{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-2)\nW trapezie ABCD, w którym\n,\nAB\nCD\n;;\nprzedłużono ramiona AD i BC tak, aby przecięły się w punkcie E.\nWiadomo, że AB = 8 cm, CD = 2 cm, a pole powstałego trójkąta DCE jest równe 2 cm2. Oblicz pole\ntrapezu ABCD.\nOdpowiedź:\n\n17 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\n7.3. Planimetria.\nZdający rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje\n(także w kontekstach praktycznych) cechy podobieństwa\ntrójkątów.\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nA\nB\nC\nD\nE\n8 cm\n2 cm\nTrójkąt ABE jest podobny do trójkąta DCE w skali\nk\nDC\nAB\n4\nZ zależności między polami figur\npodobnych mamy: PABE = k2 · PDCE = 32 cm2, więc PABCD = PABE - PDCE = 30 cm2.\nII sposób\nA\nG\nB\nC\nF\nD\nE\n8 cm\n2 cm\nTrójkąt ABE jest podobny do trójkąta DCE w skali\nk\nDC\nAB\n4\nPole trójkąta DCE jest równe\n2 cm2, więc wysokość EF = 2 cm. Z podobieństwa rozważanych trójkątów otrzymujemy\nEG = k · EF = 8cm, zatem wysokość FG trapezu ABCD jest równa 6 cm. Stąd PABCD = 30 cm2.\nSchemat oceniania obu sposobów\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy stwierdzi, że trójkąt ABE jest podobny do trójkąta DCE w skali k = 4.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy pole trapezu PABCD = 30 cm2.","solution":"$P_{ABCD} = 30$ cm$^2$","image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 30. (0-2)
W trapezie ABCD, w którym
,
AB
CD
;;
przedłużono ramiona AD i BC tak, aby przecięły się w punkcie E.
Wiadomo, że AB = 8 cm, CD = 2 cm, a pole powstałego trójkąta DCE jest równe 2 cm2. Oblicz pole
trapezu ABCD.
Odpowiedź:

\n

17 z 20
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom podstawowy

","answer_text_html":"

Zadanie 30. (0-2)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie strategii.
7.3. Planimetria.
Zdający rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje
(także w kontekstach praktycznych) cechy podobieństwa
trójkątów.
Przykładowe rozwiązania
I sposób
A
B
C
D
E
8 cm
2 cm
Trójkąt ABE jest podobny do trójkąta DCE w skali
k
DC
AB
4
Z zależności między polami figur
podobnych mamy: PABE = k2 · PDCE = 32 cm2, więc PABCD = PABE - PDCE = 30 cm2.
II sposób
A
G
B
C
F
D
E
8 cm
2 cm
Trójkąt ABE jest podobny do trójkąta DCE w skali
k
DC
AB
4
Pole trójkąta DCE jest równe
2 cm2, więc wysokość EF = 2 cm. Z podobieństwa rozważanych trójkątów otrzymujemy
EG = k · EF = 8cm, zatem wysokość FG trapezu ABCD jest równa 6 cm. Stąd PABCD = 30 cm2.
Schemat oceniania obu sposobów
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy stwierdzi, że trójkąt ABE jest podobny do trójkąta DCE w skali k = 4.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy obliczy pole trapezu PABCD = 30 cm2.

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$P_{ABCD} = 30$ cm$^2$

"}]}