{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"5","points":4,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (4 pkt)\nRozwiąż równanie\n2\n2\nsin 2\n4sin\n1\n0\nx\nx\nw przedziale 0,2π .\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n4.\n5.\nMaks. liczba pkt\n6\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"7\nπ","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(\\dfrac{4\\sqrt{5}}{5}\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na odległość punktu od prostej\n\n**Zapisujemy prostą w postaci ogólnej.**\n\nMamy \\(y = 2x + 4\\), czyli przenosimy wszystko na jedną stronę:\n\\[2x - y + 4 = 0\\]\nOdczytujemy współczynniki: \\(A = 2\\), \\(B = -1\\), \\(C = 4\\).\n\n**Stosujemy wzór na odległość** punktu \\(P(x_0, y_0)\\) od prostej \\(Ax + By + C = 0\\):\n\\[d = \\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2 + B^2}}\\]\n\nPoczątek układu współrzędnych to punkt \\(P(0, 0)\\), więc podstawiamy \\(x_0 = 0\\), \\(y_0 = 0\\):\n\\[d = \\frac{|2 \\cdot 0 + (-1) \\cdot 0 + 4|}{\\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \\frac{|4|}{\\sqrt{4 + 1}} = \\frac{4}{\\sqrt{5}}\\]\n\n**Racjonalizujemy mianownik** (mnożymy licznik i mianownik przez \\(\\sqrt{5}\\)):\n\\[d = \\frac{4}{\\sqrt{5}} \\cdot \\frac{\\sqrt{5}}{\\sqrt{5}} = \\frac{4\\sqrt{5}}{5}\\]\n\n**Odległość wynosi \\(\\dfrac{4\\sqrt{5}}{5}\\).**\n\n## Sposób 2 - Przez prostopadłą (geometrycznie)\n\nProsta \\(y = 2x + 4\\) ma współczynnik kierunkowy \\(a_1 = 2\\).\n\nProsta prostopadła do niej (przechodzącą przez początek układu) musi mieć współczynnik \\(a_2\\) spełniający \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), czyli:\n\\[a_2 = -\\frac{1}{2}\\]\n\nProsta prostopadła przez \\((0, 0)\\): \\(y = -\\frac{1}{2}x\\).\n\n**Szukamy punktu przecięcia** - stopy prostopadłej:\n\\[\\begin{cases} y = 2x + 4 \\\\ y = -\\frac{1}{2}x \\end{cases}\\]\n\nPodstawiamy drugie równanie do pierwszego:\n\\[-\\frac{1}{2}x = 2x + 4\\]\n\\[-x = 4x + 8\\]\n\\[-5x = 8 \\implies x = -\\frac{8}{5}\\]\n\\[y = -\\frac{1}{2} \\cdot \\left(-\\frac{8}{5}\\right) = \\frac{4}{5}\\]\n\nStopa prostopadłej to punkt \\(F\\!\\left(-\\frac{8}{5},\\, \\frac{4}{5}\\right)\\).\n\n**Liczymy odległość** od \\((0,0)\\) do \\(F\\):\n\\[d = \\sqrt{\\left(-\\frac{8}{5}\\right)^2 + \\left(\\frac{4}{5}\\right)^2} = \\sqrt{\\frac{64}{25} + \\frac{16}{25}} = \\sqrt{\\frac{80}{25}} = \\frac{\\sqrt{80}}{5} = \\frac{4\\sqrt{5}}{5}\\]\n\n**Ten sam wynik - poprawność potwierdzona.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - odległość punktu od prostej:\n\\[d = \\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2 + B^2}}\\]\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 1, po uprzednim przekształceniu prostej do postaci ogólnej \\(Ax + By + C = 0\\).