{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"7","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (4 pkt)\nO trapezie ABCD wiadomo, że można w niego wpisać okrąg, a ponadto długości jego boków\nAB, BC, CD, AD - w podanej kolejności - tworzą ciąg geometryczny. Uzasadnij, że trapez\nABCD jest rombem.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n6.\n7.\nMaks. liczba pkt\n4\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"28\n0\n,","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(\\dfrac{7}{39}\\)\n\n## Sposób 1 - Postać iloczynowa funkcji kwadratowej\n\nSkoro \\((-1)\\) i \\(3\\) są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej \\(f\\), możemy ją od razu zapisać w **postaci iloczynowej**:\n\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) = a(x-(-1))(x-3) = a(x+1)(x-3)\\]\n\ndla pewnego \\(a \\neq 0\\).\n\n**Obliczamy \\(f(6)\\):**\n\\[f(6) = a(6+1)(6-3) = a \\cdot 7 \\cdot 3 = 21a\\]\n\n**Obliczamy \\(f(12)\\):**\n\\[f(12) = a(12+1)(12-3) = a \\cdot 13 \\cdot 9 = 117a\\]\n\n**Obliczamy iloraz:**\n\\[\\frac{f(6)}{f(12)} = \\frac{21a}{117a} = \\frac{21}{117} = \\frac{7}{39}\\]\n\nWspółczynnik \\(a\\) skraca się - **wynik nie zależy od wartości \\(a\\)!**\n\n## Sposób 2 - Uproszczenie przez własność ilorazu\n\nZamiast liczyć osobno, od razu pisz iloraz:\n\n\\[\\frac{f(6)}{f(12)} = \\frac{a(6+1)(6-3)}{a(12+1)(12-3)} = \\frac{7 \\cdot 3}{13 \\cdot 9} = \\frac{21}{117} = \\frac{7}{39}\\]\n\n\\(a\\) skraca się natychmiast - nie musisz go znać ani obliczać.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać iloczynowa:\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\ngdzie \\(x_1, x_2\\) to miejsca zerowe. Tego wzoru używamy w obu sposobach.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Wzięto tylko jeden czynnik: \\(\\frac{6-3}{12-3} = \\frac{3}{9} = \\frac{1}{3}\\) - zapomniano o czynniku \\((x+1)\\) |\n| B | Wzięto tylko czynnik \\((x+1)\\): \\(\\frac{6+1}{12+1} = \\frac{7}{13}\\) - zapomniano o czynniku \\((x-3)\\) |\n| C | Pomylono znaki miejsc zerowych i zapisano \\(f(x) = a(x-1)(x+3)\\), co daje inny wynik |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Postać iloczynowa to \\(a(x - x_1)(x - x_2)\\). Dla miejsca zerowego \\(x_1 = -1\\) piszemy \\((x - (-1)) = (x+1)\\), **nie** \\((x-1)\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie musisz znać wartości \\(a\\) - przy obliczaniu ilorazu \\(\\frac{f(6)}{f(12)}\\) współczynnik \\(a\\) **zawsze się skróci**. Jeśli próbujesz go wyznaczyć, tracisz czas (i możesz wprowadzić błąd).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj o **obu** czynnikach w postaci iloczynowej. Pominięcie jednego z nich to najczęstszy błąd w tym typie zadania.\n\n**Wynik:** \\(\\dfrac{f(6)}{f(12)}=\\dfrac{35}{143}=\\dfrac{5 \\cdot 7}{11 \\cdot 13}\\)\n\n### Sposób 1 - Postać iloczynowa funkcji kwadratowej\n\nFunkcja kwadratowa o miejscach zerowych \\(x_1=-1\\) i \\(x_2=3\\) ma postać (karta wzorów, dział 4. Funkcje):\n\\[f(x)=a(x+1)(x-3), \\quad a \\neq 0\\]\nObliczamy:\n\\[f(6)=a \\cdot 7 \\cdot 3 = 21a\\]\n\\[f(12)=a \\cdot 13 \\cdot 9 = 117a\\]\nStąd:\n\\[\\dfrac{f(6)}{f(12)}=\\dfrac{21a}{117a}=\\dfrac{21}{117}=\\dfrac{7}{39}\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie z konkretnym \\(a\\)\n\nWeźmy \\(a=1\\): \\(f(x)=(x+1)(x-3)=x^{2}-2x-3\\). Wtedy \\(f(6)=36-12-3=21\\), \\(f(12)=144-24-3=117\\). Stosunek \\(\\dfrac{21}{117}=\\dfrac{7}{39}\\). Parametr \\(a\\) skraca się.