{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"8","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (4 pkt)\nNa boku AB trójkąta równobocznego ABC wybrano punkt D taki, że\n:\n2 : 3\nAD\nDB =\nOblicz tangens kąta ACD .\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n8.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"","solution":"## Poprawna odpowiedź: Udowodniono ✓\n\nTo zadanie otwarte - wymagane jest przeprowadzenie pełnego dowodu, nie wybór odpowiedzi.\n\n## Sposób 1 - Rozkład na sumę kwadratów (algebraiczny)\n\n**Cel:** Pokażemy, że wyrażenie można zapisać jako sumę kwadratów plus stałą dodatnią, co natychmiast daje dolne ograniczenie.\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** Spróbujmy wydzielić pełny kwadrat od wyrazu \\(x^4\\).\n\nWeźmy \\((x^2 - 1)^2\\) i sprawdźmy, co \"zostaje\":\n\n\\[(x^2 - 1)^2 = x^4 - 2x^2 + 1\\]\n\nObliczamy różnicę:\n\n\\[x^4 - x^2 - 2x + 3 - (x^4 - 2x^2 + 1) = x^2 - 2x + 2\\]\n\nSprawdzamy, czy \\(x^2 - 2x + 2\\) daje się ładnie rozłożyć - uzupełniamy do pełnego kwadratu:\n\n\\[x^2 - 2x + 2 = (x-1)^2 + 1\\]\n\nZatem mamy **rozkład**:\n\n\\[x^4 - x^2 - 2x + 3 = (x^2-1)^2 + (x-1)^2 + 1\\]\n\n**Weryfikacja:**\n\n\\[(x^2-1)^2 + (x-1)^2 + 1 = (x^4 - 2x^2 + 1) + (x^2 - 2x + 1) + 1 = x^4 - x^2 - 2x + 3 \\checkmark\\]\n\n**Dowód nierówności:**\n\nPonieważ \\((x^2 - 1)^2 \\geq 0\\) i \\((x-1)^2 \\geq 0\\) dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\), mamy:\n\n\\[x^4 - x^2 - 2x + 3 = \\underbrace{(x^2-1)^2}_{\\geq\\, 0} + \\underbrace{(x-1)^2}_{\\geq\\, 0} + 1 \\geq 0 + 0 + 1 = 1 > 0\\]\n\n**Zatem \\(x^4 - x^2 - 2x + 3 \\geq 1 > 0\\) dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\). □**\n\n## Sposób 2 - Metoda pochodnej (wyznaczenie minimum globalnego)\n\nNiech \\(f(x) = x^4 - x^2 - 2x + 3\\).\n\n**Krok 1: Wyznaczamy pochodną.**\n\n\\[f'(x) = 4x^3 - 2x - 2 = 2(2x^3 - x - 1)\\]\n\n**Krok 2: Szukamy miejsc zerowych pochodnej.**\n\nPróbujemy \\(x = 1\\): \\(2(1)^3 - 1 - 1 = 0\\) - trafiliśmy! Dzielimy przez \\((x-1)\\):\n\n\\[2x^3 - x - 1 = (x-1)(2x^2 + 2x + 1)\\]\n\nWyróżnik trójmianu \\(2x^2 + 2x + 1\\):\n\n\\[\\Delta = 4 - 8 = -4 < 0\\]\n\nTrójmian \\(2x^2 + 2x + 1\\) nie ma miejsc zerowych, więc **jedynym miejscem zerowym \\(f'(x)\\) jest \\(x = 1\\)**.\n\n**Krok 3: Badamy znak \\(f'(x)\\).**\n\n\\[f'(x) = 2(x-1)\\underbrace{(2x^2 + 2x + 1)}_{> 0 \\text{ zawsze}}\\]\n\n- dla \\(x < 1\\): \\(f'(x) < 0\\) - funkcja maleje\n- dla \\(x > 1\\): \\(f'(x) > 0\\) - funkcja rośnie\n\nZatem \\(x = 1\\) jest **jedynym minimum globalnym** (funkcja dąży do \\(+\\infty\\) dla \\(x \\to \\pm\\infty\\)).\n\n**Krok 4: Obliczamy wartość minimum.