{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"6","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (4 pkt)\nRozwiąż nierówność | 2\n6 |\n7 |\n17\nx\nx\n≥\nOdpowiedź:\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nWynik to \\(\\dfrac{43}{30} = 1{,}4\\overline{3}\\). Cyfry do wpisania: **1**, **4**, **3**.\n\n## Sposób 1 - Podzielenie licznika i mianownika przez najwyższą potęgę\n\nGranicę obliczamy osobno dla każdego ułamka, korzystając ze standardowej techniki: **dzielimy licznik i mianownik przez \\(n\\) w najwyższej potędze mianownika**.\n\n**Pierwsza część:** \\(\\dfrac{11n^3+6n+5}{6n^3+1}\\)\n\nDzielimy wszystko przez \\(n^3\\):\n\n\\[\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{11n^3+6n+5}{6n^3+1} = \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{11 + \\dfrac{6}{n^2} + \\dfrac{5}{n^3}}{6 + \\dfrac{1}{n^3}} = \\frac{11 + 0 + 0}{6 + 0} = \\frac{11}{6}\\]\n\n**Druga część:** \\(\\dfrac{2n^2+2n+1}{5n^2-4}\\)\n\nDzielimy wszystko przez \\(n^2\\):\n\n\\[\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{2n^2+2n+1}{5n^2-4} = \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{2 + \\dfrac{2}{n} + \\dfrac{1}{n^2}}{5 - \\dfrac{4}{n^2}} = \\frac{2 + 0 + 0}{5 - 0} = \\frac{2}{5}\\]\n\n**Składamy wynik** (obie granice istnieją i są skończone, więc granica różnicy = różnica granic):\n\n\\[\\lim_{n \\to \\infty}\\left(\\frac{11n^3+6n+5}{6n^3+1}-\\frac{2n^2+2n+1}{5n^2-4}\\right) = \\frac{11}{6} - \\frac{2}{5}\\]\n\nSprowadzamy do wspólnego mianownika:\n\n\\[\\frac{11}{6} - \\frac{2}{5} = \\frac{11 \\cdot 5}{30} - \\frac{2 \\cdot 6}{30} = \\frac{55}{30} - \\frac{12}{30} = \\boxed{\\frac{43}{30}}\\]\n\nRozwinięcie dziesiętne:\n\n\\[\\frac{43}{30} = 1{,}4333\\ldots = 1{,}4\\overline{3}\\]\n\n**Cyfry do wpisania:** jedności = **1**, pierwsza po przecinku = **4**, druga po przecinku = **3**.\n\n## Sposób 2 - Sprowadzenie do wspólnego mianownika i analiza stopnia\n\nSprowadzamy wyrażenie do jednego ułamka:\n\n\\[\\frac{(11n^3+6n+5)(5n^2-4) - (2n^2+2n+1)(6n^3+1)}{(6n^3+1)(5n^2-4)}\\]\n\nRozwijamy licznik (wystarczy śledzić **najwyższe potęgi** do wyznaczenia granicy):\n\nLicznik:\n\\[(11n^3+\\ldots)(5n^2-\\ldots) - (2n^2+\\ldots)(6n^3+\\ldots)\\]\n\nCzłon \\(n^5\\): \\(11 \\cdot 5 \\cdot n^5 - 2 \\cdot 6 \\cdot n^5 = 55n^5 - 12n^5 = 43n^5\\)\n\nMianownik: \\((6n^3)(5n^2) + \\ldots = 30n^5 + \\ldots\\)\n\nZatem:\n\n\\[\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{43n^5 + \\text{niższe potęgi}}{30n^5 + \\text{niższe potęgi}} = \\frac{43}{30}\\]\n\n**Wynik zgodny z Metodą 1.** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-11)** - właściwości granic ciągów:\n\\[\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{1}{n^k} = 0 \\quad \\text{dla } k > 0\\]\nUżyliśmy tej własności, by uzasadnić, że wyrazy \\(\\dfrac{6}{n^2}, \\dfrac{5}{n^3}, \\dfrac{2}{n}, \\dfrac{1}{n^2}, \\dfrac{4}{n^2} \\to 0\\) przy \\(n \\to \\infty\\).\n\nKarta wzorów nie zawiera wprost twierdzeń o granicy funkcji wymiernej, ale technika \"dzielenia przez najwyższą potęgę\" wynika bezpośrednio z tej zasady.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\nTo zadanie otwarte (wpisywanie cyfr), ale typowe błędy prowadzące do złego wyniku:\n\n| Błąd | Zły wynik |\n| Wzięcie granicy **tylko pierwszego** ułamka i wpisanie \\(\\frac{11}{6} = 1{,}83\\ldots\\) | cyfry: 1, 8, 3 |\n| Odejmowanie tylko **wiodących współczynników** bez sprowadzenia: \\(\\frac{11-2}{6-5} = 9\\) | cyfry: 9, 0, 0 |\n| Pomylenie mianownika przy sprowadzaniu do wspólnego mianownika (np. \\(6-2=4\\) zamiast NWW) | wynik fałszywy |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Granicę różnicy można rozbić na różnicę granic **tylko wtedy**, gdy obie granice są skończone. Tutaj tak jest - obie dają liczby wymierne.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy dzieleniu przez \\(n^3\\) pamiętaj, że \\(\\frac{6n}{n^3} = \\frac{6}{n^2}\\), a nie \\(\\frac{6}{n}\\) - łatwo tu się pomylić z wykładnikiem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\frac{43}{30}\\) to ułamek z rozwinięciem **okresowym** \\(1{,}4\\overline{3}\\) - trzecia cyfra kratki to **3**, nie **4** ani **0**!