\n\n### Uwagi o punktacji\n1 pkt za zapisanie postaci iloczynowej, 2 pkt za poprawne obliczenie stosunku \\(\\dfrac{7}{39}\\).\n\n**Trik/Klucz:** Znając miejsca zerowe, zapisz \\(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\\) - parametr \\(a\\) skróci się w stosunku \\(\\frac{f(p)}{f(q)}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Użycie wzoru na sumę ciągu arytmetycznego\nW zadaniu mamy podane dwa wyrazy ciągu arytmetycznego: a₆ i a₁₂. Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego to: \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\), gdzie \\(a_1\\) to pierwszy wyraz, a \\(r\\) to różnica.\n\nMamy:\n* \\(a_6 = a_1 + 5r\\)\n* \\(a_{12} = a_1 + 11r\\)\n\nWiemy, że \\(a_6 = 2\\) i \\(a_{12} = 2\\). Zatem możemy zapisać równania:\n* \\(a_1 + 5r = 2\\)\n* \\(a_1 + 11r = 2\\)\n\nOdejmując pierwsze równanie od drugiego, otrzymujemy:\n\\(6r = 0\\)\n\\(r = 0\\)\n\nTeraz możemy obliczyć \\(a_1\\):\n\\(a_1 + 5(0) = 2\\)\n\\(a_1 = 2\\)\n\nZatem, szukamy wartości \\(a_{12}\\). Korzystając ze wzoru na n-ty wyraz:\n\\(a_{12} = a_1 + 11r = 2 + 11(0) = 2\\)\n\nOdpowiedź: D\n\n📖 Karta wzorów: Ciągi: arytm. aₙ=a₁+(n-1)r, Sₙ=n(a₁+aₙ)/2; geom. aₙ=a₁·q^(n-1), Sₙ=a₁(1-qⁿ)/(1-q) strona 9\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego\nMamy podane dwa wyrazy ciągu arytmetycznego: a₆ i a₁₂. Możemy obliczyć sumę 6 pierwszych wyrazów i 12 pierwszych wyrazów. Wzór na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego to: \\(S_n = \\frac{n}{2}(a_1 + a_n)\\).\n\n* \\(S_6 = \\frac{6}{2}(a_1 + a_6) = 3(a_1 + 2)\\)\n* \\(S_{12} = \\frac{12}{2}(a_1 + a_{12}) = 6(a_1 + 2)\\)\n\nWiemy, że \\(a_6 = 2\\) i \\(a_{12} = 2\\). Zatem:\n* \\(S_6 = 3(a_1 + 2)\\)\n* \\(S_{12} = 6(a_1 + 2)\\)\n\nPonieważ \\(a_6 = 2\\), to \\(S_6 = \\frac{6}{2}(a_1 + 2) = 3(a_1 + 2)\\). Zauważmy, że \\(S_6 = \\frac{6}{2}(a_1 + a_6) = 3(a_1 + 2)\\).\nZatem \\(S_6 = 3(a_1 + 2) = 3(a_1 + a_6)\\)\n\nPonieważ \\(a_6 = 2\\), to \\(S_6 = 3(a_1 + 2)\\). Zatem \\(S_6 = 3(a_1 + 2)\\) i \\(S_{12} = 6(a_1 + 2)\\). Zauważmy, że \\(a_6 = 2\\) i \\(a_{12} = 2\\).\n\nZauważmy, że \\(a_6 = a_1 + 5r = 2\\) i \\(a_{12} = a_1 + 11r = 2\\). Zatem \\(a_1 + 5r = a_1 + 11r\\), co implikuje \\(5r = 11r\\), czyli \\(6r = 0\\), a więc \\(r = 0\\). Wtedy \\(a_1 = 2\\). Zatem \\(a_{12} = a_1 + 11r = 2 + 11(0) = 2\\).\n\n📖 Karta wzorów: Ciągi: arytm. aₙ=a₁+(n-1)r, Sₙ=n(a₁+aₙ)/2; geom. aₙ=a₁·q^(n-1), Sₙ=a₁(1-qⁿ)/(1-q) strona 9\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A:** Nieprawidłowe obliczenie a₁ i r, co prowadzi do błędnego wyniku.\n* **B:** Użycie wzoru na sumę wyrazów, ale bez prawidłowego określenia a₁ i r.\n* **C:** Nieprawidłowe zastosowanie wzoru na sumę wyrazów, nie uwzględniając, że a₆ i a₁₂ są danymi.\n* **Błąd w odpowiedziach A, B, C:** Wszystkie te odpowiedzi zakładają, że a₁ i r są różne od zera, co nie jest konieczne do rozwiązania zadania. Kluczem jest zrozumienie, że w tym przypadku różnica między a₆ a a₁₂ wynosi zero.","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 7. (4 pkt)
O trapezie ABCD wiadomo, że można w niego wpisać okrąg, a ponadto długości jego boków
AB, BC, CD, AD - w podanej kolejności - tworzą ciąg geometryczny. Uzasadnij, że trapez
ABCD jest rombem.
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
6.
7.
Maks. liczba pkt
4
4
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom rozszerzony
MMA_1R

