{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"9","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (5 pkt)\nWyznacz równania prostych stycznych do okręgu o równaniu\n0\n3\n6\n4\n2\n2\ny\nx\ny\nx\ni zarazem prostopadłych do prostej\n0\n6\n2\ny\nx\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n9.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"9\n3\nm\n2\n1","solution":"## Poprawna odpowiedź: Dowód (zadanie otwarte)\n\nNależy wykazać, że czworokąt \\(PQRS\\) da się wpisać w okrąg, tzn. że jego przeciwległe kąty sumują się do \\(180°\\).\n\n## Sposób 1 - kąty w trójkątach tworzonych przez dwusieczne\n\n**Oznaczenia.** Niech kąty czworokąta \\(ABCD\\) wynoszą:\n\\[\n\\angle DAB = 2\\alpha,\\quad \\angle ABC = 2\\beta,\\quad \\angle BCD = 2\\gamma,\\quad \\angle CDA = 2\\delta.\n\\]\nDwusieczne kolejno dzielą te kąty na połowy.\n\n**Krok 1: Własność czworokąta wpisanego.**\n\nPonieważ \\(ABCD\\) jest wpisany w okrąg, jego przeciwległe kąty są suplementarne:\n\\[\n\\angle DAB + \\angle BCD = 180° \\implies 2\\alpha + 2\\gamma = 180° \\implies \\alpha + \\gamma = 90°,\n\\]\n\\[\n\\angle ABC + \\angle CDA = 180° \\implies 2\\beta + 2\\delta = 180° \\implies \\beta + \\delta = 90°.\n\\]\n\nStąd wynika kluczowa równość:\n\\[\n\\alpha + \\beta + \\gamma + \\delta = 90° + 90° = 180°.\n\\]\n\n**Krok 2: Identyfikacja wierzchołków \\(PQRS\\).**\n\nPunkt \\(P\\) = przecięcie dwusiecznej kąta \\(A\\) z dwusieczną kąta \\(B\\),\nPunkt \\(Q\\) = przecięcie dwusiecznej kąta \\(B\\) z dwusieczną kąta \\(C\\),\nPunkt \\(R\\) = przecięcie dwusiecznej kąta \\(C\\) z dwusieczną kąta \\(D\\),\nPunkt \\(S\\) = przecięcie dwusiecznej kąta \\(D\\) z dwusieczną kąta \\(A\\).\n\n**Krok 3: Obliczenie kątów \\(\\angle P\\) i \\(\\angle R\\) w czworokącie \\(PQRS\\).**\n\nRozważmy trójkąt \\(APB\\):\n- Kąt przy \\(A\\) (między bokami \\(AB\\) i dwusieczną) \\(= \\alpha\\)\n- Kąt przy \\(B\\) \\(= \\beta\\)\n\nZ twierdzenia o sumie kątów w trójkącie:\n\\[\n\\angle P = \\angle APB = 180° - \\alpha - \\beta.\n\\]\n\nAnalogicznie w trójkącie \\(CRD\\):\n\\[\n\\angle R = \\angle CRD = 180° - \\gamma - \\delta.\n\\]\n\n**Krok 4: Suma kątów przeciwległych.**\n\n\\[\n\\angle P + \\angle R = (180° - \\alpha - \\beta) + (180° - \\gamma - \\delta)\n= 360° - \\underbrace{(\\alpha + \\beta + \\gamma + \\delta)}_{= 180°}\n= 360° - 180° = \\boxed{180°}.\n\\]\n\nPonieważ suma przeciwległych kątów \\(\\angle P + \\angle R = 180°\\), na czworokącie \\(PQRS\\) **można opisać okrąg**. \\(\\square\\)\n\n## Sposób 2 - przez miary łuków\n\n**Oznaczenia łuków.** Niech:\n\\[\n\\text{łuk } AB = a,\\quad \\text{łuk } BC = b,\\quad \\text{łuk } CD = c,\\quad \\text{łuk } DA = d,\n\\]\ngdzie \\(a + b + c + d = 360°\\).\n\n**Kąty czworokąta jako połowy łuków** (kąt wpisany = połowa łuku):\n\nKąt przy wierzchołku \\(A\\) (między cięciwami \\(AB\\) i \\(AD\\)) = połowa łuku \\(BD\\) nie zawierającego \\(A\\):\n\\[\n\\angle DAB = \\frac{b + c}{2} = 2\\alpha \\implies \\alpha = \\frac{b+c}{4}.