**\n\n\\[f(1) = 1^4 - 1^2 - 2 \\cdot 1 + 3 = 1 - 1 - 2 + 3 = 1\\]\n\n**Ponieważ \\(f(1) = 1 > 0\\) i jest to minimum globalne:**\n\n\\[f(x) \\geq f(1) = 1 > 0 \\quad \\text{dla każdego } x \\in \\mathbb{R} \\quad \\square\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Sposób 1** nie wymaga wzorów z karty - korzystamy wyłącznie z wzorów skróconego mnożenia i własności kwadratów liczb rzeczywistych.\n\n**Sposób 2** korzysta z:\n\n**Dział 16 (Pochodna funkcji, s. 32-33)** - pochodna potęgi i reguła sumy:\n\\[(x^r)' = r \\cdot x^{r-1}\\]\nUżyte przy obliczaniu \\(f'(x) = 4x^3 - 2x - 2\\).\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)** - wyróżnik do sprawdzenia, że \\(2x^2 + 2x + 1 > 0\\) dla wszystkich \\(x\\):\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = 4 - 8 = -4 < 0 \\implies \\text{trójmian dodatni dla wszystkich } x\\]\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy sprawdzić kilku wartości (np. \\(x = 0, 1, 2\\)) - dowód musi działać dla **każdej** liczby rzeczywistej.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 1 kluczowe jest **zweryfikowanie rozkładu** przez rozwinięcie - łatwo popełnić błąd przy wydzielaniu kwadratów. Zawsze sprawdź, czy po rozwinięciu dostajesz z powrotem wyjściowe wyrażenie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 samo znalezienie minimum lokalnego nie wystarczy - trzeba argumentować, że jest to **minimum globalne** (co wynika z zachowania funkcji dla \\(x \\to \\pm\\infty\\) i jedyności punktu krytycznego).\n\n### Sposób 1 - Rozkład na sumę kwadratów\n\nPokażemy, że \\(x^{4}-x^{2}-2x+3 = (x^{2}-1)^{2}+(x-1)^{2}+1\\).\n\nRozwijamy prawą stronę:\n\\[(x^{2}-1)^{2}=x^{4}-2x^{2}+1\\]\n\\[(x-1)^{2}=x^{2}-2x+1\\]\nSuma: \\(x^{4}-2x^{2}+1+x^{2}-2x+1+1 = x^{4}-x^{2}-2x+3\\).\n\nKażde z trzech składników: \\((x^{2}-1)^{2} \\geq 0\\), \\((x-1)^{2} \\geq 0\\), \\(1>0\\). Suma jest \\(\\geq 0+0+1=1>0\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 2 - Rozbicie na dwa przypadki\n\nZapisujemy \\(x^{4}-x^{2}-2x+3 = x^{4}+(x-1)^{2}+2-x^{2}\\). To nie działa wprost, spróbuj inaczej:\n\\[x^{4}-x^{2}-2x+3 = x^{4}-2x^{2}+1+(x^{2}-2x+1)+1 = (x^{2}-1)^{2}+(x-1)^{2}+1 \\geq 1>0\\]\nRówność z zerem by wymagała \\(x^{2}=1\\) i \\(x=1\\) jednocześnie - oba warunki spełnia tylko \\(x=1\\), wtedy \\((x^{2}-1)^{2}+(x-1)^{2}+1=0+0+1=1 \\neq 0\\). Zatem ostra nierówność jest zachowana.\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt: zapisanie w postaci sumy kwadratów plus stała dodatnia.\n- 2 pkt: poprawne wykazanie nieujemności kwadratów.\n- 3 pkt: zakończenie dowodu z wnioskiem o ostrej nierówności.\n\n**Trik/Klucz:** Dowody nierówności \\(>0\\) - próbuj rozłożyć jako \\((A)^{2}+(B)^{2}+c\\) gdzie \\(c>0\\). Najczęstsze \"cegiełki\": \\((x-1)^{2}\\), \\((x^{2}-1)^{2}\\), \\((x^{2}+x)^{2}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Użycie wzoru na pole trójkąta i twierdzenia o cosinusie\n\nRozważmy trójkąt ABC, gdzie |AB|=a, |BC|=b, |AC|=c oraz kąt przy wierzchołku C to γ. Zadanie prosi o obliczenie pola tego trójkąta.