\n\n**Dział 11 - proste prostopadłe**: warunek \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\) - użyty w Sposobie 2 do wyznaczenia prostej prostopadłej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\(\\dfrac{\\sqrt{5}}{5}\\) - pominięto \\(4\\) w liczniku; wzięto \\(d = \\frac{1}{\\sqrt{5}}\\) zamiast \\(\\frac{4}{\\sqrt{5}}\\) |\n| C | \\(\\dfrac{4}{5}\\) - wzięto \\(\\sqrt{A^2 + B^2} = 5\\) zamiast \\(\\sqrt{5}\\) (nie pierwiastkowano!) |\n| D | \\(4\\) - odczytano wprost wyraz wolny z postaci \\(y = 2x + \\mathbf{4}\\), myląc go z odległością |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przed użyciem wzoru **musisz** zapisać prostą w postaci ogólnej \\(Ax + By + C = 0\\). Z postaci \\(y = 2x + 4\\) wzoru **nie stosujemy bezpośrednio** - najpierw przenosimy \\(y\\) na lewą stronę!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W mianowniku stoi \\(\\sqrt{A^2 + B^2}\\), a nie \\(A^2 + B^2\\). Brak pierwiastka to jeden z najczęstszych błędów w tym typie zadań - daje odpowiedź C.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyraz wolny \\(+4\\) w równaniu prostej **nie jest** odległością od początku układu - odległość zależy też od nachylenia prostej. Odpowiedź D to klasyczna pułapka.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wzór na odległość punktu od prostej\n\nWzór (karta wzorów, dział 8. Geometria analityczna): odległość punktu \\(P(x_0, y_0)\\) od prostej \\(Ax+By+C=0\\) wynosi:\n\\[d = \\dfrac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\\]\nPrzekształcamy \\(y=2x+4\\) do \\(2x-y+4=0\\), więc \\(A=2, B=-1, C=4\\). Punkt \\(P(0,0)\\):\n\\[d=\\dfrac{|2 \\cdot 0 - 0 + 4|}{\\sqrt{4+1}} = \\dfrac{4}{\\sqrt{5}}=\\dfrac{4\\sqrt{5}}{5}\\]\n\n### Sposób 2 - Przez pole trójkąta\n\nProsta \\(y=2x+4\\) przecina oś \\(Ox\\) w punkcie \\(A(-2,0)\\) (gdy \\(y=0\\)) i oś \\(Oy\\) w punkcie \\(B(0,4)\\). Trójkąt \\(OAB\\) ma przyprostokątne \\(|OA|=2\\), \\(|OB|=4\\), przeciwprostokątną \\(|AB|=\\sqrt{4+16}=\\sqrt{20}=2\\sqrt{5}\\).\n\nPole \\(P=\\frac{1}{2} \\cdot 2 \\cdot 4 = 4\\). Z drugiej strony \\(P=\\frac{1}{2} \\cdot |AB| \\cdot d\\), czyli \\(4=\\frac{1}{2} \\cdot 2\\sqrt{5} \\cdot d\\), stąd \\(d=\\dfrac{4}{\\sqrt{5}}=\\dfrac{4\\sqrt{5}}{5}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A** \\(\\frac{\\sqrt{5}}{5}\\): Pomylenie - brak wyrazu wolnego 4 w liczniku.\n- **C** \\(\\frac{4}{5}\\): Brak pierwiastka w mianowniku (\\(\\sqrt{A^{2}+B^{2}}\\), nie \\(A^{2}+B^{2}\\)).\n- **D** \\(4\\): To odległość od osi \\(Oy\\) (wyraz wolny), a nie od prostej.\n\n**Trik/Klucz:** Do wzoru \\(d=\\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\\) prosta musi być w postaci ogólnej \\(Ax+By+C=0\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Uproszczenie ułamka\n\n1. **Rozpisanie pierwiastka:** Zaczynamy od uproszczenia wyrażenia \\(4\\sqrt{5}/5\\). Możemy to zapisać jako \\(\\frac{4\\sqrt{5}}{5} = \\frac{4\\sqrt{5}}{5} \\cdot \\frac{\\sqrt{5}}{\\sqrt{5}} = \\frac{4 \\cdot 5}{5\\sqrt{5}} = \\frac{20}{5\\sqrt{5}} = \\frac{4}{\\sqrt{5}}\\)\n2. **Wyrażenie