Zadanie 33. (0-4)
W czworościanie foremnym, którego krawędź ma długość a, kąt a jest kątem nachylenia krawędzi
bocznej do płaszczyzny podstawy. Oblicz wartość wyrażenia cos2(90° - )
a - cos2 .
a
Odpowiedź:
Wypełnia
sprawdzający
Nr zadania
32
33
Maks. liczba pkt
5
4
Uzyskana liczba pkt
20 z 20
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom podstawowy
Copyright by Nowa Era Sp. z o.o.
WYPEŁNIA SPRAWDZAJĄCY
Nr
zad.
Punkty
0
1
2
3
4
5
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
KOD
IMIĘ I NAZWISKO *
WPISUJE ZDAJĄCY
KARTA ODPOWIEDZI
WYPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY
Uprawnienia ucznia do:
dostosowania kryteriów oceniania.
nieprzenoszenia zaznaczeń na kartę.
Nr
zad.
Odpowiedzi
1
A
B
C
D
2
A
B
C
D
3
A
B
C
D
4
A
B
C
D
5
A
B
C
D
6
A
B
C
D
7
A
B
C
C
8
A
B
C
D
0
A
B
C
D
10
A
B
C
D
11
A
B
C
D
12
A
B
C
D
13
A
B
C
D
14
A
B
C
D
15
A
B
C
D
16
A
B
C
D
17
A
B
C
D
18
A
B
C
D
19
A
B
C
D
20
A
B
C
D
21
A
B
C
D
22
A
B
C
D
23
A
B
C
D
Zadanie 33. (0-4)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie strategii.
9.2. Stereometria.
Zdający rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach
kąt między odcinkami i płaszczyznami (między
krawędziami i ścianami, przekątnymi i ścianami).
trygonometrycznymi: sin
cos
1
2
2
a
a
, tg
cos
sin
a
a
a
oraz sin
cos
90 -a
a
c
h
sinus, cosinus i tangens kątów o miarach od 0° do 180°.
Przykładowe rozwiązania
I sposób
x
a
a
α
Korzystamy ze wzorów cos(90° - a) = sina oraz sin2a = 1 - cos2a i przekształcamy wyrażenie:
cos2(90° - a) - cos2a = sin2a - cos2a = 1 - 2 cos2a. Ponieważ cosa = a
x , więc obliczamy x:
x = 3
2 hpodstawy = a
3
3 . Stąd cosa =
,
3
3 zatem wartość wyrażenia
cos2(90° - a) - cos2a = 1 - 2 cos2a =
3
1
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 pkt
Wyznaczenie długości odcinka łączącego wierzchołek podstawy ze spodkiem wysokości:
x = 3
2 hpodstawy =
a
3
3
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Przekształcenie wyrażenia cos2(90° - a) - cos2a do postaci sin2a - cos2a
Uwaga
Jeśli zdający przekształci wyrażenie do postaci sin2a - cos2a i nie obliczy wartości x, to otrzymuje
1 punkt.
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom podstawowy
19 z 19
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Wyznaczenie cosa =
,
3
3 zastosowanie jedynki trygonometrycznej i zapisanie wyrażenia w postaci
1 - 2 cos2a.
lub
Wyznaczenie cosa =
,
3
3 skorzystanie z jedynki trygonometrycznej i wyznaczenie sin2a =
3
2
Rozwiązanie pełne 4 pkt
Obliczenie wartości wyrażenia cos2(90° - a) - cos2a = 1 - 2 cos2a =
3
1
lub
Obliczenie wartości wyrażenia cos2(90° - a) - cos2a = sin2a - cos2a =
3
1
II sposób
x
a
a
α
α - 90o
H
Wprowadzamy oznaczenia (np. jak na rysunku). Obliczamy x: x = 3
2 hpodstawy = a
3
3 oraz
z twierdzenia Pitagorasa H:
H
a
a
3
3
2
2
2
c
m
, stąd H
a
3
6
. Z definicji funkcji
trygonometrycznych mamy: cosa =
a
x
3
3 , cos(90° - a) =
a
H
3
6 Zatem wartość
wyrażenia cos2(90° - a) - cos2a =
3
6
3
3
3
1
2
2
c
c
m
m
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 pkt
Wyznaczenie długości odcinka łączącego wierzchołek podstawy ze spodkiem wysokości:
x = 3
2 hpodstawy =
a
3
3
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa i obliczenie wysokości czworościanu:
H
a
3
6
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Zastosowanie definicji funkcji trygonometrycznych i wyznaczenie: cosa =
a
x
3
3 oraz
cos(90° - a) =
a
H
3
6
Rozwiązanie pełne 4 pkt
Obliczenie wartości wyrażenia: cos2(90° - a) - cos2a =
3
6
3
3
3
1
2
2
c
c
m
m
$\\dfrac{1}{3}$
"}]}