{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"12","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-3)\nW trójkącie równoramiennym ABC o podstawie AB, gdzie\nAB = a oraz\n,\nAC\nBC\nb\npopro­wadzono środkową AD długości x. Wykaż, że\nx\na\nb\n2\n2\n2\n2\n\n9 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12. (0-3)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\n7.5. Planimetria.\nZdający znajduje związki miarowe w figurach płaskich\nz zastosowaniem twierdzenia sinusów i twierdzenia\ncosinusów.\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nA\nB\nD\na\nx\nα\nb\nb\nC\n1\n2\nStosujemy twierdzenie cosinusów do trójkątów ADC i ABC i zapisujemy układ równań:\ncos\ncos\nx\nb\nb\na\nb\nb\n2\n2\n4\n5\n2\n2\n2\n2\n2\n2\na\na\nDrugie równanie dzielimy przez 2, a następnie odejmujemy równania stronami.\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\n9 z 17\nOtrzymujemy:\nx\na\nb\n2\n1\n4\n1\n2\n2\n2\nx\na\nb\n4\n2\n2\n2\n2\n, czyli\nx\na\nb\n2\n2\n2\n2\nII sposób\nA\nB\nD\na\nx\nα\nb\nC\nb\n1\n2\nStosujemy definicję cosinusa w trójkącie prostokątnym i twierdzenie cosinusów w trójkącie ABD\ni zapisujemy układ równań\ncos\ncos\nx\na\nb\nab\nb\na\n2\n4\n1\n2\n2\n2\na\na\nZ\n[\n]]]]\n]]]]\nPodstawiamy wyznaczony cosinus do drugiego równania i otrzymujemy:\n,\nx\na\nb\na\n4\n2\n2\n2\n2\n2\nstąd\n,\nx\na\nb\n4\n2\n2\n2\n2\nczyli\nx\na\nb\n2\n2\n2\n2\nSchemat oceniania obu sposobów\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 pkt\nWprowadzenie oznaczeń (np. jak na rysunku) i zastosowanie twierdzenia cosinusów do trójkąta\nABC lub ADC lub ABD lub użycie definicji cosinusa w trójkącie prostokątnym.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 pkt\nZapisanie układu równań\ncos\ncos\nx\nb\nb\na\nb\nb\n2\n2\n4\n5\n2\n2\n2\n2\n2\n2\na\na\nalbo\ncos\ncos\nx\na\nb\nab\nb\na\n2\n4\n1\n2\n2\n2\na\na\nZ\n[\n]]]]\n]]]]\nRozwiązanie pełne 3 pkt\nWyprowadzenie z układu równania bez cosinusa, np. x\na\nb\n2\n1\n4\n1\n2\n2\n2\nalbo x\na\nb\na\n4\n2\n2\n2\n2\n2\ni wyznaczenie x:\nx\na\nb\n2\n2\n2\n2\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\n10 z 17","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":"dowody_geometryczne","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 12. (0-3)
W trójkącie równoramiennym ABC o podstawie AB, gdzie
AB = a oraz
,
AC
BC
b
popro­wadzono środkową AD długości x. Wykaż, że
x
a
b
2
2
2
2

\n

9 z 18
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony

","answer_text_html":"

Zadanie 12. (0-3)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
V. Rozumowanie i argumentacja.
7.5. Planimetria.
Zdający znajduje związki miarowe w figurach płaskich
z zastosowaniem twierdzenia sinusów i twierdzenia
cosinusów.
Przykładowe rozwiązania
I sposób
A
B
D
a
x
α
b
b
C
1
2
Stosujemy twierdzenie cosinusów do trójkątów ADC i ABC i zapisujemy układ równań:
cos
cos
x
b
b
a
b
b
2
2
4
5
2
2
2
2
2
2
a
a
Drugie równanie dzielimy przez 2, a następnie odejmujemy równania stronami.
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
9 z 17
Otrzymujemy:
x
a
b
2
1
4
1
2
2
2
x
a
b
4
2
2
2
2
, czyli
x
a
b
2
2
2
2
II sposób
A
B
D
a
x
α
b
C
b
1
2
Stosujemy definicję cosinusa w trójkącie prostokątnym i twierdzenie cosinusów w trójkącie ABD
i zapisujemy układ równań
cos
cos
x
a
b
ab
b
a
2
4
1
2
2
2
a
a
Z
[
]]]]
]]]]
Podstawiamy wyznaczony cosinus do drugiego równania i otrzymujemy:
,
x
a
b
a
4
2
2
2
2
2
stąd
,
x
a
b
4
2
2
2
2
czyli
x
a
b
2
2
2
2
Schemat oceniania obu sposobów
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 pkt
Wprowadzenie oznaczeń (np. jak na rysunku) i zastosowanie twierdzenia cosinusów do trójkąta
ABC lub ADC lub ABD lub użycie definicji cosinusa w trójkącie prostokątnym.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 2 pkt
Zapisanie układu równań
cos
cos
x
b
b
a
b
b
2
2
4
5
2
2
2
2
2
2
a
a
albo
cos
cos
x
a
b
ab
b
a
2
4
1
2
2
2
a
a
Z
[
]]]]
]]]]
Rozwiązanie pełne 3 pkt
Wyprowadzenie z układu równania bez cosinusa, np. x
a
b
2
1
4
1
2
2
2
albo x
a
b
a
4
2
2
2
2
2
i wyznaczenie x:
x
a
b
2
2
2
2
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
10 z 17

","solutions":[]}