\n\\]\n\nAnalogicznie:\n\\[\n\\beta = \\frac{c+d}{4},\\quad \\gamma = \\frac{d+a}{4},\\quad \\delta = \\frac{a+b}{4}.\n\\]\n\n**Weryfikacja:** \\(\\alpha + \\gamma = \\frac{b+c}{4} + \\frac{d+a}{4} = \\frac{a+b+c+d}{4} = \\frac{360°}{4} = 90°\\). ✓\n\n**Kąt przy \\(P\\):**\n\\[\n\\angle P = 180° - \\alpha - \\beta = 180° - \\frac{b+c}{4} - \\frac{c+d}{4} = 180° - \\frac{b+2c+d}{4}.\n\\]\n\n**Kąt przy \\(R\\):**\n\\[\n\\angle R = 180° - \\gamma - \\delta = 180° - \\frac{d+a}{4} - \\frac{a+b}{4} = 180° - \\frac{2a+b+d}{4}.\n\\]\n\n**Suma:**\n\\[\n\\angle P + \\angle R = 360° - \\frac{b+2c+d+2a+b+d}{4} = 360° - \\frac{2(a+b+c+d)}{4} = 360° - \\frac{2 \\cdot 360°}{4} = 360° - 180° = 180°. \\quad \\square\n\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - kąt wpisany w okrąg:\n\n> Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.\n\nCzyli: kąt wpisany subtendujący łuk \\(= \\frac{\\text{miara łuku}}{2}\\).\n\nUżyte w **Sposobie 2** do wyznaczenia kątów czworokąta wpisanego przez łuki.\n\n**Dział 10 (s. 20)** - własność czworokąta wpisanego:\n\n\\[\n\\alpha + \\gamma = \\beta + \\delta = 180°\n\\]\n(suma kątów przeciwległych czworokąta wpisanego = 180°).\n\nUżyte w **Sposobie 1** jako punktu startowego - to kluczowa własność okręgu opisanego.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \"wpisany w okrąg\" jest tu niezbędny - dla ogólnego czworokąta kąty przy \\(A\\) i \\(C\\) nie musiałyby sumować się do \\(180°\\), więc równość \\(\\alpha + \\gamma = 90°\\) mogłaby nie zachodzić.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić kąty w trójkącie \\(APB\\): kąt przy \\(A\\) to **połowa** kąta \\(\\angle DAB\\) (bo to dwusieczna!), nie cały kąt. Pisz wyraźnie \\(\\alpha = \\frac{\\angle DAB}{2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W dowodzie wystarczy pokazać, że **jedna para** kątów przeciwległych sumuje się do \\(180°\\) - wystarczy zbadać \\(\\angle P + \\angle R\\). Nie trzeba osobno sprawdzać \\(\\angle Q + \\angle S\\) (choć oczywiście też wychodzi \\(180°\\) z analogicznego rachunku).\n\n### Sposób 1 - Warunek wpisania (suma kątów przeciwległych = 180°)\n\nNa czworokącie da się opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy suma miar kątów przeciwległych wynosi \\(180^{\\circ}\\) (karta wzorów, dział 7. Planimetria).\n\nOznaczmy kąty wewnętrzne czworokąta \\(ABCD\\) jako \\(2\\alpha, 2\\beta, 2\\gamma, 2\\delta\\), odpowiednio przy wierzchołkach \\(A, B, C, D\\). Ponieważ \\(ABCD\\) jest wpisany w okrąg:\n\\[2\\alpha+2\\gamma=180^{\\circ} \\Rightarrow \\alpha+\\gamma=90^{\\circ}\\]\n\\[2\\beta+2\\delta=180^{\\circ} \\Rightarrow \\beta+\\delta=90^{\\circ}\\]\n\nPunkt \\(P\\) to przecięcie dwusiecznych kątów \\(A\\) i \\(B\\); w trójkącie \\(ABP\\): \\(\\angle APB = 180^{\\circ}-\\alpha-\\beta\\). Analogicznie \\(\\angle CRD = 180^{\\circ}-\\gamma-\\delta\\) (gdzie \\(R\\) to przecięcie dwusiecznych \\(C\\) i \\(D\\)).