\n\n**Wynik: 1,43** (cyfra jedności: **1**, pierwsze dwie cyfry po przecinku: **4, 3**)\n\n### Sposób 1 - Granica każdego ułamka osobno\n\n**Ułamek 1:** \\(\\lim_{n \\to \\infty}\\dfrac{11n^{3}+6n+5}{6n^{3}+1}\\). Dzielimy licznik i mianownik przez \\(n^{3}\\):\n\\[\\lim_{n \\to \\infty}\\dfrac{11+\\frac{6}{n^{2}}+\\frac{5}{n^{3}}}{6+\\frac{1}{n^{3}}}=\\dfrac{11}{6}\\]\n\n**Ułamek 2:** \\(\\lim_{n \\to \\infty}\\dfrac{2n^{2}+2n+1}{5n^{2}-4}\\). Dzielimy przez \\(n^{2}\\):\n\\[\\lim_{n \\to \\infty}\\dfrac{2+\\frac{2}{n}+\\frac{1}{n^{2}}}{5-\\frac{4}{n^{2}}}=\\dfrac{2}{5}\\]\n\nRóżnica: \\(\\dfrac{11}{6}-\\dfrac{2}{5}=\\dfrac{55-12}{30}=\\dfrac{43}{30}\\).\n\nRozwinięcie dziesiętne: \\(\\dfrac{43}{30}=1{,}4\\overline{3}=1{,}4333\\ldots\\)\n\nCyfra jedności: \\(1\\); pierwsze dwie cyfry po przecinku: \\(4\\) i \\(3\\).\n\n### Sposób 2 - Reguła granicy ilorazu wielomianów\n\nDla ciągów postaci \\(\\frac{a_kn^k+\\ldots}{b_kn^k+\\ldots}\\) granica jest \\(\\frac{a_k}{b_k}\\) (najwyższy stopień tego samego rzędu w liczniku i mianowniku). Tu mamy \\(\\frac{11n^{3}}{6n^{3}}=\\frac{11}{6}\\) i \\(\\frac{2n^{2}}{5n^{2}}=\\frac{2}{5}\\). Różnica \\(\\frac{11}{6}-\\frac{2}{5}=\\frac{43}{30} \\approx 1{,}4333\\).\n\n### Uwagi o punktacji\nZa poprawne obliczenie obu granic: 1 pkt. Za poprawne zapisanie cyfr w kratkach (1; 4; 3): 2 pkt.\n\n**Trik/Klucz:** W granicach wielomianów liczy się tylko stosunek współczynników przy najwyższych potęgach - resztę można śmiało \"zignorować\".\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Rozwinięcie wielomianu i obliczenie granicy\nRozwińmy wielomian \\(6n^3 + 1 - 5n^2 - 4\\):\n\\[6n^3 + 1 - 5n^2 - 4 = 6n^3 - 5n^2 + 1 - 4 = 6n^3 - 5n^2 - 3\\]\n\nTeraz obliczamy granicę:\n\\[\\lim_{n \\to \\infty} (6n^3 - 5n^2 - 3)\\]\nPonieważ \\(n \\to \\infty\\), wyrazy z potęgami najwyższymi dominują. Zatem:\n\\[\\lim_{n \\to \\infty} (6n^3 - 5n^2 - 3) = \\lim_{n \\to \\infty} 6n^3 = \\infty\\]\nGranica nie istnieje, ponieważ rośnie do nieskończoności. Jednakże, pytanie dotyczy obliczenia *cyfr jedności i pierwszych dwóch cyfr* wyniku. W tym przypadku, rozwinięcie wielomianu i obliczenie granicy nie prowadzi do konkretnej wartości, którą można by zinterpretować jako cyfry.\n\n📖 Karta wzorów: s.4-5, Potęgi: a^r·a^s=a^(r+s), (a^r)^s=a^(rs), √(a²)=|a| strona 4\n\n### Sposób 2: Analiza bez rozwinięcia (bardziej intuicyjny)\nZauważmy, że dla dużych wartości *n*, \\(6n^3\\) jest znacznie większe niż \\(5n^2\\) i \\(3\\). Zatem możemy przyjąć, że wyrażenie \\(6n^3 - 5n^2 - 3\\) rośnie bez ograniczeń, gdy *n* dąży do nieskończoności. To oznacza, że granica \\( \\lim_{n \\to \\infty} (6n^3 - 5n^2 - 3) \\) również dąży do nieskończoności. Ponieważ pytanie dotyczy cyfr jedności i pierwszych dwóch cyfr, musimy znaleźć, jak te cyfry zachowują się w nieskończoności. Jednakże, bez konkretnego rozwinięcia i analizy, nie możemy dokładnie określić cyfr.\n\n📖 Karta wzorów: s.4-5, Potęgi: a^r·a^s=a^(r+s), (a^r)^s=a^(rs), √(a²)=|a| strona 4\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A:** Ta odpowiedź nie jest poprawna, ponieważ nie ma żadnej konkretnej wartości, którą można by przypisać granicy.\n* **B:** Ta odpowiedź również nie jest poprawna, ponieważ nie ma żadnej konkretnej wartości, którą można by przypisać granicy.\n* **D:** Ta odpowiedź również nie jest poprawna, ponieważ nie ma żadnej konkretnej wartości, którą można by przypisać granicy.\n\nW tym zadaniu, pytanie jest nieco mylące. Granica \\( \\lim_{n \\to \\infty} (6n^3 - 5n^2 - 3) \\) nie daje nam konkretnej liczby, którą można by zinterpretować jako cyfry. Pytanie prawdopodobnie miało na myśli obliczenie *odległości* od zera, a nie faktycznej wartości granicy. Jednakże, z podanych opcji, odpowiedź C jest najbardziej adekwatna, ponieważ wskazuje na to, że wynik granicy jest bardzo duży i nie można go jednoznacznie określić cyframi. W rzeczywistości, granica rośnie do nieskończoności, co nie pasuje do żadnej z podanych opcji.","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 6. (4 pkt)
Rozwiąż nierówność | 2
6 |
7 |
17
x
x
≥
Odpowiedź:

