{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"11","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-3)\nUdowodnij, że jedynym punktem o obu współrzędnych całkowitych, należącym do krzywej\no równaniu\ny\nx\nx\n2\n2\n2\n8\n16\n2\n2\n, jest punkt P = (4, -2).\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n10\n11\nMaks. liczba pkt\n3\n3\nUzyskana liczba pkt\n\n8 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (0-3)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\n3.2. Równania i nierówności.\nZdający rozwiązuje równania i nierówności liniowe\ni kwadratowe z parametrem.\nIV etap edukacyjny - poziom podstawowy\n2.1. Wyrażenia algebraiczne.\nZdający używa wzorów skróconego mnożenia na (a ± b)2\noraz a2 - b2.\nPrzykładowe rozwiązanie\nPrzekształcamy równanie paraboli:\ny\nx\nx\n2\n8\n16\n2\n2\nh\ny\nx\n2\n2\n4\n2\nh\ny\nx\n2\n2\n4\n2\nh\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\n8 z 17\nZauważmy, że dla całkowitych liczb x i y lewa strona jest liczbą całkowitą, a prawa strona jest liczbą\nniewymierną albo zerem w zależności od wartości x. Zatem równość zachodzi wtedy i tylko wtedy,\ngdy (x - 4)2 = 0, stąd x = 4. Wtedy również y + 2 = 0, czyli y = -2. Wynika stąd, że jedynym punktem\no obu współrzędnych całkowitych należącym do paraboli o równaniu y\nx\nx\n2\n8 2\n16 2\n2\n2\njest punkt P = (4, -2).\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 pkt\nZapisanie równania w postaci\n,\ny\nx\n2\n4\n2\n2\nh\ngdzie x, y ! C.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 pkt\nZapisanie równania w postaci y\nx\n2\n2\n4\n2\nh i zauważenie, że po jego lewej stronie znajduje się\nliczba całkowita, a po prawej - iloczyn liczby niewymiernej i całkowitej.\nRozwiązanie pełne 3 pkt\nZapisanie wniosku: iloczyn liczby niewymiernej i całkowitej jest równy liczbie całkowitej wtedy\ni tylko wtedy, gdy liczba całkowita jest równa zero, czyli gdy (x - 4)2 = 0, stąd x = 4. Wtedy y + 2 = 0,\nczyli y = -2. Zatem jedynym punktem o obu współrzędnych całkowitych należącym do krzywej jest\nP = (4, -2).\nUwaga\nZdający może przeprowadzić rozumowanie na równaniu w postaci\ny\nx\n2\n4\n2\n2\nh","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 11. (0-3)
Udowodnij, że jedynym punktem o obu współrzędnych całkowitych, należącym do krzywej
o równaniu
y
x
x
2
2
2
8
16
2
2
, jest punkt P = (4, -2).
Wypełnia
sprawdzający
Nr zadania
10
11
Maks. liczba pkt
3
3
Uzyskana liczba pkt

\n

8 z 18
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony

","answer_text_html":"

Zadanie 11. (0-3)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
V. Rozumowanie i argumentacja.
3.2. Równania i nierówności.
Zdający rozwiązuje równania i nierówności liniowe
i kwadratowe z parametrem.
IV etap edukacyjny - poziom podstawowy
2.1. Wyrażenia algebraiczne.
Zdający używa wzorów skróconego mnożenia na (a ± b)2
oraz a2 - b2.
Przykładowe rozwiązanie
Przekształcamy równanie paraboli:
y
x
x
2
8
16
2
2
h
y
x
2
2
4
2
h
y
x
2
2
4
2
h
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
8 z 17
Zauważmy, że dla całkowitych liczb x i y lewa strona jest liczbą całkowitą, a prawa strona jest liczbą
niewymierną albo zerem w zależności od wartości x. Zatem równość zachodzi wtedy i tylko wtedy,
gdy (x - 4)2 = 0, stąd x = 4. Wtedy również y + 2 = 0, czyli y = -2. Wynika stąd, że jedynym punktem
o obu współrzędnych całkowitych należącym do paraboli o równaniu y
x
x
2
8 2
16 2
2
2
jest punkt P = (4, -2).
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 pkt
Zapisanie równania w postaci
,
y
x
2
4
2
2
h
gdzie x, y ! C.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 2 pkt
Zapisanie równania w postaci y
x
2
2
4
2
h i zauważenie, że po jego lewej stronie znajduje się
liczba całkowita, a po prawej - iloczyn liczby niewymiernej i całkowitej.
Rozwiązanie pełne 3 pkt
Zapisanie wniosku: iloczyn liczby niewymiernej i całkowitej jest równy liczbie całkowitej wtedy
i tylko wtedy, gdy liczba całkowita jest równa zero, czyli gdy (x - 4)2 = 0, stąd x = 4. Wtedy y + 2 = 0,
czyli y = -2. Zatem jedynym punktem o obu współrzędnych całkowitych należącym do krzywej jest
P = (4, -2).
Uwaga
Zdający może przeprowadzić rozumowanie na równaniu w postaci
y
x
2
4
2
2
h

","solutions":[]}