\n\nKąty czworokąta \\(PQRS\\) przy \\(P\\) i \\(R\\) są wierzchołkami (kąty pionowe lub przeciwległe): \\(\\angle P+\\angle R = (180^{\\circ}-\\alpha-\\beta)+(180^{\\circ}-\\gamma-\\delta)=360^{\\circ}-(\\alpha+\\beta+\\gamma+\\delta)=360^{\\circ}-180^{\\circ}=180^{\\circ}\\).\n\nZatem kąty przeciwległe \\(\\angle P+\\angle R = 180^{\\circ}\\), więc na \\(PQRS\\) można opisać okrąg. \\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 2 - Kąty przy \\(Q\\) i \\(S\\)\n\nAnalogicznie, w trójkątach zawierających dwusieczne pokazuje się \\(\\angle Q+\\angle S=180^{\\circ}\\). Oba warunki dają, że \\(PQRS\\) jest czworokątem wpisanym w okrąg.\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt: zastosowanie oznaczeń kątów \\(2\\alpha, 2\\beta, 2\\gamma, 2\\delta\\) i wypisanie warunku wpisania \\(ABCD\\).\n- 2 pkt: obliczenie kąta \\(\\angle P\\) (lub \\(\\angle Q\\)) w trójkącie zawierającym dwusieczne.\n- 3 pkt: wykazanie sumy kątów przeciwległych \\(PQRS\\) równej \\(180^{\\circ}\\).\n\n**Trik/Klucz:** Użyj sumy kątów w trójkącie i faktu, że \\(ABCD\\) wpisany daje \\(\\alpha+\\gamma=\\beta+\\delta=90^{\\circ}\\) po połowieniu.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Własność kątów wpisanych\n\n**Kroki:**\n\n1. **Zrozumienie własności kątów wpisanych:** Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego, który opiera się na tym samym łuku. Zatem, kąt ∠SPQ = 1/2 ∠SAD, ∠SRQ = 1/2 ∠SBD, ∠RSP = 1/2 ∠RBD, ∠QSD = 1/2 ∠QAD.\n2. **Analiza czworokąta PQRS:** Zauważmy, że PQRS jest czworokątem, którego wierzchołki leżą na okręgu. Ponieważ P, Q, R, S są punktami przecięcia dwóch prostych z okręgiem, to kąty ∠SPQ, ∠SRQ, ∠RSP, ∠QSD są kątami wpisanymi.\n3. **Wykorzystanie własności kątów wpisanych:** Aby pokazać, że PQRS można opisać okręgiem, musimy sprawdzić, czy suma kątów w czworokącie wynosi 360 stopni. Warto zauważyć, że ∠SPQ + ∠SRQ + ∠RSP + ∠QSD = 4 * (1/2 ∠SAD) = 2∠SAD. Jeśli ∠SAD = 180 stopni, to suma kątów w czworokącie wynosi 360 stopni.\n4. **Wniosek:** Ponieważ PQRS jest czworokątem wpisanym w okrąg, to jego wierzchołki leżą na okręgu. W szczególności, PQRS można opisać okręgiem.\n\n📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r (Używamy tej strony, aby zrozumieć pojęcie kąta wpisanych i środkowego)\n\n### Sposób 2: Własność kątów wpisanych i kąta środkowego\n\n**Kroki:**\n\n1. **Zdefiniujmy:** Niech O będzie środkiem okręgu. Wtedy ∠SOA = α, ∠SBO = β, ∠COA = γ, ∠DOA = δ.\n2. **Zauważmy:** Ponieważ P, Q, R, S leżą na okręgu, to ∠SPQ = (1/2)∠SAD, ∠SRQ = (1/2)∠SBD, ∠RSP = (1/2)∠RBD, ∠QSD = (1/2)∠QAD.\n3. **Zbadajmy kąt środkowy:** Kąt środkowy ∠SOA jest równy 2∠SDA.\n4. **Zbadajmy kąt wpisany:** Kąt wpisany ∠SPA = (1/2)∠SOA = (1/2) * 2∠SDA = ∠SDA.\n5. **Zauważmy:** Kąt ∠SPA = ∠SDA jest kątem wpisanym, który opiera się na łuku AS. Podobnie, ∠SBA = ∠SDA, ∠RCD = ∠SDA, ∠QDE = ∠SDA.\n6. **Wniosek:** Ponieważ ∠SPA = ∠SDA, ∠SBA = ∠SDA, ∠RCD = ∠SDA, ∠QDE = ∠SDA, to PQRS jest czworokątem, którego wszystkie kąty są równe ∠SDA. Zatem, PQRS jest czworokątem równym, a czworościany równenne jest zawsze wpisane w okrąg.