\n\nKrok 1: Obliczenie pola trójkąta za pomocą wzoru: P = (1/2) * a * b * sin(γ)\n\\[P = \\frac{1}{2}ab\\sin(\\gamma)\\]\n📖 Karta wzorów: sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ, strona 13\n\nKrok 2: Obliczenie długości boku c za pomocą twierdzenia o cosinusie: c² = a² + b² - 2ab * cos(γ)\n\\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\\cos(\\gamma)\\]\n📖 Karta wzorów: a²+b²=c², strona 15\n\nKrok 3: Podstawienie wartości do wzoru na pole trójkąta. Ponieważ znamy sin(γ) i możemy obliczyć cos(γ) z twierdzenia o cosinusie, możemy obliczyć pole.\nP = (1/2) * a * b * sin(γ)\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na pole trójkąta opisanego na okręgu\n\nRozważmy trójkąt ABC, gdzie |AB|=a, |BC|=b, |AC|=c oraz kąt przy wierzchołku C to γ. Zadanie prosi o obliczenie pola tego trójkąta.\n\nKrok 1: Obliczenie pola trójkąta za pomocą wzoru: P = (abc) / (4R) gdzie R to promień okręgu opisanego na trójkącie.\n\\[P = \\frac{abc}{4R}\\]\n📖 Karta wzorów: P=abc/4R, strona 15\n\nKrok 2: Obliczenie promienia okręgu opisanego na trójkącie za pomocą wzoru: R = a / (2sin(α)) gdzie α to kąt przy wierzchołku A. W tym przypadku α = γ.\n\\[R = \\frac{a}{2\\sin(\\gamma)}\\]\n\nKrok 3: Podstawienie wartości do wzoru na pole trójkąta.\nP = (abc) / (4R) = (abc) / (4 * a / (2sin(γ))) = (abc) / (2a / sin(γ)) = (bc) / (2 * (1/sin(γ))) = (bc) * (sin(γ) / 2)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A:** Odpowiedź A prawdopodobnie zawierałaby obliczenia związane z innymi wzorami (np. wzory na pole trójkąta w zależności od jego wysokości i podstawy, lub wzory na pole trójkąta w zależności od długości jego boków), ale nie prowadzi do poprawnego wyniku.\n* **B:** Odpowiedź B prawdopodobnie zawierałaby obliczenia związane z wzorem Herona, który wymaga znajomości długości wszystkich trzech boków trójkąta.\n* **C:** Odpowiedź C prawdopodobnie zawierałaby obliczenia związane z wzorem na pole trójkąta opisanego na okręgu, ale nie uwzględniałaby poprawnego obliczenia sinusa kąta.\n* **D:** Odpowiedź D jest poprawna, ponieważ daje nam wzór na pole trójkąta w zależności od długości boków i kąta między nimi, co jest najbardziej ogólnym i uniwersalnym rozwiązaniem.","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 8. (4 pkt)<br>Na boku AB trójkąta równobocznego ABC wybrano punkt D taki, że<br>:<br>2 : 3<br>AD<br>DB =<br>Oblicz tangens kąta ACD .</p>\n<p>Poziom rozszerzony<br>MMA_1R<br>Odpowiedź:<br>Wypełnia<br>egzaminator<br>Nr zadania<br>8.<br>Maks. liczba pkt<br>4<br>Uzyskana liczba pkt</p>\n<p>Poziom rozszerzony<br>MMA_1R</p>","answer_text_html":"<p></p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: Udowodniono ✓</h4>\n<p>To zadanie otwarte - wymagane jest przeprowadzenie pełnego dowodu, nie wybór odpowiedzi.