\n

Poziom rozszerzony
MMA_1R

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C

\n

Wynik to \\(\\dfrac{43}{30} = 1{,}4\\overline{3}\\). Cyfry do wpisania: 1, 4, 3.

\n

Sposób 1 - Podzielenie licznika i mianownika przez najwyższą potęgę

\n

Granicę obliczamy osobno dla każdego ułamka, korzystając ze standardowej techniki: dzielimy licznik i mianownik przez \\(n\\) w najwyższej potędze mianownika.

\n

Pierwsza część: \\(\\dfrac{11n^3+6n+5}{6n^3+1}\\)

\n

Dzielimy wszystko przez \\(n^3\\):

\n

\\[\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{11n^3+6n+5}{6n^3+1} = \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{11 + \\dfrac{6}{n^2} + \\dfrac{5}{n^3}}{6 + \\dfrac{1}{n^3}} = \\frac{11 + 0 + 0}{6 + 0} = \\frac{11}{6}\\]

\n

Druga część: \\(\\dfrac{2n^2+2n+1}{5n^2-4}\\)

\n

Dzielimy wszystko przez \\(n^2\\):

\n

\\[\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{2n^2+2n+1}{5n^2-4} = \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{2 + \\dfrac{2}{n} + \\dfrac{1}{n^2}}{5 - \\dfrac{4}{n^2}} = \\frac{2 + 0 + 0}{5 - 0} = \\frac{2}{5}\\]

\n

Składamy wynik (obie granice istnieją i są skończone, więc granica różnicy = różnica granic):

\n

\\[\\lim_{n \\to \\infty}\\left(\\frac{11n^3+6n+5}{6n^3+1}-\\frac{2n^2+2n+1}{5n^2-4}\\right) = \\frac{11}{6} - \\frac{2}{5}\\]

\n

Sprowadzamy do wspólnego mianownika:

\n

\\[\\frac{11}{6} - \\frac{2}{5} = \\frac{11 \\cdot 5}{30} - \\frac{2 \\cdot 6}{30} = \\frac{55}{30} - \\frac{12}{30} = \\boxed{\\frac{43}{30}}\\]

\n

Rozwinięcie dziesiętne:

\n

\\[\\frac{43}{30} = 1{,}4333\\ldots = 1{,}4\\overline{3}\\]

\n

Cyfry do wpisania: jedności = 1, pierwsza po przecinku = 4, druga po przecinku = 3.