\n\n📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r (Używamy tej strony, aby zrozumieć pojęcie kąta wpisanych i środkowego)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A:** Odpowiedź A sugeruje, że wierzchołki czworokąta leżą na okręgu, co jest fałszem. W zadaniu podano, że czworokąt jest wpisany w okrąg, co oznacza, że jego wierzchołki leżą na okręgu.\n* **C:** Odpowiedź C sugeruje, że wierzchołki czworokąta leżą na okręgu, co jest fałszem. W zadaniu podano, że czworokąt jest wpisany w okrąg, co oznacza, że jego wierzchołki leżą na okręgu.\n* **D:** Odpowiedź D sugeruje, że PQRS może być opisywany przez okrąg, co jest prawdą, ale nie wyjaśnia, dlaczego to jest tak. Sposób, w jaki jest to udowodnione, jest kluczowy.\n\nW obu sposobach, kluczowym elementem jest wykorzystanie własności kątów wpisanych i środkowych.","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 9. (5 pkt)<br>Wyznacz równania prostych stycznych do okręgu o równaniu<br>0<br>3<br>6<br>4<br>2<br>2<br>y<br>x<br>y<br>x<br>i zarazem prostopadłych do prostej<br>0<br>6<br>2<br>y<br>x</p>\n<p>Poziom rozszerzony<br>MMA_1R<br>Odpowiedź:<br>Wypełnia<br>egzaminator<br>Nr zadania<br>9.<br>Maks. liczba pkt<br>5<br>Uzyskana liczba pkt</p>\n<p>Poziom rozszerzony<br>MMA_1R</p>","answer_text_html":"<p>9<br>3<br>m<br>2<br>1</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: Dowód (zadanie otwarte)</h4>\n<p>Należy wykazać, że czworokąt \\(PQRS\\) da się wpisać w okrąg, tzn. że jego przeciwległe kąty sumują się do \\(180°\\).</p>\n<h4>Sposób 1 - kąty w trójkątach tworzonych przez dwusieczne</h4>\n<p><strong>Oznaczenia.</strong> Niech kąty czworokąta \\(ABCD\\) wynoszą:<br>\\[<br>\\angle DAB = 2\\alpha,\\quad \\angle ABC = 2\\beta,\\quad \\angle BCD = 2\\gamma,\\quad \\angle CDA = 2\\delta.<br>\\]<br>Dwusieczne kolejno dzielą te kąty na połowy.</p>\n<p><strong>Krok 1: Własność czworokąta wpisanego.</strong></p>\n<p>Ponieważ \\(ABCD\\) jest wpisany w okrąg, jego przeciwległe kąty są suplementarne:<br>\\[<br>\\angle DAB + \\angle BCD = 180° \\implies 2\\alpha + 2\\gamma = 180° \\implies \\alpha + \\gamma = 90°,<br>\\]<br>\\[<br>\\angle ABC + \\angle CDA = 180° \\implies 2\\beta + 2\\delta = 180° \\implies \\beta + \\delta = 90°.<br>\\]</p>\n<p>Stąd wynika kluczowa równość:<br>\\[<br>\\alpha + \\beta + \\gamma + \\delta = 90° + 90° = 180°.<br>\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Identyfikacja wierzchołków \\(PQRS\\).</strong></p>\n<p>Punkt \\(P\\) = przecięcie dwusiecznej kąta \\(A\\) z dwusieczną kąta \\(B\\),<br>Punkt \\(Q\\) = przecięcie dwusiecznej kąta \\(B\\) z dwusieczną kąta \\(C\\),<br>Punkt \\(R\\) = przecięcie dwusiecznej kąta \\(C\\) z dwusieczną kąta \\(D\\),<br>Punkt \\(S\\) = przecięcie dwusiecznej kąta \\(D\\) z dwusieczną kąta \\(A\\).</p>\n<p><strong>Krok 3: Obliczenie kątów \\(\\angle P\\) i \\(\\angle R\\) w czworokącie \\(PQRS\\).