</p>\n<h4>Sposób 1 - Rozkład na sumę kwadratów (algebraiczny)</h4>\n<p><strong>Cel:</strong> Pokażemy, że wyrażenie można zapisać jako sumę kwadratów plus stałą dodatnią, co natychmiast daje dolne ograniczenie.</p>\n<p><strong>Kluczowe spostrzeżenie:</strong> Spróbujmy wydzielić pełny kwadrat od wyrazu \\(x^4\\).</p>\n<p>Weźmy \\((x^2 - 1)^2\\) i sprawdźmy, co &quot;zostaje&quot;:</p>\n<p>\\[(x^2 - 1)^2 = x^4 - 2x^2 + 1\\]</p>\n<p>Obliczamy różnicę:</p>\n<p>\\[x^4 - x^2 - 2x + 3 - (x^4 - 2x^2 + 1) = x^2 - 2x + 2\\]</p>\n<p>Sprawdzamy, czy \\(x^2 - 2x + 2\\) daje się ładnie rozłożyć - uzupełniamy do pełnego kwadratu:</p>\n<p>\\[x^2 - 2x + 2 = (x-1)^2 + 1\\]</p>\n<p>Zatem mamy <strong>rozkład</strong>:</p>\n<p>\\[x^4 - x^2 - 2x + 3 = (x^2-1)^2 + (x-1)^2 + 1\\]</p>\n<p><strong>Weryfikacja:</strong></p>\n<p>\\[(x^2-1)^2 + (x-1)^2 + 1 = (x^4 - 2x^2 + 1) + (x^2 - 2x + 1) + 1 = x^4 - x^2 - 2x + 3 \\checkmark\\]</p>\n<p><strong>Dowód nierówności:</strong></p>\n<p>Ponieważ \\((x^2 - 1)^2 \\geq 0\\) i \\((x-1)^2 \\geq 0\\) dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\), mamy:</p>\n<p>\\[x^4 - x^2 - 2x + 3 = \\underbrace{(x^2-1)^2}<em>{\\geq\\, 0} + \\underbrace{(x-1)^2}</em>{\\geq\\, 0} + 1 \\geq 0 + 0 + 1 = 1 &gt; 0\\]</p>\n<p><strong>Zatem \\(x^4 - x^2 - 2x + 3 \\geq 1 &gt; 0\\) dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\). □</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Metoda pochodnej (wyznaczenie minimum globalnego)</h4>\n<p>Niech \\(f(x) = x^4 - x^2 - 2x + 3\\).</p>\n<p><strong>Krok 1: Wyznaczamy pochodną.</strong></p>\n<p>\\[f&#x27;(x) = 4x^3 - 2x - 2 = 2(2x^3 - x - 1)\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Szukamy miejsc zerowych pochodnej.</strong></p>\n<p>Próbujemy \\(x = 1\\): \\(2(1)^3 - 1 - 1 = 0\\) - trafiliśmy! Dzielimy przez \\((x-1)\\):</p>\n<p>\\[2x^3 - x - 1 = (x-1)(2x^2 + 2x + 1)\\]</p>\n<p>Wyróżnik trójmianu \\(2x^2 + 2x + 1\\):</p>\n<p>\\[\\Delta = 4 - 8 = -4 &lt; 0\\]</p>\n<p>Trójmian \\(2x^2 + 2x + 1\\) nie ma miejsc zerowych, więc <strong>jedynym miejscem zerowym \\(f&#x27;(x)\\) jest \\(x = 1\\)</strong>.</p>\n<p><strong>Krok 3: Badamy znak \\(f&#x27;(x)\\).</strong></p>\n<p>\\[f&#x27;(x) = 2(x-1)\\underbrace{(2x^2 + 2x + 1)}_{&gt; 0 \\text{ zawsze}}\\]</p>\n<ul><li>dla \\(x &lt; 1\\): \\(f&#x27;(x) &lt; 0\\) - funkcja maleje</li><li>dla \\(x &gt; 1\\): \\(f&#x27;(x) &gt; 0\\) - funkcja rośnie</li></ul>\n<p>Zatem \\(x = 1\\) jest <strong>jedynym minimum globalnym</strong> (funkcja dąży do \\(+\\infty\\) dla \\(x \\to \\pm\\infty\\)).</p>\n<p><strong>Krok 4: Obliczamy wartość minimum.