na ułamek z mianownikiem √5:** Aby uprościć, mnożymy licznik i mianownik przez √5: \\(\\frac{4}{\\sqrt{5}} \\cdot \\frac{\\sqrt{5}}{\\sqrt{5}} = \\frac{4\\sqrt{5}}{5}\\)\n3. **Uproszczenie:** Zatem \\( \\frac{4\\sqrt{5}}{5} = \\frac{4\\sqrt{5}}{5}\\)\n\n📖 Karta wzorów: |x|, nierówności |x-a|≤r, strona 4\n\n### Sposób 2: Wyciągnięcie pierwiastka z mianownika\n\n1. **Wyciągnięcie pierwiastka z mianownika:** Zauważamy, że mianownik \\(5\\) można zapisać jako \\(5 = \\sqrt{25}\\). Zatem \\(\\frac{4\\sqrt{5}}{5} = \\frac{4\\sqrt{5}}{\\sqrt{25}}\\).\n2. **Uproszczenie:** Dzielimy ułamek przez pierwiastek z mianownika: \\(\\frac{4\\sqrt{5}}{\\sqrt{25}} = \\frac{4\\sqrt{5}}{5}\\)\n\n📖 Karta wzorów: Potęgi: a^r·a^s=a^(r+s), strona 4\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. (na zdjęciu):** Ta odpowiedź jest nieprawidłowa, ponieważ nie upraszcza ułamka.\n* **C. (na zdjęciu):** Ta odpowiedź jest nieprawidłowa, ponieważ nie jest to uproszczona forma ułamka \\( \\frac{4\\sqrt{5}}{5}\\). Zauważ, że nie jest to wartość liczbową, a ułamek.\n* **D. (na zdjęciu):** Ta odpowiedź jest nieprawidłowa, ponieważ nie jest to uproszczona forma ułamka.","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 5. (4 pkt)<br>Rozwiąż równanie<br>2<br>2<br>sin 2<br>4sin<br>1<br>0<br>x<br>x<br>w przedziale 0,2π .<br>Odpowiedź:<br>Wypełnia<br>egzaminator<br>Nr zadania<br>4.<br>5.<br>Maks. liczba pkt<br>6<br>4<br>Uzyskana liczba pkt</p>\n<p>Poziom rozszerzony<br>MMA_1R</p>","answer_text_html":"<p>7<br>π</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(\\dfrac{4\\sqrt{5}}{5}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wzór na odległość punktu od prostej</h4>\n<p><strong>Zapisujemy prostą w postaci ogólnej.</strong></p>\n<p>Mamy \\(y = 2x + 4\\), czyli przenosimy wszystko na jedną stronę:<br>\\[2x - y + 4 = 0\\]<br>Odczytujemy współczynniki: \\(A = 2\\), \\(B = -1\\), \\(C = 4\\).</p>\n<p><strong>Stosujemy wzór na odległość</strong> punktu \\(P(x_0, y_0)\\) od prostej \\(Ax + By + C = 0\\):<br>\\[d = \\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2 + B^2}}\\]</p>\n<p>Początek układu współrzędnych to punkt \\(P(0, 0)\\), więc podstawiamy \\(x_0 = 0\\), \\(y_0 = 0\\):<br>\\[d = \\frac{|2 \\cdot 0 + (-1) \\cdot 0 + 4|}{\\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \\frac{|4|}{\\sqrt{4 + 1}} = \\frac{4}{\\sqrt{5}}\\]</p>\n<p><strong>Racjonalizujemy mianownik</strong> (mnożymy licznik i mianownik przez \\(\\sqrt{5}\\)):<br>\\[d = \\frac{4}{\\sqrt{5}} \\cdot \\frac{\\sqrt{5}}{\\sqrt{5}} = \\frac{4\\sqrt{5}}{5}\\]</p>\n<p><strong>Odległość wynosi \\(\\dfrac{4\\sqrt{5}}{5}\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Przez prostopadłą (geometrycznie)</h4>\n<p>Prosta \\(y = 2x + 4\\) ma współczynnik kierunkowy \\(a_1 = 2\\).