</strong></p>\n<p>Rozważmy trójkąt \\(APB\\):</p>\n<ul><li>Kąt przy \\(A\\) (między bokami \\(AB\\) i dwusieczną) \\(= \\alpha\\)</li><li>Kąt przy \\(B\\) \\(= \\beta\\)</li></ul>\n<p>Z twierdzenia o sumie kątów w trójkącie:<br>\\[<br>\\angle P = \\angle APB = 180° - \\alpha - \\beta.<br>\\]</p>\n<p>Analogicznie w trójkącie \\(CRD\\):<br>\\[<br>\\angle R = \\angle CRD = 180° - \\gamma - \\delta.<br>\\]</p>\n<p><strong>Krok 4: Suma kątów przeciwległych.</strong></p>\n<p>\\[<br>\\angle P + \\angle R = (180° - \\alpha - \\beta) + (180° - \\gamma - \\delta)<br>= 360° - \\underbrace{(\\alpha + \\beta + \\gamma + \\delta)}_{= 180°}<br>= 360° - 180° = \\boxed{180°}.<br>\\]</p>\n<p>Ponieważ suma przeciwległych kątów \\(\\angle P + \\angle R = 180°\\), na czworokącie \\(PQRS\\) <strong>można opisać okrąg</strong>. \\(\\square\\)</p>\n<h4>Sposób 2 - przez miary łuków</h4>\n<p><strong>Oznaczenia łuków.</strong> Niech:<br>\\[<br>\\text{łuk } AB = a,\\quad \\text{łuk } BC = b,\\quad \\text{łuk } CD = c,\\quad \\text{łuk } DA = d,<br>\\]<br>gdzie \\(a + b + c + d = 360°\\).</p>\n<p><strong>Kąty czworokąta jako połowy łuków</strong> (kąt wpisany = połowa łuku):</p>\n<p>Kąt przy wierzchołku \\(A\\) (między cięciwami \\(AB\\) i \\(AD\\)) = połowa łuku \\(BD\\) nie zawierającego \\(A\\):<br>\\[<br>\\angle DAB = \\frac{b + c}{2} = 2\\alpha \\implies \\alpha = \\frac{b+c}{4}.<br>\\]</p>\n<p>Analogicznie:<br>\\[<br>\\beta = \\frac{c+d}{4},\\quad \\gamma = \\frac{d+a}{4},\\quad \\delta = \\frac{a+b}{4}.<br>\\]</p>\n<p><strong>Weryfikacja:</strong> \\(\\alpha + \\gamma = \\frac{b+c}{4} + \\frac{d+a}{4} = \\frac{a+b+c+d}{4} = \\frac{360°}{4} = 90°\\). ✓</p>\n<p><strong>Kąt przy \\(P\\):</strong><br>\\[<br>\\angle P = 180° - \\alpha - \\beta = 180° - \\frac{b+c}{4} - \\frac{c+d}{4} = 180° - \\frac{b+2c+d}{4}.<br>\\]</p>\n<p><strong>Kąt przy \\(R\\):</strong><br>\\[<br>\\angle R = 180° - \\gamma - \\delta = 180° - \\frac{d+a}{4} - \\frac{a+b}{4} = 180° - \\frac{2a+b+d}{4}.<br>\\]</p>\n<p><strong>Suma:</strong><br>\\[<br>\\angle P + \\angle R = 360° - \\frac{b+2c+d+2a+b+d}{4} = 360° - \\frac{2(a+b+c+d)}{4} = 360° - \\frac{2 \\cdot 360°}{4} = 360° - 180° = 180°. \\quad \\square<br>\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 19)</strong> - kąt wpisany w okrąg:</p>\n<blockquote>Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.</blockquote>\n<p>Czyli: kąt wpisany subtendujący łuk \\(= \\frac{\\text{miara łuku}}{2}\\).</p>\n<p>Użyte w <strong>Sposobie 2</strong> do wyznaczenia kątów czworokąta wpisanego przez łuki.</p>\n<p><strong>Dział 10 (s. 20)</strong> - własność czworokąta wpisanego:</p>\n<p>\\[<br>\\alpha + \\gamma = \\beta + \\delta = 180°<br>\\]<br>(suma kątów przeciwległych czworokąta wpisanego = 180°).</p>\n<p>Użyte w <strong>Sposobie 1</strong> jako punktu startowego - to kluczowa własność okręgu opisanego.