</strong></p>\n<p>\\[f(1) = 1^4 - 1^2 - 2 \\cdot 1 + 3 = 1 - 1 - 2 + 3 = 1\\]</p>\n<p><strong>Ponieważ \\(f(1) = 1 &gt; 0\\) i jest to minimum globalne:</strong></p>\n<p>\\[f(x) \\geq f(1) = 1 &gt; 0 \\quad \\text{dla każdego } x \\in \\mathbb{R} \\quad \\square\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Sposób 1</strong> nie wymaga wzorów z karty - korzystamy wyłącznie z wzorów skróconego mnożenia i własności kwadratów liczb rzeczywistych.</p>\n<p><strong>Sposób 2</strong> korzysta z:</p>\n<p><strong>Dział 16 (Pochodna funkcji, s. 32-33)</strong> - pochodna potęgi i reguła sumy:<br>\\[(x^r)&#x27; = r \\cdot x^{r-1}\\]<br>Użyte przy obliczaniu \\(f&#x27;(x) = 4x^3 - 2x - 2\\).</p>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)</strong> - wyróżnik do sprawdzenia, że \\(2x^2 + 2x + 1 &gt; 0\\) dla wszystkich \\(x\\):<br>\\[\\Delta = b^2 - 4ac = 4 - 8 = -4 &lt; 0 \\implies \\text{trójmian dodatni dla wszystkich } x\\]</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie wystarczy sprawdzić kilku wartości (np. \\(x = 0, 1, 2\\)) - dowód musi działać dla <strong>każdej</strong> liczby rzeczywistej.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W Sposobie 1 kluczowe jest <strong>zweryfikowanie rozkładu</strong> przez rozwinięcie - łatwo popełnić błąd przy wydzielaniu kwadratów. Zawsze sprawdź, czy po rozwinięciu dostajesz z powrotem wyjściowe wyrażenie.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W Sposobie 2 samo znalezienie minimum lokalnego nie wystarczy - trzeba argumentować, że jest to <strong>minimum globalne</strong> (co wynika z zachowania funkcji dla \\(x \\to \\pm\\infty\\) i jedyności punktu krytycznego).</blockquote>\n<h5>Sposób 1 - Rozkład na sumę kwadratów</h5>\n<p>Pokażemy, że \\(x^{4}-x^{2}-2x+3 = (x^{2}-1)^{2}+(x-1)^{2}+1\\).</p>\n<p>Rozwijamy prawą stronę:<br>\\[(x^{2}-1)^{2}=x^{4}-2x^{2}+1\\]<br>\\[(x-1)^{2}=x^{2}-2x+1\\]<br>Suma: \\(x^{4}-2x^{2}+1+x^{2}-2x+1+1 = x^{4}-x^{2}-2x+3\\).</p>\n<p>Każde z trzech składników: \\((x^{2}-1)^{2} \\geq 0\\), \\((x-1)^{2} \\geq 0\\), \\(1&gt;0\\). Suma jest \\(\\geq 0+0+1=1&gt;0\\). \\(\\blacksquare\\)</p>\n<h5>Sposób 2 - Rozbicie na dwa przypadki</h5>\n<p>Zapisujemy \\(x^{4}-x^{2}-2x+3 = x^{4}+(x-1)^{2}+2-x^{2}\\). To nie działa wprost, spróbuj inaczej:<br>\\[x^{4}-x^{2}-2x+3 = x^{4}-2x^{2}+1+(x^{2}-2x+1)+1 = (x^{2}-1)^{2}+(x-1)^{2}+1 \\geq 1&gt;0\\]<br>Równość z zerem by wymagała \\(x^{2}=1\\) i \\(x=1\\) jednocześnie - oba warunki spełnia tylko \\(x=1\\), wtedy \\((x^{2}-1)^{2}+(x-1)^{2}+1=0+0+1=1 \\neq 0\\). Zatem ostra nierówność jest zachowana.</p>\n<h5>Uwagi o punktacji</h5>\n<ul><li>1 pkt: zapisanie w postaci sumy kwadratów plus stała dodatnia.</li><li>2 pkt: poprawne wykazanie nieujemności kwadratów.</li><li>3 pkt: zakończenie dowodu z wnioskiem o ostrej nierówności.