{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"10","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-3)\nWyznacz zbiór wartości funkcji\nsin\ncos\nf x\nx\nx\n2\n2\n6\n2\nr\nh\nj\nokreślonej dla wszystkich liczb\nrzeczywistych.\n\n7 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-3)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\n6.5. Trygonometria.\nZdający stosuje wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy\nkątów, sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów.\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nKorzystamy ze wzorów sin\ncos\n2 -\nr\na\na\nj\noraz\nsin\nsin\nsin\ncos\n2\n1\n2\n1\n2\na\nb\na\nb\na\nb\nh\nh i przekształcamy wzór funkcji:\nsin\ncos\nsin\nsin\nf x\nx\nx\nx\nx\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n6\n6\n2 -\nr\nr\nr\nh\nj\nj\nj\nsin\ncos\nsin\ncos\n2\n1\n2\n1\nf x\nx\nx\nx\nx\nx\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n6\n2\n6\n2\n3\n6\nr\nr\nr\nr\nr\nr\nh\nj\nj\nj\ncos\nf x\nx\n2\n3\n2\n6\n- r\nh\nj\nwybór cyfry\njedności\nwybór miejsc\ndla trzech 5\nwybór\npozostałych cyfr\nwybór cyfry\njedności\nwybór miejsc\ndla trzech 5\nwybór\npozostałych cyfr\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\n7 z 17\nPonieważ\ncos\n1\n1\na\nG\nG\n, więc\ncos\n,\n3\n3\n3\nG\nG\na\nstąd\ncos\n2\n3\n2\n3\n2\n3\nG\nG\na\n, gdzie\nx\n2\n6\n- r\na =\nZatem zbiorem wartości funkcji f jest przedział:\n,\n2\n3 2\n3\nII sposób\nKorzystamy ze wzorów cos\nsin\n2 -\nr\na\na\nj\noraz\ncos\ncos\ncos\ncos\n2\n1\n2\n1\n2\na\nb\na\nb\na\nb\nh\nh i przekształcamy wzór funkcji:\nsin\ncos\ncos\ncos\nf x\nx\nx\nx\nx\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n6\n2\n6\nr\nr\nr\nh\nj\nj\ncos\ncos\ncos\ncos\n2\n1\n2\n1\nf x\nx\nx\nx\nx\nx\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n6\n2\n6\n6\n6\nr\nr\nr\nr\nr\nr\nh\nj\nj\nj\ncos\nf x\nx\n2\n3\n2\n6 -\nr\nh\nj\nPonieważ\ncos\n1\n1\na\nG\nG\n, więc\ncos\n,\n3\n3\n3\nG\nG\na\nstąd\ncos\n2\n3\n2\n3\n2\n3\nG\nG\na\n, gdzie\n.x\n2\n6 -\nr\na =\nZatem zbiorem wartości funkcji f jest przedział:\n,\n2\n3 2\n3\nSchemat oceniania obu sposobów\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 pkt\nZapisanie wzoru funkcji w postaci\nsin\nsin\nf x\nx\nx\n2\n2\n2\n6\n2 -\nr\nr\nh\nj\nj\nalbo\ncos\ncos\nf x\nx\nx\n2\n2\n2\n2\n6\nr\nr\nh\nj\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 pkt\nZastosowanie wzoru na sumę sinusów i zapisanie wzoru funkcji w postaci\ncos\nf x\nx\n2\n3\n2\n6\n- r\nh\nj albo wzoru na sumę cosinusów i zapisanie wzoru\nfunkcji w postaci\ncos\nf x\nx\n2\n3\n2\n6 -\nr\nh\nj\nRozwiązanie pełne 3 pkt\nWyznaczenie zbioru wartości:\n,\n2\n3 2\n3","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 10. (0-3)
Wyznacz zbiór wartości funkcji
sin
cos
f x
x
x
2
2
6
2
r
h
j
określonej dla wszystkich liczb
rzeczywistych.

\n

7 z 18
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony

","answer_text_html":"

Zadanie 10. (0-3)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie strategii.
6.5. Trygonometria.
Zdający stosuje wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy
kątów, sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów.
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Korzystamy ze wzorów sin
cos
2 -
r
a
a
j
oraz
sin
sin
sin
cos
2
1
2
1
2
a
b
a
b
a
b
h
h i przekształcamy wzór funkcji:
sin
cos
sin
sin
f x
x
x
x
x
2
2
2
2
2
2
6
6
2 -
r
r
r
h
j
j
j
sin
cos
sin
cos
2
1
2
1
f x
x
x
x
x
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
6
2
6
2
3
6
r
r
r
r
r
r
h
j
j
j
cos
f x
x
2
3
2
6

\n\n

h
j
wybór cyfry
jedności
wybór miejsc
dla trzech 5
wybór
pozostałych cyfr
wybór cyfry
jedności
wybór miejsc
dla trzech 5
wybór
pozostałych cyfr
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
7 z 17
Ponieważ
cos
1
1
a
G
G
, więc
cos
,
3
3
3
G
G
a
stąd
cos
2
3
2
3
2
3
G
G
a
, gdzie
x
2
6

\n\n

a =
Zatem zbiorem wartości funkcji f jest przedział:
,
2
3 2
3
II sposób
Korzystamy ze wzorów cos
sin
2 -
r
a
a
j
oraz
cos
cos
cos
cos
2
1
2
1
2
a
b
a
b
a
b
h
h i przekształcamy wzór funkcji:
sin
cos
cos
cos
f x
x
x
x
x
2
2
2
2
2
2
6
2
6
r
r
r
h
j
j
cos
cos
cos
cos
2
1
2
1
f x
x
x
x
x
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
6
2
6
6
6
r
r
r
r
r
r
h
j
j
j
cos
f x
x
2
3
2
6 -
r
h
j
Ponieważ
cos
1
1
a
G
G
, więc
cos
,
3
3
3
G
G
a
stąd
cos
2
3
2
3
2
3
G
G
a
, gdzie
.x
2
6 -
r
a =
Zatem zbiorem wartości funkcji f jest przedział:
,
2
3 2
3
Schemat oceniania obu sposobów
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 pkt
Zapisanie wzoru funkcji w postaci
sin
sin
f x
x
x
2
2
2
6
2 -
r
r
h
j
j
albo
cos
cos
f x
x
x
2
2
2
2
6
r
r
h
j
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 2 pkt
Zastosowanie wzoru na sumę sinusów i zapisanie wzoru funkcji w postaci
cos
f x
x
2
3
2
6

\n\n

h
j albo wzoru na sumę cosinusów i zapisanie wzoru
funkcji w postaci
cos
f x
x
2
3
2
6 -
r
h
j
Rozwiązanie pełne 3 pkt
Wyznaczenie zbioru wartości:
,
2
3 2
3

","solutions":[]}