</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Warunek &quot;wpisany w okrąg&quot; jest tu niezbędny - dla ogólnego czworokąta kąty przy \\(A\\) i \\(C\\) nie musiałyby sumować się do \\(180°\\), więc równość \\(\\alpha + \\gamma = 90°\\) mogłaby nie zachodzić.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Łatwo pomylić kąty w trójkącie \\(APB\\): kąt przy \\(A\\) to <strong>połowa</strong> kąta \\(\\angle DAB\\) (bo to dwusieczna!), nie cały kąt. Pisz wyraźnie \\(\\alpha = \\frac{\\angle DAB}{2}\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W dowodzie wystarczy pokazać, że <strong>jedna para</strong> kątów przeciwległych sumuje się do \\(180°\\) - wystarczy zbadać \\(\\angle P + \\angle R\\). Nie trzeba osobno sprawdzać \\(\\angle Q + \\angle S\\) (choć oczywiście też wychodzi \\(180°\\) z analogicznego rachunku).</blockquote>\n<h5>Sposób 1 - Warunek wpisania (suma kątów przeciwległych = 180°)</h5>\n<p>Na czworokącie da się opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy suma miar kątów przeciwległych wynosi \\(180^{\\circ}\\) (karta wzorów, dział 7. Planimetria).</p>\n<p>Oznaczmy kąty wewnętrzne czworokąta \\(ABCD\\) jako \\(2\\alpha, 2\\beta, 2\\gamma, 2\\delta\\), odpowiednio przy wierzchołkach \\(A, B, C, D\\). Ponieważ \\(ABCD\\) jest wpisany w okrąg:<br>\\[2\\alpha+2\\gamma=180^{\\circ} \\Rightarrow \\alpha+\\gamma=90^{\\circ}\\]<br>\\[2\\beta+2\\delta=180^{\\circ} \\Rightarrow \\beta+\\delta=90^{\\circ}\\]</p>\n<p>Punkt \\(P\\) to przecięcie dwusiecznych kątów \\(A\\) i \\(B\\); w trójkącie \\(ABP\\): \\(\\angle APB = 180^{\\circ}-\\alpha-\\beta\\). Analogicznie \\(\\angle CRD = 180^{\\circ}-\\gamma-\\delta\\) (gdzie \\(R\\) to przecięcie dwusiecznych \\(C\\) i \\(D\\)).</p>\n<p>Kąty czworokąta \\(PQRS\\) przy \\(P\\) i \\(R\\) są wierzchołkami (kąty pionowe lub przeciwległe): \\(\\angle P+\\angle R = (180^{\\circ}-\\alpha-\\beta)+(180^{\\circ}-\\gamma-\\delta)=360^{\\circ}-(\\alpha+\\beta+\\gamma+\\delta)=360^{\\circ}-180^{\\circ}=180^{\\circ}\\).</p>\n<p>Zatem kąty przeciwległe \\(\\angle P+\\angle R = 180^{\\circ}\\), więc na \\(PQRS\\) można opisać okrąg. \\(\\blacksquare\\)</p>\n<h5>Sposób 2 - Kąty przy \\(Q\\) i \\(S\\)</h5>\n<p>Analogicznie, w trójkątach zawierających dwusieczne pokazuje się \\(\\angle Q+\\angle S=180^{\\circ}\\). Oba warunki dają, że \\(PQRS\\) jest czworokątem wpisanym w okrąg.</p>\n<h5>Uwagi o punktacji</h5>\n<ul><li>1 pkt: zastosowanie oznaczeń kątów \\(2\\alpha, 2\\beta, 2\\gamma, 2\\delta\\) i wypisanie warunku wpisania \\(ABCD\\).</li><li>2 pkt: obliczenie kąta \\(\\angle P\\) (lub \\(\\angle Q\\)) w trójkącie zawierającym dwusieczne.</li><li>3 pkt: wykazanie sumy kątów przeciwległych \\(PQRS\\) równej \\(180^{\\circ}\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik/Klucz:</strong> Użyj sumy kątów w trójkącie i faktu, że \\(ABCD\\) wpisany daje \\(\\alpha+\\gamma=\\beta+\\delta=90^{\\circ}\\) po połowieniu.