</li></ul>\n<p><strong>Trik/Klucz:</strong> Dowody nierówności \\(&gt;0\\) - próbuj rozłożyć jako \\((A)^{2}+(B)^{2}+c\\) gdzie \\(c&gt;0\\). Najczęstsze &quot;cegiełki&quot;: \\((x-1)^{2}\\), \\((x^{2}-1)^{2}\\), \\((x^{2}+x)^{2}\\).</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Użycie wzoru na pole trójkąta i twierdzenia o cosinusie</h5>\n<p>Rozważmy trójkąt ABC, gdzie |AB|=a, |BC|=b, |AC|=c oraz kąt przy wierzchołku C to γ. Zadanie prosi o obliczenie pola tego trójkąta.</p>\n<p>Krok 1: Obliczenie pola trójkąta za pomocą wzoru: P = (1/2) * a * b * sin(γ)<br>\\[P = \\frac{1}{2}ab\\sin(\\gamma)\\]<br>📖 Karta wzorów: sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ, strona 13</p>\n<p>Krok 2: Obliczenie długości boku c za pomocą twierdzenia o cosinusie: c² = a² + b² - 2ab * cos(γ)<br>\\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\\cos(\\gamma)\\]<br>📖 Karta wzorów: a²+b²=c², strona 15</p>\n<p>Krok 3: Podstawienie wartości do wzoru na pole trójkąta. Ponieważ znamy sin(γ) i możemy obliczyć cos(γ) z twierdzenia o cosinusie, możemy obliczyć pole.<br>P = (1/2) * a * b * sin(γ)</p>\n<h5>Sposób 2: Użycie wzoru na pole trójkąta opisanego na okręgu</h5>\n<p>Rozważmy trójkąt ABC, gdzie |AB|=a, |BC|=b, |AC|=c oraz kąt przy wierzchołku C to γ. Zadanie prosi o obliczenie pola tego trójkąta.</p>\n<p>Krok 1: Obliczenie pola trójkąta za pomocą wzoru: P = (abc) / (4R) gdzie R to promień okręgu opisanego na trójkącie.<br>\\[P = \\frac{abc}{4R}\\]<br>📖 Karta wzorów: P=abc/4R, strona 15</p>\n<p>Krok 2: Obliczenie promienia okręgu opisanego na trójkącie za pomocą wzoru: R = a / (2sin(α)) gdzie α to kąt przy wierzchołku A. W tym przypadku α = γ.<br>\\[R = \\frac{a}{2\\sin(\\gamma)}\\]</p>\n<p>Krok 3: Podstawienie wartości do wzoru na pole trójkąta.<br>P = (abc) / (4R) = (abc) / (4 * a / (2sin(γ))) = (abc) / (2a / sin(γ)) = (bc) / (2 * (1/sin(γ))) = (bc) * (sin(γ) / 2)</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A:</strong> Odpowiedź A prawdopodobnie zawierałaby obliczenia związane z innymi wzorami (np. wzory na pole trójkąta w zależności od jego wysokości i podstawy, lub wzory na pole trójkąta w zależności od długości jego boków), ale nie prowadzi do poprawnego wyniku.</li><li><strong>B:</strong> Odpowiedź B prawdopodobnie zawierałaby obliczenia związane z wzorem Herona, który wymaga znajomości długości wszystkich trzech boków trójkąta.</li><li><strong>C:</strong> Odpowiedź C prawdopodobnie zawierałaby obliczenia związane z wzorem na pole trójkąta opisanego na okręgu, ale nie uwzględniałaby poprawnego obliczenia sinusa kąta.</li><li><strong>D:</strong> Odpowiedź D jest poprawna, ponieważ daje nam wzór na pole trójkąta w zależności od długości boków i kąta między nimi, co jest najbardziej ogólnym i uniwersalnym rozwiązaniem.</li></ul>"}]}