</p>\n<p>Prosta prostopadła do niej (przechodzącą przez początek układu) musi mieć współczynnik \\(a_2\\) spełniający \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), czyli:<br>\\[a_2 = -\\frac{1}{2}\\]</p>\n<p>Prosta prostopadła przez \\((0, 0)\\): \\(y = -\\frac{1}{2}x\\).</p>\n<p><strong>Szukamy punktu przecięcia</strong> - stopy prostopadłej:<br>\\[\\begin{cases} y = 2x + 4 \\\\ y = -\\frac{1}{2}x \\end{cases}\\]</p>\n<p>Podstawiamy drugie równanie do pierwszego:<br>\\[-\\frac{1}{2}x = 2x + 4\\]<br>\\[-x = 4x + 8\\]<br>\\[-5x = 8 \\implies x = -\\frac{8}{5}\\]<br>\\[y = -\\frac{1}{2} \\cdot \\left(-\\frac{8}{5}\\right) = \\frac{4}{5}\\]</p>\n<p>Stopa prostopadłej to punkt \\(F\\!\\left(-\\frac{8}{5},\\, \\frac{4}{5}\\right)\\).</p>\n<p><strong>Liczymy odległość</strong> od \\((0,0)\\) do \\(F\\):<br>\\[d = \\sqrt{\\left(-\\frac{8}{5}\\right)^2 + \\left(\\frac{4}{5}\\right)^2} = \\sqrt{\\frac{64}{25} + \\frac{16}{25}} = \\sqrt{\\frac{80}{25}} = \\frac{\\sqrt{80}}{5} = \\frac{4\\sqrt{5}}{5}\\]</p>\n<p><strong>Ten sam wynik - poprawność potwierdzona.</strong></p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong> - odległość punktu od prostej:<br>\\[d = \\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2 + B^2}}\\]<br>Użyliśmy tego wzoru w Sposobie 1, po uprzednim przekształceniu prostej do postaci ogólnej \\(Ax + By + C = 0\\).</p>\n<p><strong>Dział 11 - proste prostopadłe</strong>: warunek \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\) - użyty w Sposobie 2 do wyznaczenia prostej prostopadłej.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A | \\(\\dfrac{\\sqrt{5}}{5}\\) - pominięto \\(4\\) w liczniku; wzięto \\(d = \\frac{1}{\\sqrt{5}}\\) zamiast \\(\\frac{4}{\\sqrt{5}}\\) |<br>| C | \\(\\dfrac{4}{5}\\) - wzięto \\(\\sqrt{A^2 + B^2} = 5\\) zamiast \\(\\sqrt{5}\\) (nie pierwiastkowano!) |<br>| D | \\(4\\) - odczytano wprost wyraz wolny z postaci \\(y = 2x + \\mathbf{4}\\), myląc go z odległością |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przed użyciem wzoru <strong>musisz</strong> zapisać prostą w postaci ogólnej \\(Ax + By + C = 0\\). Z postaci \\(y = 2x + 4\\) wzoru <strong>nie stosujemy bezpośrednio</strong> - najpierw przenosimy \\(y\\) na lewą stronę!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W mianowniku stoi \\(\\sqrt{A^2 + B^2}\\), a nie \\(A^2 + B^2\\). Brak pierwiastka to jeden z najczęstszych błędów w tym typie zadań - daje odpowiedź C.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wyraz wolny \\(+4\\) w równaniu prostej <strong>nie jest</strong> odległością od początku układu - odległość zależy też od nachylenia prostej. Odpowiedź D to klasyczna pułapka.