</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Własność kątów wpisanych</h5>\n<p><strong>Kroki:</strong></p>\n<ol><li><strong>Zrozumienie własności kątów wpisanych:</strong> Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego, który opiera się na tym samym łuku. Zatem, kąt ∠SPQ = 1/2 ∠SAD, ∠SRQ = 1/2 ∠SBD, ∠RSP = 1/2 ∠RBD, ∠QSD = 1/2 ∠QAD.</li><li><strong>Analiza czworokąta PQRS:</strong> Zauważmy, że PQRS jest czworokątem, którego wierzchołki leżą na okręgu. Ponieważ P, Q, R, S są punktami przecięcia dwóch prostych z okręgiem, to kąty ∠SPQ, ∠SRQ, ∠RSP, ∠QSD są kątami wpisanymi.</li><li><strong>Wykorzystanie własności kątów wpisanych:</strong> Aby pokazać, że PQRS można opisać okręgiem, musimy sprawdzić, czy suma kątów w czworokącie wynosi 360 stopni. Warto zauważyć, że ∠SPQ + ∠SRQ + ∠RSP + ∠QSD = 4 * (1/2 ∠SAD) = 2∠SAD. Jeśli ∠SAD = 180 stopni, to suma kątów w czworokącie wynosi 360 stopni.</li><li><strong>Wniosek:</strong> Ponieważ PQRS jest czworokątem wpisanym w okrąg, to jego wierzchołki leżą na okręgu. W szczególności, PQRS można opisać okręgiem.</li></ol>\n<p>📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r (Używamy tej strony, aby zrozumieć pojęcie kąta wpisanych i środkowego)</p>\n<h5>Sposób 2: Własność kątów wpisanych i kąta środkowego</h5>\n<p><strong>Kroki:</strong></p>\n<ol><li><strong>Zdefiniujmy:</strong> Niech O będzie środkiem okręgu. Wtedy ∠SOA = α, ∠SBO = β, ∠COA = γ, ∠DOA = δ.</li><li><strong>Zauważmy:</strong> Ponieważ P, Q, R, S leżą na okręgu, to ∠SPQ = (1/2)∠SAD, ∠SRQ = (1/2)∠SBD, ∠RSP = (1/2)∠RBD, ∠QSD = (1/2)∠QAD.</li><li><strong>Zbadajmy kąt środkowy:</strong> Kąt środkowy ∠SOA jest równy 2∠SDA.</li><li><strong>Zbadajmy kąt wpisany:</strong> Kąt wpisany ∠SPA = (1/2)∠SOA = (1/2) * 2∠SDA = ∠SDA.</li><li><strong>Zauważmy:</strong> Kąt ∠SPA = ∠SDA jest kątem wpisanym, który opiera się na łuku AS. Podobnie, ∠SBA = ∠SDA, ∠RCD = ∠SDA, ∠QDE = ∠SDA.</li><li><strong>Wniosek:</strong> Ponieważ ∠SPA = ∠SDA, ∠SBA = ∠SDA, ∠RCD = ∠SDA, ∠QDE = ∠SDA, to PQRS jest czworokątem, którego wszystkie kąty są równe ∠SDA. Zatem, PQRS jest czworokątem równym, a czworościany równenne jest zawsze wpisane w okrąg.</li></ol>\n<p>📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r (Używamy tej strony, aby zrozumieć pojęcie kąta wpisanych i środkowego)</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A:</strong> Odpowiedź A sugeruje, że wierzchołki czworokąta leżą na okręgu, co jest fałszem. W zadaniu podano, że czworokąt jest wpisany w okrąg, co oznacza, że jego wierzchołki leżą na okręgu.</li><li><strong>C:</strong> Odpowiedź C sugeruje, że wierzchołki czworokąta leżą na okręgu, co jest fałszem. W zadaniu podano, że czworokąt jest wpisany w okrąg, co oznacza, że jego wierzchołki leżą na okręgu.</li><li><strong>D:</strong> Odpowiedź D sugeruje, że PQRS może być opisywany przez okrąg, co jest prawdą, ale nie wyjaśnia, dlaczego to jest tak. Sposób, w jaki jest to udowodnione, jest kluczowy.</li></ul>\n<p>W obu sposobach, kluczowym elementem jest wykorzystanie własności kątów wpisanych i środkowych.</p>"}]}