\n

Sposób 2 - Sprowadzenie do wspólnego mianownika i analiza stopnia

\n

Sprowadzamy wyrażenie do jednego ułamka:

\n

\\[\\frac{(11n^3+6n+5)(5n^2-4) - (2n^2+2n+1)(6n^3+1)}{(6n^3+1)(5n^2-4)}\\]

\n

Rozwijamy licznik (wystarczy śledzić najwyższe potęgi do wyznaczenia granicy):

\n

Licznik:
\\[(11n^3+\\ldots)(5n^2-\\ldots) - (2n^2+\\ldots)(6n^3+\\ldots)\\]

\n

Człon \\(n^5\\): \\(11 \\cdot 5 \\cdot n^5 - 2 \\cdot 6 \\cdot n^5 = 55n^5 - 12n^5 = 43n^5\\)

\n

Mianownik: \\((6n^3)(5n^2) + \\ldots = 30n^5 + \\ldots\\)

\n

Zatem:

\n

\\[\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{43n^5 + \\text{niższe potęgi}}{30n^5 + \\text{niższe potęgi}} = \\frac{43}{30}\\]

\n

Wynik zgodny z Metodą 1. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-11) - właściwości granic ciągów:
\\[\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{1}{n^k} = 0 \\quad \\text{dla } k > 0\\]
Użyliśmy tej własności, by uzasadnić, że wyrazy \\(\\dfrac{6}{n^2}, \\dfrac{5}{n^3}, \\dfrac{2}{n}, \\dfrac{1}{n^2}, \\dfrac{4}{n^2} \\to 0\\) przy \\(n \\to \\infty\\).

\n

Karta wzorów nie zawiera wprost twierdzeń o granicy funkcji wymiernej, ale technika "dzielenia przez najwyższą potęgę" wynika bezpośrednio z tej zasady.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

To zadanie otwarte (wpisywanie cyfr), ale typowe błędy prowadzące do złego wyniku:

\n

| Błąd | Zły wynik |
| Wzięcie granicy tylko pierwszego ułamka i wpisanie \\(\\frac{11}{6} = 1{,}83\\ldots\\) | cyfry: 1, 8, 3 |
| Odejmowanie tylko wiodących współczynników bez sprowadzenia: \\(\\frac{11-2}{6-5} = 9\\) | cyfry: 9, 0, 0 |
| Pomylenie mianownika przy sprowadzaniu do wspólnego mianownika (np. \\(6-2=4\\) zamiast NWW) | wynik fałszywy |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Granicę różnicy można rozbić na różnicę granic tylko wtedy, gdy obie granice są skończone. Tutaj tak jest - obie dają liczby wymierne.
\n
⚠️ Uwaga: Przy dzieleniu przez \\(n^3\\) pamiętaj, że \\(\\frac{6n}{n^3} = \\frac{6}{n^2}\\), a nie \\(\\frac{6}{n}\\) - łatwo tu się pomylić z wykładnikiem.
\n
⚠️ Uwaga: \\(\\frac{43}{30}\\) to ułamek z rozwinięciem okresowym \\(1{,}4\\overline{3}\\) - trzecia cyfra kratki to 3, nie 4 ani 0!
\n

Wynik: 1,43 (cyfra jedności: 1, pierwsze dwie cyfry po przecinku: 4, 3)

\n
Sposób 1 - Granica każdego ułamka osobno
\n

Ułamek 1: \\(\\lim_{n \\to \\infty}\\dfrac{11n^{3}+6n+5}{6n^{3}+1}\\). Dzielimy licznik i mianownik przez \\(n^{3}\\):
\\[\\lim_{n \\to \\infty}\\dfrac{11+\\frac{6}{n^{2}}+\\frac{5}{n^{3}}}{6+\\frac{1}{n^{3}}}=\\dfrac{11}{6}\\]

\n

Ułamek 2: \\(\\lim_{n \\to \\infty}\\dfrac{2n^{2}+2n+1}{5n^{2}-4}\\). Dzielimy przez \\(n^{2}\\):
\\[\\lim_{n \\to \\infty}\\dfrac{2+\\frac{2}{n}+\\frac{1}{n^{2}}}{5-\\frac{4}{n^{2}}}=\\dfrac{2}{5}\\]

\n

Różnica: \\(\\dfrac{11}{6}-\\dfrac{2}{5}=\\dfrac{55-12}{30}=\\dfrac{43}{30}\\).

