{"id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"14","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2015,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14. (0-3)\nWyznacz równanie stycznej do wykresu wielomianu f(x) = x3 - 3x2 + x, która jest prostopadła\ndo prostej x - 2y - 6 = 0.\n\n11 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"Zadanie 14. (0-3)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\n11.3. Rachunek różniczkowy.\nZdający korzysta z geometrycznej i fizycznej interpretacji\npochodnej.\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\n11 z 17\nPrzykładowe rozwiązanie\nPrzekształcamy prostą do postaci kierunkowej:\ny\nx\n3\n2\n1\nZ warunku prostopadłości, styczna do\nwykresu wielomianu ma równanie y = -2x + b. Współczynnik kierunkowy stycznej jest równy\npochodnej wielomianu w punkcie styczności\n:\n,\nP\nx\nf x\n0\n0\nhh\na\nf\nx\n2\n0\nh\nWyznaczamy funkcję pochodną wielomianu: 'f\nx\nx\nx\n3\n6\n1\n2\n^ h\ni zapisujemy równanie:\nx\nx\n3\n6\n1\n2\n0\n2\n0 +\n:\nx\nx\n3\n6\n3\n0\n3\n0\n2\n0 +\nx\n1\n0\n0\n2 =\nh\n,\nx\n1\n0 =\nf x0\nhf(1) = -1, czyli punkt styczności P = (1, -1).\nWyznaczamy równanie stycznej, korzystając ze wzoru\n:\ny\nf x\nf\nx\nx\nx\n0\n0\n0\nh\nh\nh\ny + 1 = -2(x - 1), zatem y = -2x + 1.\nUwaga\nZdający może wyznaczyć równanie stycznej, korzystając z informacji, że punkt P należy do stycznej\no równaniu y = -2x + b.\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 pkt\nWykorzystanie warunku prostopadłości i zapisanie równości:\na\nf x\n2\n0\nl^\nh\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 pkt\nWyznaczenie funkcji pochodnej: f\nx\nx\nx\n3\n6\n1\n2\nl^ h\ni rozwiązanie równania:\nf\nx\n2\n0 =\nl^\nh\ndla\nx\n1\n0 =\nRozwiązanie pełne 3 pkt\nObliczenie f(1) = -1 i podanie równania stycznej: y = -2x + 1.","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 14. (0-3)
Wyznacz równanie stycznej do wykresu wielomianu f(x) = x3 - 3x2 + x, która jest prostopadła
do prostej x - 2y - 6 = 0.

\n

11 z 18
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony

","answer_text_html":"

Zadanie 14. (0-3)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie strategii.
11.3. Rachunek różniczkowy.
Zdający korzysta z geometrycznej i fizycznej interpretacji
pochodnej.
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
11 z 17
Przykładowe rozwiązanie
Przekształcamy prostą do postaci kierunkowej:
y
x
3
2
1
Z warunku prostopadłości, styczna do
wykresu wielomianu ma równanie y = -2x + b. Współczynnik kierunkowy stycznej jest równy
pochodnej wielomianu w punkcie styczności
:
,
P
x
f x
0
0
hh
a
f
x
2
0
h
Wyznaczamy funkcję pochodną wielomianu: 'f
x
x
x
3
6
1
2
^ h
i zapisujemy równanie:
x
x
3
6
1
2
0
2
0 +
:
x
x
3
6
3
0
3
0
2
0 +
x
1
0
0
2 =
h
,
x
1
0 =
f x0
hf(1) = -1, czyli punkt styczności P = (1, -1).
Wyznaczamy równanie stycznej, korzystając ze wzoru
:
y
f x
f
x
x
x
0
0
0
h
h
h
y + 1 = -2(x - 1), zatem y = -2x + 1.
Uwaga
Zdający może wyznaczyć równanie stycznej, korzystając z informacji, że punkt P należy do stycznej
o równaniu y = -2x + b.
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 pkt
Wykorzystanie warunku prostopadłości i zapisanie równości:
a
f x
2
0
l^
h
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 2 pkt
Wyznaczenie funkcji pochodnej: f
x
x
x
3
6
1
2
l^ h
i rozwiązanie równania:
f
x
2
0 =
l^
h
dla
x
1
0 =
Rozwiązanie pełne 3 pkt
Obliczenie f(1) = -1 i podanie równania stycznej: y = -2x + 1.

","solutions":[]}