{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-2)\nW pudełku znajduje się 10 piłeczek: 3 białe i 7 czarnych. Z pudełka losujemy kolejno dwie piłeczki bez\nzwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że obie będą czarne.\nOdpowiedź:\n\n13 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n10.3. Elementy statystyki opisowej. Teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka.\nZdający oblicza prawdopodobieństwa w prostych\nsytuacjach stosując klasyczną definicję\nprawdopodobieństwa.\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\n11 z 19\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób (model klasyczny)\nZ reguły mnożenia wyznaczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych, czyli\n10 9\n90\n$\nX =\nNiech A oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu 2 czarnych piłeczek. Z reguły mnożenia\nobliczamy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A, czyli\nA\n7 6\n42\n$\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A jest zatem równe P A\nA\n90\n42\n15\n7\nX\n^ h\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy obliczy X = 90 i A = 42 lub też X = 45 i A = 21 (w doświadczeniu losowym nie jest istotna\nkolejność losowania).\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy prawdopodobieństwo\nP A\n90\n42\n15\n7\n^ h\nUwagi\n1. Jeżeli zdający nie skróci ułamka i poda odpowiedź P A\n90\n42\n^ h\nlub w innej równoważnej postaci,\nto otrzymuje 2 punkty.\n2. Jeżeli zdający stosuje różne modele probabilistyczne do obliczenia X i A , to otrzymuje 0 punktów.\n3. Jeżeli z zapisu rozwiązania nie wynika jasno, że zdający rozróżnia pojęcia przestrzeni zdarzeń\nelementarnych oraz zbioru zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A (np. pojawi się\njedynie zapis 10 ∙ 9 = 90 albo 7 ∙ 6 = 42 bez żadnego opisu czy powszechnie używanej symboliki),\nto otrzymuje 0 punktów.\n4. Jeżeli zdający uzyska wynik P(A) > 1, to otrzymuje 0 punktów.\nII sposób (metoda drzewa)\nLosowanie z pudełka kolejno 2 piłeczek bez zwracania możemy zilustrować za pomocą drzewa,\ngdzie b oznacza wylosowanie białej piłeczki, a cz - czarnej piłeczki. Pogrubiona gałąź drzewa\nodpowiada zdarzeniu A polegającemu na wylosowaniu 2 czarnych piłeczek.\nb\nb\nb\ncz\ncz\ncz\n10\n7\n9\n6\nZatem prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe\nP A\n10\n7\n9\n6\n15\n7\n$\n^ h\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy narysuje drzewo i poprawnie zaznaczy prawdopodobieństwa przynajmniej na odcinkach\ngałęzi odpowiadającej zdarzeniu A.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy prawdopodobieństwo\nP A\n90\n42\n15\n7\n^ h\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\n12 z 19\nUwaga\nJeżeli zdający nie narysuje drzewa i zapisze P A\n10\n7\n9\n6\n15\n7\n$\n^ h\n, to otrzymuje 2 punkty.","solution":"$P(A) = \\dfrac{7}{15}$","image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 26. (0-2)
W pudełku znajduje się 10 piłeczek: 3 białe i 7 czarnych. Z pudełka losujemy kolejno dwie piłeczki bez
zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że obie będą czarne.
Odpowiedź:

\n

13 z 20
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom podstawowy

","answer_text_html":"

Zadanie 26. (0-2)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
II. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
10.3. Elementy statystyki opisowej. Teoria
prawdopodobieństwa i kombinatoryka.
Zdający oblicza prawdopodobieństwa w prostych
sytuacjach stosując klasyczną definicję
prawdopodobieństwa.
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom podstawowy
11 z 19
Przykładowe rozwiązania
I sposób (model klasyczny)
Z reguły mnożenia wyznaczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych, czyli
10 9
90
$
X =
Niech A oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu 2 czarnych piłeczek. Z reguły mnożenia
obliczamy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A, czyli
A
7 6
42
$
Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest zatem równe P A
A
90
42
15
7
X
^ h
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy obliczy X = 90 i A = 42 lub też X = 45 i A = 21 (w doświadczeniu losowym nie jest istotna
kolejność losowania).
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy obliczy prawdopodobieństwo
P A
90
42
15
7
^ h
Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający nie skróci ułamka i poda odpowiedź P A
\n

90
42
^ h
lub w innej równoważnej postaci,
to otrzymuje 2 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający stosuje różne modele probabilistyczne do obliczenia X i A , to otrzymuje 0 punktów.
  2. Jeżeli z zapisu rozwiązania nie wynika jasno, że zdający rozróżnia pojęcia przestrzeni zdarzeń
\n

elementarnych oraz zbioru zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A (np. pojawi się
jedynie zapis 10 ∙ 9 = 90 albo 7 ∙ 6 = 42 bez żadnego opisu czy powszechnie używanej symboliki),
to otrzymuje 0 punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający uzyska wynik P(A) > 1, to otrzymuje 0 punktów.
\n

II sposób (metoda drzewa)
Losowanie z pudełka kolejno 2 piłeczek bez zwracania możemy zilustrować za pomocą drzewa,
gdzie b oznacza wylosowanie białej piłeczki, a cz - czarnej piłeczki. Pogrubiona gałąź drzewa
odpowiada zdarzeniu A polegającemu na wylosowaniu 2 czarnych piłeczek.
b
b
b
cz
cz
cz
10
7
9
6
Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe
P A
10
7
9
6
15
7
$
^ h
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy narysuje drzewo i poprawnie zaznaczy prawdopodobieństwa przynajmniej na odcinkach
gałęzi odpowiadającej zdarzeniu A.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy obliczy prawdopodobieństwo
P A
90
42
15
7
^ h
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom podstawowy
12 z 19
Uwaga
Jeżeli zdający nie narysuje drzewa i zapisze P A
10
7
9
6
15
7
$
^ h
, to otrzymuje 2 punkty.

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$P(A) = \\dfrac{7}{15}$

"}]}