","answer_text_html":"

28
0
,

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D - \\(\\dfrac{7}{39}\\)

\n

Sposób 1 - Postać iloczynowa funkcji kwadratowej

\n

Skoro \\((-1)\\) i \\(3\\) są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej \\(f\\), możemy ją od razu zapisać w postaci iloczynowej:

\n

\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) = a(x-(-1))(x-3) = a(x+1)(x-3)\\]

\n

dla pewnego \\(a \\neq 0\\).

\n

Obliczamy \\(f(6)\\):
\\[f(6) = a(6+1)(6-3) = a \\cdot 7 \\cdot 3 = 21a\\]

\n

Obliczamy \\(f(12)\\):
\\[f(12) = a(12+1)(12-3) = a \\cdot 13 \\cdot 9 = 117a\\]

\n

Obliczamy iloraz:
\\[\\frac{f(6)}{f(12)} = \\frac{21a}{117a} = \\frac{21}{117} = \\frac{7}{39}\\]

\n

Współczynnik \\(a\\) skraca się - wynik nie zależy od wartości \\(a\\)!

\n

Sposób 2 - Uproszczenie przez własność ilorazu

\n

Zamiast liczyć osobno, od razu pisz iloraz:

\n

\\[\\frac{f(6)}{f(12)} = \\frac{a(6+1)(6-3)}{a(12+1)(12-3)} = \\frac{7 \\cdot 3}{13 \\cdot 9} = \\frac{21}{117} = \\frac{7}{39}\\]

\n

\\(a\\) skraca się natychmiast - nie musisz go znać ani obliczać.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - postać iloczynowa:
\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]
gdzie \\(x_1, x_2\\) to miejsca zerowe. Tego wzoru używamy w obu sposobach.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A | Wzięto tylko jeden czynnik: \\(\\frac{6-3}{12-3} = \\frac{3}{9} = \\frac{1}{3}\\) - zapomniano o czynniku \\((x+1)\\) |
| B | Wzięto tylko czynnik \\((x+1)\\): \\(\\frac{6+1}{12+1} = \\frac{7}{13}\\) - zapomniano o czynniku \\((x-3)\\) |
| C | Pomylono znaki miejsc zerowych i zapisano \\(f(x) = a(x-1)(x+3)\\), co daje inny wynik |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Postać iloczynowa to \\(a(x - x_1)(x - x_2)\\). Dla miejsca zerowego \\(x_1 = -1\\) piszemy \\((x - (-1)) = (x+1)\\), nie \\((x-1)\\)!
\n
⚠️ Uwaga: Nie musisz znać wartości \\(a\\) - przy obliczaniu ilorazu \\(\\frac{f(6)}{f(12)}\\) współczynnik \\(a\\) zawsze się skróci. Jeśli próbujesz go wyznaczyć, tracisz czas (i możesz wprowadzić błąd).
\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj o obu czynnikach w postaci iloczynowej. Pominięcie jednego z nich to najczęstszy błąd w tym typie zadania.
\n

Wynik: \\(\\dfrac{f(6)}{f(12)}=\\dfrac{35}{143}=\\dfrac{5 \\cdot 7}{11 \\cdot 13}\\)

