in \\mathbb{R}\\)), to tym bardziej nie ma ich w żadnym przedziale.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Ocena maksimum lewej strony</h5>\n<p>Dla dowolnego \\(x\\) mamy \\(|\\sin x| \\leq 1\\) oraz \\(|\\cos x| \\leq 1\\). Zatem:<br>\\[2\\sin x + 3\\cos x \\leq 2 \\cdot 1 + 3 \\cdot 1 = 5 &lt; 6\\]<br>Skoro lewa strona jest zawsze \\(\\leq 5\\), a prawa równa \\(6\\), równanie nie ma rozwiązań.</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprowadzenie do \\(R\\sin(x+\\varphi)\\)</h5>\n<p>Korzystamy z tożsamości \\(a\\sin x + b\\cos x = R\\sin(x+\\varphi)\\), gdzie \\(R=\\sqrt{a^{2}+b^{2}}\\).</p>\n<p>Dla \\(a=2, b=3\\): \\(R=\\sqrt{4+9}=\\sqrt{13} \\approx 3{,}606\\).</p>\n<p>Zatem \\(2\\sin x + 3\\cos x = \\sqrt{13} \\sin(x+\\varphi)\\), a maksymalna wartość tej funkcji to \\(\\sqrt{13} \\approx 3{,}6 &lt; 6\\). Równanie \\(\\sqrt{13}\\sin(x+\\varphi)=6\\) nie ma rozwiązań, bo \\(|\\sin(x+\\varphi)| \\leq 1\\), a \\(\\frac{6}{\\sqrt{13}} &gt; 1\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B, C, D</strong>: Wszystkie zakładają istnienie rozwiązań, co jest niemożliwe, bo lewa strona równania nie przekracza \\(\\sqrt{13} \\approx 3{,}6\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik/Klucz:</strong> Przy równaniu \\(a\\sin x + b\\cos x = c\\) zawsze sprawdź, czy \\(|c| \\leq \\sqrt{a^{2}+b^{2}}\\); jeśli nie - brak rozwiązań.</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Metoda trygonometryczna - zamiana zmiennej</h5>\n<ol><li><strong>Zauważenie:</strong> Równanie ma postać liniową z funkcjami trygonometrycznymi. Chcemy wyrazić jedną funkcję trygonometryczną przez drugą.</li><li><strong>Przekształcenie:</strong> Z równania 2sin x + 3cos x = 6 wyznaczmy cos x:</li></ol>\n<p>cos x = (6 - 2sin x) / 3</p>\n<ol><li><strong>Zastosowanie Twierdzenia Pitagorasa:</strong> Skwadrujemy lewą stronę, aby wykorzystać twierdzenie Pitagorasa (sin²x + cos²x = 1):</li></ol>\n<p>(6 - 2sin x) / 3)² = cos²x = (6 - 2sin x)² / 9<br>36 - 24sin x + 4sin²x = (36 - 24sin x + 4sin²x) / 9</p>\n<ol><li><strong>Uproszczenie i rozwiązanie równania:</strong> Pomnóżmy obie strony przez 9:</li></ol>\n<p>324 - 216sin x + 36sin²x = 36 - 24sin x + 4sin²x<br>36sin²x - 192sin x + 288 = 0<br>9sin²x - 48sin x + 72 = 0</p>\n<ol><li><strong>Rozwiązanie równania kwadratowego:</strong> Rozwiązujemy równanie kwadratowe względem sin x. Obliczyć deltę:</li></ol>\n<p>Δ = (-48)² - 4 * 9 * 72 = 2304 - 2592 = -288<br>Ponieważ Δ &lt; 0, równanie kwadratowe nie ma rozwiązań rzeczywistych. Zatem równanie pierwotne nie ma rozwiązań rzeczywistych.</p>\n<p>📖 Karta wzorów: s.11, strona 11 (Tryg: sin²α+cos²α=1)</p>\n<h5>Sposób 2: Metoda wyrażenia sin x i cos x w postaci liniowej</h5>\n<ol><li><strong>Wyznaczenie sin x:</strong> Z równania 2sin x + 3cos x = 6 wyznaczmy sin x:</li></ol>\n<p>sin x = (6 - 3cos x) / 2</p>\n<ol><li><strong>Zastosowanie Twierdzenia Pitagorasa:</strong> Skwadrujemy lewą stronę, aby wykorzystać twierdzenie Pitagorasa (sin²x + cos²x = 1):</li></ol>\n<p>((6 - 3cos x) / 2)² + cos²x = 1<br>(36 - 36cos x + 9cos²x) / 4 + cos²x = 1</p>\n<ol><li><strong>Uproszczenie i rozwiązanie równania:</strong> Pomnóżmy obie strony przez 4:</li></ol>\n<p>36 - 36cos x + 9cos²x + 4cos²x = 4<br>13cos²x - 36cos x + 32 = 0</p>\n<ol><li><strong>Rozwiązanie równania kwadratowego:</strong> Rozwiązujemy równanie kwadratowe względem cos x. Obliczyć deltę:</li></ol>\n<p>Δ = (-36)² - 4 * 13 * 32 = 1296 - 1664 = -368<br>Ponieważ Δ &lt; 0, równanie kwadratowe nie ma rozwiązań rzeczywistych. Zatem równanie pierwotne nie ma rozwiązań rzeczywistych.</p>\n<p>📖 Karta wzorów: s.7, strona 7 (Potęgi: a^r·a^s=a^(r+s))</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A. nie ma rozwiązań rzeczywistych:</strong> To jest poprawne, ponieważ obliczenia prowadzą do równania kwadratowego z deltą ujemną, co oznacza brak rozwiązań rzeczywistych.</li><li><strong>C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste:</strong> To jest błędne, ponieważ równanie kwadratowe z deltą ujemną nie ma rozwiązań rzeczywistych.</li><li><strong>D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste:</strong> To jest błędne, ponieważ równanie kwadratowe z deltą ujemną nie ma rozwiązań rzeczywistych.</li></ul>"}]}