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wzór na odległość punktu od prostej</h5>\n<p>Wzór (karta wzorów, dział 8. Geometria analityczna): odległość punktu \\(P(x_0, y_0)\\) od prostej \\(Ax+By+C=0\\) wynosi:<br>\\[d = \\dfrac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\\]<br>Przekształcamy \\(y=2x+4\\) do \\(2x-y+4=0\\), więc \\(A=2, B=-1, C=4\\). Punkt \\(P(0,0)\\):<br>\\[d=\\dfrac{|2 \\cdot 0 - 0 + 4|}{\\sqrt{4+1}} = \\dfrac{4}{\\sqrt{5}}=\\dfrac{4\\sqrt{5}}{5}\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Przez pole trójkąta</h5>\n<p>Prosta \\(y=2x+4\\) przecina oś \\(Ox\\) w punkcie \\(A(-2,0)\\) (gdy \\(y=0\\)) i oś \\(Oy\\) w punkcie \\(B(0,4)\\). Trójkąt \\(OAB\\) ma przyprostokątne \\(|OA|=2\\), \\(|OB|=4\\), przeciwprostokątną \\(|AB|=\\sqrt{4+16}=\\sqrt{20}=2\\sqrt{5}\\).</p>\n<p>Pole \\(P=\\frac{1}{2} \\cdot 2 \\cdot 4 = 4\\). Z drugiej strony \\(P=\\frac{1}{2} \\cdot |AB| \\cdot d\\), czyli \\(4=\\frac{1}{2} \\cdot 2\\sqrt{5} \\cdot d\\), stąd \\(d=\\dfrac{4}{\\sqrt{5}}=\\dfrac{4\\sqrt{5}}{5}\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A</strong> \\(\\frac{\\sqrt{5}}{5}\\): Pomylenie - brak wyrazu wolnego 4 w liczniku.</li><li><strong>C</strong> \\(\\frac{4}{5}\\): Brak pierwiastka w mianowniku (\\(\\sqrt{A^{2}+B^{2}}\\), nie \\(A^{2}+B^{2}\\)).</li><li><strong>D</strong> \\(4\\): To odległość od osi \\(Oy\\) (wyraz wolny), a nie od prostej.</li></ul>\n<p><strong>Trik/Klucz:</strong> Do wzoru \\(d=\\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\\) prosta musi być w postaci ogólnej \\(Ax+By+C=0\\).</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Uproszczenie ułamka</h5>\n<ol><li><strong>Rozpisanie pierwiastka:</strong> Zaczynamy od uproszczenia wyrażenia \\(4\\sqrt{5}/5\\). Możemy to zapisać jako \\(\\frac{4\\sqrt{5}}{5} = \\frac{4\\sqrt{5}}{5} \\cdot \\frac{\\sqrt{5}}{\\sqrt{5}} = \\frac{4 \\cdot 5}{5\\sqrt{5}} = \\frac{20}{5\\sqrt{5}} = \\frac{4}{\\sqrt{5}}\\)</li><li><strong>Wyrażenie na ułamek z mianownikiem √5:</strong> Aby uprościć, mnożymy licznik i mianownik przez √5: \\(\\frac{4}{\\sqrt{5}} \\cdot \\frac{\\sqrt{5}}{\\sqrt{5}} = \\frac{4\\sqrt{5}}{5}\\)</li><li><strong>Uproszczenie:</strong> Zatem \\( \\frac{4\\sqrt{5}}{5} = \\frac{4\\sqrt{5}}{5}\\)</li></ol>\n<p>📖 Karta wzorów: |x|, nierówności |x-a|≤r, strona 4</p>\n<h5>Sposób 2: Wyciągnięcie pierwiastka z mianownika</h5>\n<ol><li><strong>Wyciągnięcie pierwiastka z mianownika:</strong> Zauważamy, że mianownik \\(5\\) można zapisać jako \\(5 = \\sqrt{25}\\). Zatem \\(\\frac{4\\sqrt{5}}{5} = \\frac{4\\sqrt{5}}{\\sqrt{25}}\\).</li><li><strong>Uproszczenie:</strong> Dzielimy ułamek przez pierwiastek z mianownika: \\(\\frac{4\\sqrt{5}}{\\sqrt{25}} = \\frac{4\\sqrt{5}}{5}\\)</li></ol>\n<p>📖 Karta wzorów: Potęgi: a^r·a^s=a^(r+s), strona 4</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A. (na zdjęciu):</strong> Ta odpowiedź jest nieprawidłowa, ponieważ nie upraszcza ułamka.</li><li><strong>C. (na zdjęciu):</strong> Ta odpowiedź jest nieprawidłowa, ponieważ nie jest to uproszczona forma ułamka \\( \\frac{4\\sqrt{5}}{5}\\). Zauważ, że nie jest to wartość liczbową, a ułamek.</li><li><strong>D. (na zdjęciu):</strong> Ta odpowiedź jest nieprawidłowa, ponieważ nie jest to uproszczona forma ułamka.</li></ul>"}]}