\n
Sposób 1 - Postać iloczynowa funkcji kwadratowej
\n

Funkcja kwadratowa o miejscach zerowych \\(x_1=-1\\) i \\(x_2=3\\) ma postać (karta wzorów, dział 4. Funkcje):
\\[f(x)=a(x+1)(x-3), \\quad a \\neq 0\\]
Obliczamy:
\\[f(6)=a \\cdot 7 \\cdot 3 = 21a\\]
\\[f(12)=a \\cdot 13 \\cdot 9 = 117a\\]
Stąd:
\\[\\dfrac{f(6)}{f(12)}=\\dfrac{21a}{117a}=\\dfrac{21}{117}=\\dfrac{7}{39}\\]

\n
Sposób 2 - Sprawdzenie z konkretnym \\(a\\)
\n

Weźmy \\(a=1\\): \\(f(x)=(x+1)(x-3)=x^{2}-2x-3\\). Wtedy \\(f(6)=36-12-3=21\\), \\(f(12)=144-24-3=117\\). Stosunek \\(\\dfrac{21}{117}=\\dfrac{7}{39}\\). Parametr \\(a\\) skraca się.

\n
Uwagi o punktacji
\n

1 pkt za zapisanie postaci iloczynowej, 2 pkt za poprawne obliczenie stosunku \\(\\dfrac{7}{39}\\).

\n

Trik/Klucz: Znając miejsca zerowe, zapisz \\(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\\) - parametr \\(a\\) skróci się w stosunku \\(\\frac{f(p)}{f(q)}\\).

\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1: Użycie wzoru na sumę ciągu arytmetycznego
\n

W zadaniu mamy podane dwa wyrazy ciągu arytmetycznego: a₆ i a₁₂. Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego to: \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\), gdzie \\(a_1\\) to pierwszy wyraz, a \\(r\\) to różnica.

\n

Mamy:

\n\n

Wiemy, że \\(a_6 = 2\\) i \\(a_{12} = 2\\). Zatem możemy zapisać równania:

\n\n

Odejmując pierwsze równanie od drugiego, otrzymujemy:
\\(6r = 0\\)
\\(r = 0\\)

\n

Teraz możemy obliczyć \\(a_1\\):
\\(a_1 + 5(0) = 2\\)
\\(a_1 = 2\\)

\n

Zatem, szukamy wartości \\(a_{12}\\). Korzystając ze wzoru na n-ty wyraz:
\\(a_{12} = a_1 + 11r = 2 + 11(0) = 2\\)

\n

Odpowiedź: D

\n

📖 Karta wzorów: Ciągi: arytm. aₙ=a₁+(n-1)r, Sₙ=n(a₁+aₙ)/2; geom. aₙ=a₁·q^(n-1), Sₙ=a₁(1-qⁿ)/(1-q) strona 9

\n
Sposób 2: Użycie wzoru na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego
\n

Mamy podane dwa wyrazy ciągu arytmetycznego: a₆ i a₁₂. Możemy obliczyć sumę 6 pierwszych wyrazów i 12 pierwszych wyrazów. Wzór na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego to: \\(S_n = \\frac{n}{2}(a_1 + a_n)\\).

\n\n

Wiemy, że \\(a_6 = 2\\) i \\(a_{12} = 2\\). Zatem:

\n\n

Ponieważ \\(a_6 = 2\\), to \\(S_6 = \\frac{6}{2}(a_1 + 2) = 3(a_1 + 2)\\). Zauważmy, że \\(S_6 = \\frac{6}{2}(a_1 + a_6) = 3(a_1 + 2)\\).
Zatem \\(S_6 = 3(a_1 + 2) = 3(a_1 + a_6)\\)

\n

Ponieważ \\(a_6 = 2\\), to \\(S_6 = 3(a_1 + 2)\\). Zatem \\(S_6 = 3(a_1 + 2)\\) i \\(S_{12} = 6(a_1 + 2)\\). Zauważmy, że \\(a_6 = 2\\) i \\(a_{12} = 2\\).

\n

Zauważmy, że \\(a_6 = a_1 + 5r = 2\\) i \\(a_{12} = a_1 + 11r = 2\\). Zatem \\(a_1 + 5r = a_1 + 11r\\), co implikuje \\(5r = 11r\\), czyli \\(6r = 0\\), a więc \\(r = 0\\). Wtedy \\(a_1 = 2\\). Zatem \\(a_{12} = a_1 + 11r = 2 + 11(0) = 2\\).

\n

📖 Karta wzorów: Ciągi: arytm. aₙ=a₁+(n-1)r, Sₙ=n(a₁+aₙ)/2; geom. aₙ=a₁·q^(n-1), Sₙ=a₁(1-qⁿ)/(1-q) strona 9

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n"}]}