Zadanie 32. (0-5)
Punkty A = (-2, -4), B = (8, 1), C = (4, 4) są kolejnymi wierzchołkami trapezu równoramiennego
ABCD (niebędącego równoległobokiem) o podstawach AB oraz CD.
a) Wyznacz równanie prostej, która jest osią symetrii tego trapezu.
b) Oblicz współrzędne punktu będącego środkiem podstawy CD.
Odpowiedź:
19 z 20
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom podstawowy
Zadanie 32. (0-5)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie strategii.
dane punkty (w postaci kierunkowej lub ogólnej).
\nprostopadła do prostej danej w postaci kierunkowej
i przechodzi przez dany punkt.
prostych.
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom podstawowy
16 z 19
Przykładowe rozwiązania
I sposób
a) Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej AB: a
2
8
4
1
2
1
AB =
oraz współrzędne środka
odcinka AB:
,
S
2
2
8
2
4
1
j, stąd
,
S
3
2
3
j. Prosta będąca osią symetrii trapezu
równoramiennego ABCD jest prostopadła do AB i przechodzi przez punkt S, więc
y = -2x + b,
b
2 3
2
3
, stąd b
2
9
Oś symetrii trapezu ma postać y
x
2
2
9
b) Punkt O będący środkiem podstawy CD tego trapezu jest punktem przecięcia osi symetrii
z podstawą CD. Prosta CD jest równoległa do AB i przechodzi przez punkt C, więc
y
x
b
2
1
,
b
4
4
2
1 $
, stąd b = 2. Prosta CD jest zatem dana równaniem y
x
2
2
1
Współrzędne punktu O obliczymy, rozwiązując układ równań zbudowany z równań prostej CD
i osi symetrii trapezu ABCD:
y
x
y
x
2
2
2
1
2
9
Z
[
]]]]
]]]]
Rozwiązaniem układu jest para
x
y
1
2
5
, czyli
,
O
1 2
5
j jest środkiem podstawy CD.
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 pkt
Obliczenie współczynnika kierunkowego prostej AB: a
2
1
AB =
lub współrzędnych punktu
,
S
3
2
3
j - środka podstawy AB.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Wyznaczenie równania osi symetrii trapezu: y = -2x +
2
9
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Wykorzystanie warunku równoległości lub prostopadłości do wyznaczenia równania prostej
zawierającej podstawę CD: y = 2
1 x + 2 i zapisanie układu równań
y
x
y
x
2
2
2
1
2
9
Z
[
]]]]
]]]]
Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają
poprawności rozwiązania 4 pkt
Rozwiązanie zadania do końca z błędem rachunkowym.
Rozwiązanie pełne 5 pkt
Obliczenie współrzędnych punktu
,
O
1 2
5
j - środka podstawy CD trapezu ABCD.
II sposób
b) Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej AB: a
2
8
4
1
2
1
AB =
. Prosta CD jest równoległa
do AB i przechodzi przez punkt C, więc y
x
b
2
1
,
b
4
4
2
1 $
, stąd b = 2. Prosta CD jest więc
dana równaniem
y
x
2
2
1
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom podstawowy
17 z 19
Następnie wyznaczamy współrzędne punktu D. Należy on do prostej CD, więc jego współrzędne
można zapisać w postaci
,
D
d
d
2
2
1
j. Trapez ABCD jest równoramienny, zatem zapisujemy
równanie: AD
BC
d
d
2
2
4
4
8
4 1
2
1
2
2
2
2
h
j
h
h
Obie strony równania są nieujemne, więc możemy je podnieść do kwadratu:
d
d
2
2
4
25
2
1
2
2
h
j
Stąd po zastosowaniu wzorów skróconego mnożenia i redukcji wyrazów podobnych
otrzymujemy:
d
d
10
15
0
4
5
5
4
2
$;
d2 + 8d + 12 = 0
Δ = 16, d1 = -6, d2 = -2
Zatem są dwa takie punkty: D1 = (-6, -1) oraz D2 = (-2, 1).
Zauważmy (np. na podstawie rysunku), że D1 nie spełnia
warunków zadania, gdyż ABCD1 jest równoległobokiem.
Ze wzoru na środek odcinka wyznaczamy:
,
,
S
3
2
2
8
2
4
1
2
3
j
j - środek podstawy AB
oraz
,
,
O
1
2
2
4
2
1
4
2
5
j
j - środek podstawy CD2.
0
x
y
1
1
A
B
C
D
S
O
D1
2
a) Wyznaczamy równanie prostej OS - osi symetrii trapezu ABCD2:
,
a
1 3
2
2
5
2
3
OS =
,b
2
2
5
więc
,
b
2
9
czyli równanie prostej OS:
y
x
2
2
9
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 pkt
Obliczenie współczynnika kierunkowego prostej AB: a
2
1
AB =
i wyznaczenie równania prostej CD:
y
x
2
2
1
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Wykorzystanie własności AD
BC
i zapisanie równania z jedną niewiadomą, np. w postaci
d
d
2
2
4
5
2
1
2
2
h
j
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Obliczenie współrzędnych punktów D1 = (-6, -1) oraz D2 = (-2, 1) spełniających warunek
AD
BC
i odrzucenie rozwiązania D1.
Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają
poprawności rozwiązania 4 pkt
Obliczenie współrzędnych punktu
,
O
1 2
5
j - środka podstawy CD2 trapezu ABCD2
i poprzestanie na tym lub rozwiązanie do końca z błędami rachunkowymi
(nawet na wcześniejszych etapach rozwiązania).
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom podstawowy
18 z 19
Rozwiązanie pełne 5 pkt
Wyznaczenie równania osi symetrii trapezu:
y
x
2
2
9
$O = \\left(1, \\dfrac{5}{2}\\right)$ oraz $y = -2x + \\dfrac{9}{2}$
"}]}