\n

Rozwinięcie dziesiętne: \\(\\dfrac{43}{30}=1{,}4\\overline{3}=1{,}4333\\ldots\\)

\n

Cyfra jedności: \\(1\\); pierwsze dwie cyfry po przecinku: \\(4\\) i \\(3\\).

\n
Sposób 2 - Reguła granicy ilorazu wielomianów
\n

Dla ciągów postaci \\(\\frac{a_kn^k+\\ldots}{b_kn^k+\\ldots}\\) granica jest \\(\\frac{a_k}{b_k}\\) (najwyższy stopień tego samego rzędu w liczniku i mianowniku). Tu mamy \\(\\frac{11n^{3}}{6n^{3}}=\\frac{11}{6}\\) i \\(\\frac{2n^{2}}{5n^{2}}=\\frac{2}{5}\\). Różnica \\(\\frac{11}{6}-\\frac{2}{5}=\\frac{43}{30} \\approx 1{,}4333\\).

\n
Uwagi o punktacji
\n

Za poprawne obliczenie obu granic: 1 pkt. Za poprawne zapisanie cyfr w kratkach (1; 4; 3): 2 pkt.

\n

Trik/Klucz: W granicach wielomianów liczy się tylko stosunek współczynników przy najwyższych potęgach - resztę można śmiało "zignorować".

\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1: Rozwinięcie wielomianu i obliczenie granicy
\n

Rozwińmy wielomian \\(6n^3 + 1 - 5n^2 - 4\\):
\\[6n^3 + 1 - 5n^2 - 4 = 6n^3 - 5n^2 + 1 - 4 = 6n^3 - 5n^2 - 3\\]

\n

Teraz obliczamy granicę:
\\[\\lim_{n \\to \\infty} (6n^3 - 5n^2 - 3)\\]
Ponieważ \\(n \\to \\infty\\), wyrazy z potęgami najwyższymi dominują. Zatem:
\\[\\lim_{n \\to \\infty} (6n^3 - 5n^2 - 3) = \\lim_{n \\to \\infty} 6n^3 = \\infty\\]
Granica nie istnieje, ponieważ rośnie do nieskończoności. Jednakże, pytanie dotyczy obliczenia cyfr jedności i pierwszych dwóch cyfr wyniku. W tym przypadku, rozwinięcie wielomianu i obliczenie granicy nie prowadzi do konkretnej wartości, którą można by zinterpretować jako cyfry.

\n

📖 Karta wzorów: s.4-5, Potęgi: a^r·a^s=a^(r+s), (a^r)^s=a^(rs), √(a²)=|a| strona 4

\n
Sposób 2: Analiza bez rozwinięcia (bardziej intuicyjny)
\n

Zauważmy, że dla dużych wartości n, \\(6n^3\\) jest znacznie większe niż \\(5n^2\\) i \\(3\\). Zatem możemy przyjąć, że wyrażenie \\(6n^3 - 5n^2 - 3\\) rośnie bez ograniczeń, gdy n dąży do nieskończoności. To oznacza, że granica \\( \\lim_{n \\to \\infty} (6n^3 - 5n^2 - 3) \\) również dąży do nieskończoności. Ponieważ pytanie dotyczy cyfr jedności i pierwszych dwóch cyfr, musimy znaleźć, jak te cyfry zachowują się w nieskończoności. Jednakże, bez konkretnego rozwinięcia i analizy, nie możemy dokładnie określić cyfr.

\n

📖 Karta wzorów: s.4-5, Potęgi: a^r·a^s=a^(r+s), (a^r)^s=a^(rs), √(a²)=|a| strona 4

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

W tym zadaniu, pytanie jest nieco mylące. Granica \\( \\lim_{n \\to \\infty} (6n^3 - 5n^2 - 3) \\) nie daje nam konkretnej liczby, którą można by zinterpretować jako cyfry. Pytanie prawdopodobnie miało na myśli obliczenie odległości od zera, a nie faktycznej wartości granicy. Jednakże, z podanych opcji, odpowiedź C jest najbardziej adekwatna, ponieważ wskazuje na to, że wynik granicy jest bardzo duży i nie można go jednoznacznie określić cyframi. W rzeczywistości, granica rośnie do nieskończoności, co nie pasuje do żadnej z podanych opcji.

"}]}